它说明Sx厅于区间区x,x]上的表达式恰为其前一区间上的表达式加上(x-x1)的某 常数倍。这样一来,S(x)于(-∞,x2]上的统一表达式应为 S(x) P <xsx Pn(x)+C,(x-xu) x1≤x≤x (1.5) 为把(1.5)写成一个统一的表达式,引入记号 x>0 (0,x) 0.x≤0 (1.6) x=(x ) 则(1.5)所示的S(x)又可紧凑地表示为 S(x)=Pn(x)+c1(x-x1)"(-∞<x≤x2) 继续采用这种分析方法,可得S(x)于整个实轴上的表达式为 S(x)=P,(x)+C(x-x)( ≤x2).(1.7) 此即为下述定理所叙述的事实 定理1任一S(x)∈Sn(x1,x2,…,xN)均可唯一地表现为 S(x)=Pn(x)+2c(x-x)(00<xs (18) 其中Pn(x)∈P,c/(=1,…N)为实数 显然,由(1.8)式所给出的任一函数S(x)必然满足n次样条函数的定义,亦即 S(x)∈Sn(x1,x2,…,x)因而定理1可进一步写成 定理2为使S(x)∈Sn(x1,x2,…,xx),必须且只须存在pn(x)∈P和N个实数 C1, C2 使得(1.8)成立 S(x)=P2(x)+∑c(x-x)1(-0<x≤∞) 定理1和定理2说明函数系它说明 S(x)于区间   1 2 x , x 上的表达式恰为其前一区间上的表达式加上 n (x x ) − 1 的某一 常数倍。这样一来，S(x)于 ( , ] 2 − x 上的统一表达式应为    + −   −    = ( ) ( ) , . ( ) , , ( ) 1 1 1 2 1 p x c x x x x x p x x x S x n n n （1.5） 为把（1.5）写成一个统一的表达式，引入记号 ( ) , 0 , 0. , 0 , max( 0, ) m m x x x x x x x + + + =      = = （1.6） 则（1.5）所示的 S(x)又可紧凑地表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 S x p x c x x x x n = n + − + −   继续采用这种分析方法，可得 S(x)于整个实轴上的表达式为 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 S x p x c x x x x n = n + − + −   （1.7） 此即为下述定理所叙述的事实。 定理 1 任一 ( ) ( , , , ) n 1 2 N S x  S x x  x 均可唯一地表现为 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 = = + − + −    N j n n j j S x p x c x x x （1.8） 其中 p (x) P ,c ( j 1, , N) n  n j =  为实数。 显然，由（1.8）式所给出的任一函数 S(x)必然满足 n 次样条函数的定义，亦即 ( ) ( , , , ) . n 1 2 N S x  S x x  x 因而定理 1 可进一步写成 定理 2 为使 ( ) ( , , , ) n 1 2 N S x  S x x  x ，必须且只须存在 n Pn p (x) 和 N 个实数 N c ,c , ,c 1 2  ，使得（1.8）成立： = = + − + −    N j n n j j S x p x c x x x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 定理 1 和定理 2 说明函数系