S(x)=P1(x)+∑c(x-x)(-0<x≤o) (1.12) 下面讨论样条函数的积分关系式。先给出 定理4设S(x)由(1.8)所给出,其中n=2k-1,且 a<x1<x,<…<xN<b 又设f(x)满足下述三性质 1.f(x)∈Ck[ab]且f(x)于每个开区间(x,xn)(=0,…N)(x=axN=b) 内连续; f-(x)S()(x)=0(r=01,…,k-2 b): 3.f(a)S2k-)(a+0)=f(b)S2k(b-0),则 x) 1)(2k-1)∑cf(x) (1.14) 证明逐次采用分部积分法,有 f(x)s(x)dx ∑(-)r-"(bs(b)-y-"(a)s"(a (1.15) +(-1)f(x)S2=)(x 按条件2,上式右端的求和项等于0。因为S2k-(x)是一个阶梯函数,所以(1.15) 右端积分可表为下面积分的和: n,I f'(x)dx=n, f(x)-f(x)] 其中n是S2(x)于(x,x1)中的值(为常数)。将(116)右端部分对I求和并重新 整理项,给出 ∑f(x) (x+0小+f(b)s2-(b-0)-f(a)S= − = − + − + −    N j n n j j S x p x c x x x 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) （1.12） 下面讨论样条函数的积分关系式。先给出 定理 4 设 S(x)由（1.8）所给出，其中 n=2k-1,且 . a  x1  x2  xN  b （1.13） 又设 f(x)满足下述三性质： 1． f x C a b k ( ) , −1  且 ( ) ( ) f x k 于每个开区间 ( , ) ( 0, , ) ( , ) xi xi+1 i =  N x0 = a xN+1 = b 内连续； 2. ( ) ( ) 0 ( 0,1, , 2; , ) ( 1) ( ) f x S x r k x a b k r k r = = − = − − +  ; 3. ( ) ( 0) ( ) ( 0) (2 1) (2 1) + = − − − f a S a f b S b k k ,则 ( ) ( ) ( 1) (2 1)! ( ) . 1 ( ) ( )  = = − − N i i i b a k k k f x S x dx k c f x （1.14） 证明 逐次采用分部积分法，有   ( 1) ( ) ( ) . ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ' (2 1) 2 0 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )    − − − = − − + − − + + − = − − b a k k k r r k r k r k r k r b a k k f x S x dx f b S b f a S a f x S x dx （1.15） 按条件 2，上式右端的求和项等于 0。因为 ( ) (2 1) S x k− 是一个阶梯函数，所以（1.15） 右端积分可表为下面积分的和： ( )  ( ) ( ) , 1 1 '  + = + − i i x x i i i i  f x dx  f x f x （1.16） 其中 i 是 ( ) (2 1) S x k− 于 ( , ) i i+1 x x 中的值（为常数）。将（1.16）右端部分对 I 求和并重新 整理项，给出 ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( 0) . (2 1) (2 1) 1 (2 1) (2 1) − − + + − − + − − = − −  f x S x S x f b S b f a S a k k N i i k i k i （1.17）