临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (4)f(x)=(1+x)2 4.设f(x)是连续函数,证明对任何c>0,函数 -c, f(x)<-c (x)={f(x),|f(x)|≤c f(x)>c 是连续的 5.若f(x)在x点连续,那么|f(x)和f2(x)是否也在x点连续?反之如何? 6.若函数f(x)字x=0点连续,而g(x)在x=0点不连续,问此二函数的和、积在x0 点是否连续?又若f(x)和g(x)在x0点都不连续,问此二函数的和、积在x点是否必不 连续 证明若连续函数在有理点的函数值为0,则此函数恒为0 8.若∫(x)在[ab连续,恒正,按定义证明在[ab连续 9.若f(x)和g(x)都在[ab连续,试证明max(f(x),g(x)和min(f(x),g(x)都在 [a,b]连续 10.若f(x)在{a,b,a<x<x2<…<xn<b,则在[x1,x2]中必有,使得 f()=-[f(x1)+f(x2)+…+f(xn 11.研究复合函数fog和gof的连续性设 (1) f(x)=sgn x, g(x)=1+x )=(1-x2)x 12.证明:若∫(x)在[a,b连续,且不存在r∈[ab,使f(x)=0,则f(x)在{a,b 恒正或恒负 13.设∫(x)为{a,b上的递增函数,值域为[f(a),f(b,证明f(x)在{a,b上连续 14.求下列极限临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 (2) tan 2 ( ) x f x x = ； (3) 1 f x( ) sin x sin x = ； (4) ( ) x f x x 1 = (1+ ) . 4．设 f x( ) 是连续函数，证明对任何 c > 0 ，函数 , ( ) ( ) ( ), ( ) , , ( ) c f x c, g x f x f x c c f x c ⎧ − < − ⎪ = ⎨ | | ≤ ⎪ ⎩ > 是连续的. 5．若 f x( ) 在 0 x 点连续，那么 | f x( )| 和 2 f ( ) x 是否也在 0 x 点连续？反之如何？ 6．若函数 f x( ) 字 x = 0 点连续，而 g( ) x 在 x = 0 点不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否连续？又若 f x( ) 和 g( ) x 在 0 x 点都不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否必不 连续？ 7．证明若连续函数在有理点的函数值为 0，则此函数恒为 0. 8．若 f x( ) 在 [ , a b] 连续，恒正，按定义证明 1 f x( ) 在 [ a b, ] 连续. 9．若 f x( ) 和 g( ) x 都在 [ , a b] 连续，试证明 max( f x( ) , g(x)) 和 min( f x( ) , g( ) x ) 都在 [ , a b] 连续. 10．若 f x( ) 在 [ , a b] , a x < 1 2 < x <L< xn < b ，则在 1 2 [ , x x ] 中必有 ξ ，使得 1 2 ( ) [ ( ) ( ) ( )] n f f x f x f x n ξ 1 = + +L+ . 11．研究复合函数 f o g 和 g o f 的连续性. 设 (1) 2 f ( ) x x = sgn , g(x) = 1+ x ； (2) 2 f ( ) x x = sgn , g( ) x = (1− x )x . 12．证明：若 f x( ) 在 [ , a b] 连续，且不存在 x ∈[a b, ] ，使 f x( ) = 0 ，则 在 恒正或恒负. f x( ) [ , a b] 13．设 f x( ) 为 [ , a b] 上的递增函数，值域为 [ ( f a), f (b)] ，证明 f x( ) 在 [ , a b] 上连续. 14．求下列极限： (1) 1 1 1 1 lim 2 x x x x x − + → ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ； - 6 -