临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 I f(x)-f(ro)<e 现取E=1,相应存在δ>0,当x∈U(x0:)时,就有 f(x)|-|f(x)|sf(x)-f(x)<1,→f(x)|s|f(x)|+1=M 注类似可证连续函数的其余局部性质,例如四则连续性质、局部保号性质等等 例2证明∫(x)在(ab)上一致连续的充要条件是:f(x)在(a,b)上连续,且存在 limf(x)与limf(x) 证明:先证充分性:令 ∫(x),x∈(a,b), 8(x)= lim f(x), x=a, lim f(x), x=b 由条件可知g(x)在[ab]上连续,从而g(x)在[b上一致连续(由连续函数在闭区间上 的整体性质).再由一致连续的定义,又知g(x)在(ab)上也一致连续,而在(ab)上 f(x)=g(x)所以证得f(x)在(ab)上一致连续 再证必要性:由f(x)在(ab)上一致连续的定义,VE>0,3δ>0, x∈(a.b)且x-x1<d时,有 f(x')-f(x)<e 因此,特别当x,x∈(aa+。)或(-6.b)时,同样有/(x)-()< 这表示x→a+0或x→b-0时∫(x)存在极限的柯西条件得到满足,所以证得 im/(x)与im(x) 都存在 注若f(x)在(a,b)上一致连续,则f(x)在(a,b)上必定有界.这是因为上面证明中 已知g(x)在[a,b上连续,从而g(x)在[ab]上有界,故在g(x)在(ab)上也有界;而在 (a,b)上f(x)=g(x),所以知道f(x)在(a,b)上有界 对于一般在(a,b)上的连续函数f(x),它在(a,b)上不一定有界.例如f(x)=-在 (0,1)上处处连续,但它在(01)上是无界的.由此又可说明∫(x)=-在(0,1)上必定不一 致连续临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( ) − ( ) < ε 0 f x f x ． 现取ε = 1，相应存在δ 0 > 0 ，当 ( ) 0 0 x∈U x ;δ 时，就有 f (x) − f (x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) < 1 , ⇒ f (x) ≤ f (x0 ) + 1 = M ． 注 类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等． 例 2 证明 f (x) 在 (a,b)上一致连续的充要条件是： f (x) 在 (a,b)上连续，且存在 ． lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x→a+ x→b− 与 证明： 先证充分性：令 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∈ = → − → + lim ( ), . lim ( ), , ( ) , ( , ), ( ) 0 0 f x x b f x x a f x x a b g x x b x a 由条件可知 g(x) 在[a,b]上连续，从而 g(x) 在[a,b]上一致连续（由连续函数在闭区间上 的整体性质）．再由一致连续的定义，又知 g(x) 在 (a,b) 上也一致连续．而在 ( ) 上 所以证得 在( 上一致连续． a,b f ( ) x = g(x) f (x) ) ) a,b 再证必要性：由 f (x) 在(a,b 上一致连续的定义，∀ε > 0,∃δ > 0,，当 x , x ( ) a,b ' '' ∈ 且 − < δ ' '' x x 时，有 f ( x′) − f ( x′′) < ε ． 因此，特别当 x , x ∈( ) a,a + δ ' '' 或(b −δ ,b)时，同样有 ( )− ( ) < ε ' '' f x f x ． 这表示 x → a + 0或 x → b − 0时 f (x) 存在极限的柯西条件得到满足，所以证得 f (x) x a 0 lim → + 与 f (x) x b 0 lim → − 都存在． 注 若 f (x) 在(a,b)上一致连续，则 f (x) 在 (a,b)上必定有界．这是因为上面证明中 已知 g(x) 在[a,b]上连续，从而 g(x) 在[a,b]上有界，故在 g(x) 在 (a,b)上也有界；而在 ( ) a,b 上 f ( ) x = g(x)，所以知道 f (x) 在(a,b)上有界． 对于一般在 (a,b) 上的连续函数 f (x) ，它在 (a,b) 上不一定有界．例如 x f x 1 ( ) = 在 (0,1) 上处处连续，但它在(0,1) 上是无界的．由此又可说明 x f x 1 ( ) = 在 (0,1) 上必定不一 致连续． - 3 -