临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 例3证明函数f(x)=-在区间(01)内非一致连续 证法一:(用一致连续的否定定义验证)取E0=1V6(<1)取 x=minδ 与 便有-x1=2s2<6但 ≥2>1=E 证法二:(用教材例10的结果) 例4lim 解:sin√x+1- sin vx=2smyx+1Ncy+1+√x X+1+ x+1 √x+1-√ ≤l, lim sin = sin lim 例5设函数∫(x)在区间[0,2da>0)上连续,且f(O)=f(2a),证明:在区间 d]上至少存在某个c使∫(c)=f(+a) 证明:若f(a)=f(2a),取c=0或c=a即可;若f(a)≠f(2a)不妨设∫(a)>f(2a) 设F(x)=f(x)-f(x+a),应用零点定理即得所证 例6若∫在点x连续,则八、f2也在点x连续,反之如何? 证明:团/在点x连续易证。现证f2在点x连续,临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 例 3 证明函数 ( ) x f x 1 = 在区间(0,1)内非一致连续. 证法一：( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 1, ( 1) ε 0 = ∀δ < ，取 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 min , ' x δ ，与 2 ' " x x = ，便有 δ δ − = ≤ < 2 2 ' ' " x x x 但 2 1 .LL 1 1 1 2 1 ' " ' " ' 0 − = − = ≥ > = ε x x x x x 证法二： ( 用教材例 10 的结果 ). 例 4 lim (sin x +1 − sin x ) x→+∞ 解： . 2 1 cos 2 1 sin 1 sin 2sin x x x x x x + − + + + − = 0 2 1 sin lim 2 1 1, lim sin 2 1 cos = + − = + − ≤ + + →+∞ →+∞ x x x x x x x x Q ， ∴I = 0. 例 5 设函数 f (x) 在区间[ ] 0,2a (a > 0)上连续, 且 f (0) = f (2a)，证明: 在区间 [0,a]上至少存在某个c 使 f ( ) c = f (c + a). 证明：若 f ( ) a = f (2a) , 取c = 0 或c = a 即可;若 f (a) ≠ f (2a)不妨设 设 f ( ) a > f (2a) F( ) x = f ( ) x − f (x + a) , 应用零点定理即得所证. 例 6 若 f 在点 x0 连续，则 f 、 也在点 连续，反之如何？ 2 f 0 x 证明： f 在点 x0 连续易证。现证 在点 连续， 2 f 0 x - 4 -