赋范线性空间上微分学—一变分计算 谢锡麟 由于变分运算δ表示的是微分,因此在连续介质力学的研究中,关于张量映照微分的结果同 样适用于变分运算. 事例5(弹性力学有限变形理论中总余能驻值原理).考虑泛函 (u,T)= ∑(T)+(口u)·(uD):Tdr 的驻值,式中∑(T)为余能密度,T为第二类 Piola-Kirchof应力张量,u为位移场,OVa为全部 边界OV中满足位移边界条件的部分 应用变分运算,可有 6=6()+6(a)·(u8):T+(8n)(a8:Tdr 6(F·T)·Nda, 式中 6∑(T) ST= E: ST 8u+8日+(u)(u@口):6 (8u):M+(8u)·(a8): 故有 6E(①T)+208u),8:=(u):m+(8u),8):T Bo u).(+u@D: 6T=(ou.F) (口2u)Fs36=(u口):(F·6T) 另处理 1o(6u)-(usd):T=108 6u) (u 8 0)+(0 u).(u D) : T 考虑到 6日=6(8口=6(I+口)=6F, 则有 8u)(us):T=(u8口):(6F·T)赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 由于变分运算 δ 表示的是微分, 因此在连续介质力学的研究中, 关于张量映照微分的结果同 样适用于变分运算. 事例 5 (弹性力学有限变形理论中总余能驻值原理). 考虑泛函 A (u, T ) = ∫ ◦ V [ c Σ(T ) + 1 2 ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : T ] dτ − ∫ ∂ ◦ V u ◦ u · (F · T ) · Ndσ 的驻值, 式中 c Σ(T ) 为余能密度, T 为第二类 Piola-Kirchoff 应力张量, u 为位移场, ∂ ◦ V u 为全部 边界 ∂ ◦ V 中满足位移边界条件的部分. 应用变分运算, 可有 δA = ∫ ◦ V [ δ c Σ(T ) + 1 2 δ ( ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) ) : T + 1 2 ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : δT ] dτ − ∫ ∂ ◦ V ◦ u · δ(F · T ) · Ndσ, 式中 δ c Σ(T ) = d c Σ dT : δT = E : δT = 1 2 [ ◦ ⊗ u + u ⊗ ◦ + ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) ] : δT = ( ◦ ⊗ u) : δT + 1 2 ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : δT . 故有 δ c Σ(T ) + 1 2 ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : δT = ( ◦ ⊗ u) : δT + ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : δT = ( ◦ ⊗ u) · (I + u ⊗ ◦ ) : δT = ( ◦ ⊗ u · F ) : δT = ( ◦ iu s )FsjδTij = (u ⊗ ◦ ) : (F · δT ). 另处理 1 2 δ ( ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) ) : T = 1 2 [ ( ◦ ⊗ δu) · (u ⊗ ◦ ) + ( ◦ ⊗ u) · (δu ⊗ ◦ ) ] : T = 1 2 [ ( ◦ iδus )( ◦ jus)T ij + ( ◦ ius)( ◦ jδus )T ij] = ( ◦ iδus )( ◦ jus)T ij = ( ◦ jus) [ ( ◦ iδus )T ij] = (u ⊗ ◦ ) : [ (δu ⊗ ◦ ) · T ] . 考虑到 δu ⊗ ◦ = δ(u ⊗ ◦ ) = δ(I + u ⊗ ◦ ) = δF, 则有 1 2 δ [ ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) ] : T = (u ⊗ ◦ ) : (δF · T ). 10