临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 8.设∫在[a,b]上连续,且∫(a)≠∫(b)。若4是介于f(a)和∫(b)之间的任何实数, 则至少存在一点x∈(a,b),使得f(x0)= 9.若∫在[a,b]上连续,且f(a)和∫(b)异号(f(a)f(b)<0),则至少存在一点 x∈[a,b],使得f(x)=0。 10.若函数∫在闭区间[a,b上连续,则∫在[anb]上一致连续 、基本要求 1.深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义,并能熟练写出函数在一点连续的各 种等价叙述 2.从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发,理解函数在一点间断以及函 数间断点的概念,从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同 类型的间断点; 3.明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的,清楚区分“连续函 数”与“函数连续”所表述的不同内涵 4.掌握连续的局部性质(有界性、保号性),连续函数的有理运算性质,并能加以证明 熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些 重要性质 5.掌握闭区间上连续函数的主要性质,理解其几何意义,并能在各种有关的具体问 题中加以运用 6.理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在 这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别 7.深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的,并能应用连续性概念以及连续函 数的性质加以证明,能熟练运用这一结论求初等函数的极限 四、典型例题 例1证明连续函数的局部有界性——若∫在x0处连续,则彐M>0和。0>0 ,使得(x)≤M,x∈U(xn;) 证明:据∫在x0连续的定义,VE>0,36>0,当x∈U(x0;.引)时满足临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 8. 设 f 在[ , a b]上连续，且 f a( ) ≠ f (b) 。若 µ 是介于 和 之间的任何实数， 则至少存在一点 f a( ) f b( ) 0 x ∈( , a b)，使得 0 f x( ) = µ 。 9. 若 f 在[ , a b] 上连续，且 f a( ) 和 f b( ) 异号（ f a( )⋅ f (b) < 0 ），则至少存在一点 0 x ∈[ , a b]，使得 f x( )0 = 0 。 10. 若函数 f 在闭区间[ , a b]上连续，则 f 在[ , a b]上一致连续。 三、基本要求 1. 深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各 种等价叙述； 2. 从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函 数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同 类型的间断点； 3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，清楚区分“连续函 数”与“函数连续”所表述的不同内涵。 4. 掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明； 熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些 重要性质； 5. 掌握闭区间上连续函数的主要性质 ，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问 题中加以运用； 6. 理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在 这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。 7. 深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函 数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。 四、典型例题 例 1 证明连续函数的局部有界性——若 f 在 x0 处连续，则 ∃M > 0 和δ 0 > 0 ，使得 ( ) ( ) 0 0 f x ≤ M, x ∈U x ;δ ． 证明： 据 f 在 x0 连续的定义，∀ε > 0,∃δ > 0,当 ( ;δ ) 0 x ∈U x 时满足 - 2 -