第2期 赵敬，等：复杂网络上同时考虑感染延迟和非均匀传播的SR模型 ·131· 式中：P,o(t)Pk1(t),…,P,r(t)表示度为k且状态 1-3(o）=1-e(w10k） (11) 分别为1，，…，I的已感染个体所占的百分比， 当t→∞时，将式(11)带人式(10)可得 ⊙(t)表示一个健康的个体通过一条与其他个体相 连的边被感染的概率，因此⊙(t)可以表示为 (o)=高Ea(P(() .()=((() 高名M()P()I1-(0)】 式中：入(k)是每条边的平均感染率，P(t)是度数为 '的个体的相对密度，条件概率P(k'Ik)表示度数 有a()P[1-er] 为k的节点与度数为'的节点连接的概率。 g(Φ（∞）). 在度不相关的无标度网络里， 显然，g((∞))是关于中()的一个非负递 8.()=a(e)=A()P（pr( 增函数，很显然（∞）=0是它的一个平凡解，对应 ∑sP(s) 于无病平衡点；要使上述方程有一个非平凡解(0< Φ()<1)，则必须满足如下条件： (（∑A(')P()pr)/《k). d[g(Φ（∞）)] >1. 由方程组(6)的第1个方程左右两边积分可以得到 d[p(o)] () ()e 解上述方程，易得 d[g(Φ（∞）)] e2 P=e高A d[Φ(e)]pe)=0 (7) 否子KA()PE)[(T+1kea】 =0 在平衡态的时候有°P0=0,?=0,1, ∂t 杏2A(PE[T+1e灯- p(t)=∑P,r(T)表示度为k且状态为I的个体 T=0 高(A)P(T+D>1.(2) 的密度.平衡点的时候将p(t),Pk,o(t),…P,r（t), 定理2得证，并有如下推论： ⊙记为PPk,0,…,Pk,r,⊙因此在平衡点时，由式 推论3假定个体的感染率正比于它的度时， (6)得： 即a=1时，A(k)=Ak/k=入，代入式(12)，在网 ks(t)0(t)-Pk,o(t)=0, 络规模趋于无穷时，可以得到感染临界阈值为入6= -P,i(t)+p,o(t)=0, (8) 得十特别地，不考虑感染延时(T:0),结 -Pe,r（T)+p,r-1(t)=0. 果恢复为经典模型上的结论：G一器：另外。 由式(6)得到P,o(t)=p,1(t)=…=P,r(t)= 对于有限尺度的BA无标度网络，它的度分布满足 Pi(t) T+1 P(k)=20,平均度〈)=2m,最大度m= 由式(6)的最后1个方程两边积分可得 P(r)dr=(),因此式(7)可以改写为 m,(=广·2管k=hN.因此其临界 s(t)=eò2arrr*r0= 阈值表示为 1,〈k) 1 2 eBanrtro (9) 6=T+1‘)=T+1mnN 令 推论4假定个体的感染率完全独立于它的度 ()=否(P()(.(I0) 时，即α=0时，若一个个体的感染力为常值A,此时 将式(10)代入式(9)后得到s(t)=e(T+0.当 A()=,得到5=7中·六容易看出，此时疾 系统达到稳态时（即t→0时)，pk,o（∞）= 病传播阈值与网络拓扑结构无关特别地当T=0 pk,1()=…=pk,r（∞)=0，因此 时，A6= r(∞）=1-∑Px(∞)-s(∞）= 推论5一个个体的感染率与度成次线性关系