临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第四章函数的连续性 、基本概念 1.函数在一点的连续性: 设函数∫在某U(x)内有定义,若Iimf(x)=∫(x),则称∫在点x连续 函数连续的等价定义 (1)函数∫在点x连续分→lim△y=0 Ax→0 (2)函数∫在点x连续分VE>0,30>0,当x-x0kd时,|f(x)-f(x0)kE 2.函数一致连续的定义: 设∫为定义在区间/上的函数。若对任给的E>0,存在一个δ=6(E)>0,使得对任 何x,x”∈1,只要|x-x"k6,就有f(x)-f(x)kE,则称函数∫在区间上一致连 二、基本定理 1.局部有界性定理:若∫在x连续。则∫在某U/(x)有界。 2.局部保号性定理:若∫在x连续,且∫(x0)>0(or<0)则对任何正数r∈(0,f(x0) (r∈((x0)20),存在某U(x)有f(x)>r>0((x)<r<0)。 3.四则运算:若∫和g在x点连续,则∫±g,f·g,(8(x)≠0)也都在点x连续。 4.复合函数连续性定理:若∫在点x连续,记∫(x0)=l,函数g在连续,则复合 函数g°f∫在点x连续。 5.反函数连续性定理:若函数∫在[a,b]上严格单调并连续,则反函数∫在其定义域 [f(a),f(b或[∫(b),f(a)]上连续 6.若∫在闭区间[a,b]上连续,则∫在[{a,b]上有最大值与最小值 7.若∫在[a,b]上连续,则∫在[a,b]上有界。临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第四章 函数的连续性 一、基本概念 1. 函数在一点的连续性： 设函数 f 在某U x( 0 ) 内有定义，若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ，则称 f 在点 0 x 连续。 函数连续的等价定义： ⑴ 函数 f 在点 0 x 连续⇔ 0 lim 0 x y ∆ → ∆ = 。 ⑵ 函数 f 在点 0 x 连续⇔ ∀ > ε 0,∃δ > 0 ，当 0 | x x − |< δ 时， 0 | ( f x) − < f x( ) | ε 。 2. 函数一致连续的定义： 设 f 为定义在区间 I 上的函数。若对任给的ε > 0 ，存在一个δ = δ ε( ) > 0 ，使得对任 何 x′ ′ , x ′∈ I ，只要| x x ′ ′ − ′ |< δ ，就有| | f x( ′) − f x( ′′) < ε ，则称函数 f 在区间 I 上一致连 续。 二、基本定理 1. 局部有界性定理：若 f 在 0 x 连续。则 f 在某 有界。 0 U x( ) 2. 局部保号性定理：若 f 在 0 x 连续，且 f x( 0 ) > 0(or < 0) 则对任何正数 0 r f ∈(0, (x )) 0 ( ( r f ∈ (x ),0))，存在某U x( 0 ) 有 f x( ) > > r 0( f ( ) x < r < 0)。 3. 四则运算：若 f 和 g 在 0 x 点连续，则 0 , , ( ( ) 0 f f g f g g x g ± ⋅ ≠ )也都在点 0 x 连续。 4. 复合函数连续性定理：若 f 在点 0 x 连续，记 0 ( ) 0 f x = u ，函数 在 连续，则复合 函数 在点 g 0 u g o f 0 x 连续。 5. 反函数连续性定理：若函数 f 在[ , a b]上严格单调并连续，则反函数 1 f − 在其定义域 [ ( f a), f (b)] 或[ ( f b), f (a)] 上连续。 6. 若 f 在闭区间[ , a b]上连续，则 f 在[ , a b]上有最大值与最小值。 7. 若 f 在[ , a b]上连续，则 f 在[ , a b]上有界。 - 1 -