赋范线性空间上微分学—一变分计算 谢锡麟 综上,有 lo u s i):(F.6T+6F. T)dr 6(F·T)·Nd (u②口):6(F.T)d 6(F·T)·Ndo 式中 ):6(F·们=(u)6(F·m)=1(u6(FT)-t口6(F u,MF,T日-u(FT)) u·6(F·m u·6(F·T)口, 式中利用了平衡方程 (F·T)百+f=0 因此 u6F.)品d-/a6F·T),N u·6(F ndo u·(F.T)·Nd (a-u)·6(F·T)·Ndo 故δa=0等价于 利用变分运算,可以得到总势能驻值原理的另一推导 ∑dr (ef)dT 所以 6a()=| 式中 de E):6E=T:6E=T:6(F·F=T:(6F*F+F6F) 8口)+(I+口8u)·(6 )653+回)=(n)F=(F·T)s(口.n°) 口;[(F·T)siu F·T)s6赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 综上, 有 δA = ∫ ◦ V (u ⊗ ◦ ) : (F · δT + δF · T )dτ − ∫ ∂ ◦ V u ◦ u · δ(F · T ) · Ndσ = ∫ ◦ V (u ⊗ ◦ ) : δ(F · T )dτ − ∫ ∂ ◦ V u ◦ u · δ(F · T ) · Ndσ. 式中 (u ⊗ ◦ ) : δ(F · T ) = ( ◦ jui)δ(F · T ) ij = ◦ j (uiδ(F · T ) ij ) − ui ◦ jδ(F · T ) ij = [u · δ(F · T )] · ◦ − u · ( δ(F · T ) · ◦ ) = [u · δ(F · T )] · ◦ − u · δ [ (F · T ) · ◦ + ◦ ρf ] = [u · δ(F · T )] · ◦ , 式中利用了平衡方程 (F · T ) · ◦ + ◦ ρf = 0. 因此 δA = ∫ ◦ V [u · δ(F · T )] · ◦ dτ − ∫ ∂ ◦ V u ◦ u · δ(F · T ) · Ndσ = I ∂ ◦ V u · δ(F · T ) · Ndσ − ∫ ∂ ◦ V u ◦ u · (F · T ) · Ndσ = ∫ ∂ ◦ V u (u − ◦ u) · δ(F · T ) · Ndσ. 故 δA = 0 等价于 u   ∂ ◦ V u = ◦ u. 利用变分运算, 可以得到总势能驻值原理的另一推导. A (u) = ∫ ◦ V Σdτ − ∫ ◦ V u · ( ◦ ρf)dτ − ∫ ∂ ◦ V t u · T N dσ, 所以 δA (u) = ∫ ◦ V δΣdτ − ∫ ◦ V δu · ( ◦ ρf)dτ − ∫ ∂ ◦ V t δu · T N dσ. 式中 δΣ = dΣ dE (E) : δE = T : δE = T : [ 1 2 δ(F ∗ · F) ] = 1 2 T : (δF ∗ · F + F ∗ · δF) = 1 2 T : [ ( ◦ ⊗ δu) · (I + u ⊗ ◦ ) + (I + ◦ ⊗ u) · (δu ⊗ ◦ ) ] = 1 2 T ij ( ◦ iδuj + ◦ jδui + ( ◦ iδus ) ◦ jus + ( ◦ ius) ◦ δus ) = 1 2 T ij ( ◦ iδus)(δ s j + ◦ ju s ) = T ij ( ◦ iδus )Fsj = (F · T )si( ◦ iδus ) = ◦ i [(F · T )siδus ] − [ ◦ i(F · T )si] δus = [δu · (F · T )] · ◦ − δu · [ (F · T ) · ◦ ] . 11