1.x,x x.x-x (19) 构成n次样条函数类Sn(x1,x2,…,x)的一组基底 由(12)和定理2可知,任一S(x)∈N2n(x1,x2,…,xN)均可表示为 S(x)=Pn1(x)+∑c(x-x)2(-m<x≤∞) (1.10) 其中pn-1(x)∈P=1 当然,一函数S(x)只是满足(1.10)还不足以保证它一定是一个自然样条函数。 因为它在[xx,∞)上是否为一个n1次的多项式尚不能保证,为保证这点,便须要求 S(x)于[xx,∞)中的表达式 Pn(x)+∑c1(x-x)m 亦为一n-1次多项式。即要求上述求和号这一项中n次以上的各方幂项之系数为0。 但 2(F2(m 2n-1 ∑(-) 2n-1-i 要求上式中x",…,x2m的系数为0,即得 ∑cx=0(k=01 定理3为使S(x)∈N2n1(x1,x2…x),必须且只须存在pn1(x)∈P-1和满足 线性约束(1.11)的实数c1,c2…,cN,使得n N n n x x x x x x x − + − + 1, , , , ,( ) , ,( ) 1 2   （1.9） 构成 n 次样条函数类 ( , , , ) n 1 2 N S x x  x 的一组基底。 由（1.2）和定理 2 可知，任一 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x  x  − 均可表示为 = − = − + − + −    N j n n j j S x p x c x x x 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) （1.10） 其中 ( ) . n−1  Pn−1 p x 当然，一函数 S(x)只是满足（1.10）还不足以保证它一定是一个自然样条函数。 因为它在 [ ,) N x 上是否为一个 n-1 次的多项式尚不能保证，为保证这点，便须要求 S(x)于 [ ,) N x 中的表达式 = − − + − + N j n n j j p x c x x 1 2 1 1 ( ) ( ) 亦为一 n-1 次多项式。即要求上述求和号这一项中 n 次以上的各方幂项之系数为 0。 但 . 2 1 ( 1) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 2 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0 2 1 1        = − − − = − = − − − = − − = − = − =         − = − −         − = −         − = − N j n i j j i n i i N j n i j j i n i n i j i N j n i j n N j j j x c x i n x c x i n x x i n c c x x 要求上式中 2 1 , , n n− x  x 的系数为 0，即得 0 ( 0,1, , 1) . 1 = = = − N j k c j x j k  n （1.11） 定理 3 为使 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x  x  − ，必须且只须存在 1 1 ( ) n−  Pn− p x 和满足 线性约束（1.11）的实数 N c ,c , ,c 1 2  ，使得