临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 f(x)-f(x)同∫(x)+f(x0)·|f(x)-f(x0) ∫在点x连续→彐6>0,M>0,当x∈U(x0;)时(x)<M E>0,彐62>0,当x-x<2时,|(x)-f(x)< 取6=mm{6,2},则当xx<6时,p()-f2(x)<M x为有理数 反之不成立,如f(x)= xx为无理数 五、复习题 1.用定义证明下列函数在定义域内连续 (1)y=√x; (2)y (3)y=|x (4)y=sin 2.指出下列函数的间断点并说明其类型: (1)f()=x+1: (2)f(x)=[x]+[-x] (3)f(x)= x (4)f(x)=sgn|x|; (5)f(x) In x x为有理数 (6)f(x) 0,x为无理数 3.当x=0时下列函数无定义,试定义f(0)的值,使f(x)在x=0连续: (1)f(x) √1+x-1临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 2 2 f x − f x = f x + f x ⋅ f x − f x f 在点 x0 连续 0 ⇒ ∃δ 1 > ， M > 0，当 ( ) 0 1 x ∈U x ;δ 时 f (x) < M ； ∀ε > 0， 0 ∃δ 2 > ，当 − 0 < δ 2 x x 时， ( ) ( ) M f x f x ε − 0 < 取 { 1 2 δ = min δ ,δ }，则当 x − x0 < δ 时， ( ) ( ) ε ε − < ⋅ = M f x f x0 M 2 2 反之不成立，如 . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = x x f (x) 为无理数 为有理数 x x 五、复习题 1. 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1) y = x ； (2) 1 y x = ； (3) y =| x |； (4) 1 y sin x = . 2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1 f x( ) x x = + ； (2) f x( ) =[ ] x + [−x] ； (3) sin ( ) | | x f x x = ； (4) f x( ) = sgn | x |； (5) ( ) ln f x x 1 = ； (6) sin , , ( ) 0 , x x f x x ⎧ π = ⎨ ⎩ 为有理数 为无理数； 3．当 x = 0 时下列函数无定义，试定义 f (0) 的值，使 f x( ) 在 x = 0 连续： (1) 3 1 ( ) 1 1 x f x x 1 + − = + − ； - 5 -