赋范线性空间上微分学—一变分计算 谢锡麟 Ni(F T)jis,do- o5. F ∈·(F.T)·Nd-/∈·(F 综上,有 dor (u)()=-l.·|(FT):口+rfdr+p。·(F·T)·Nda E. TIde d ·(F·T)·+闭+。·(F·T)·N-T aVt dg 上式最后利用了S。=0∈R3.当u为a(u)的临界点时,亦即(u)=0时,有 (F.T).+=0∈R F·T)·N=T 在aVt上 定义3.1.引入变分运算,对 f(x):X3x+f(x)∈Y, 定义 of(a)ad (x)(6x) 由此,对泛函 2(D;R")3以(x)→()会/f(x,d(x),v(x),v2(x)d 有 60(0)6)=+V+ avo:v(o) da 变分运算有如下基本性质 性质31 (6)=6(V 此处o为任意许可的运算 证明考虑映照 的可微性,有 v回(φ+6)=Vod+V⊙6 则有 6(V@)=V@6赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 = I ∂ ◦ V Ni(F · T )jiξjdσ − ∫ ◦ V ξ · [ (F · T ) · ◦ ] dτ = I ∂ ◦ V ξ · (F · T ) · Ndσ − ∫ ◦ V ξ · [ (F · T ) · ◦ ] dτ. 综上, 有 dA du (u)(ξ) = − ∫ ◦ V ξ · [ (F · T ) · ◦ + ◦ ρf ] dτ + I ∂ ◦ V ξ · (F · T ) · Ndσ − I ∂ ◦ V t ξ · ◦ T N dσ = − ∫ ◦ V ξ · [ (F · T ) · ◦ + ◦ ρf ] + I ∂ ◦ V t ξ · [ (F · T ) · N − ◦ T N ] dσ. 上式最后利用了 ξ   ∂ ◦ V u = 0 ∈ R 3 . 当 u 为 A (u) 的临界点时, 亦即 dA du (u) = 0 时, 有    (F · T ) · ◦ + ◦ ρf = 0 ∈ R 3 , (F · T ) · N = ◦ T N , 在∂ ◦ V t上. 定义 3.1. 引入变分运算, 对 f(x) : X ∋ x 7→ f(x) ∈ Y, 定义 δf(x) , df dx (x)(δx). 由此, 对泛函 C 2 (Dx; R n ) ∋ ϕ(x) 7→ A (ϕ) , ∫ Ω f(x, ϕ(x), ∇ϕ(x), ∇2ϕ(x))dx, 有 δA (ϕ) = dA dϕ (ϕ)(δϕ) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ δϕ + ∂f ∂∇ϕ · ∇(δϕ) + ∂f ∂∇2ϕ · ∇2 (δϕ) ] dx. 变分运算有如下基本性质. 性质 3.1. ∇ } (δϕ) = δ(∇ } ϕ), 此处 } 为任意许可的运算. 证明 考虑映照 ϕ 7→ ∇ } ϕ 的可微性, 有 ∇ } (ϕ + δϕ) = ∇ } ϕ + ∇ } δϕ, 则有 δ(∇ } ϕ) = ∇ } δϕ. 9