D01:10.13374j.isml00103x.206.07.21 第28卷第7期 北京科技大学学报 Vol.28 Na 7 2006年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jul.2006 Lie间接控制大系统的绝对稳定性 郭俊伶， 廖福成 北京科技大学应用科学学院.北京100083 摘要利用大系统分解方法和Ly即umov第二方法研究了一类Luie间接控制大系统，结合 Metzler矩阵的性质.建立了这类Lrie间接控制大系统的稳定性与低维矩阵稳定之间的关系.从而 得到了这类Lue间接控制大系统绝对稳定的充分条件.其结论判断起来方便、简捷.应用实例说 明了该方法的优越性 关键词Luie系统：绝对稳定性：Ly apunov函数：Metzler矩阵 分类号0231；TP273 自从原苏联学者Lurie在分析飞机自动驾驶 (1b 仪的稳定性中提出了Luie控制系统之后.国内 外学者对以各种形式描述的Luie系统进行了广 泛深入的研究并且取得了一系列成果1.将大 其中，点b&∈R3, /n=n,A可是niXm常 系统的思想用于解决Lurie控制系统的结果也很 数矩阵(i,=L,2,…,r,o,P,f(o)是纯量，> 多10山，由于大系统本身的复杂性，所得到的结 0,f(σ)是σ的连续函数，并且满足： 论也比较复杂.为了使问题简单化，本文研究了 f(0)=0,f(oD>0(o≠0) (2) 具有第二标准型的Luie控制大系统的绝对稳定 用f(σ)∈F[0.十o∞)来表示f(σ)具有这一性 性，利用Ly apunov方法及文献12-13]的方法，给 质. 出了这类Lrie间接控制大系统绝对稳定的充分 在该条件下，系统1)只有一个平衡点：(x, 条件.所得到的结论判断起来方便、简捷，并可以 x,o)=0. 很方便地利用Mtab工具箱验证. 如果对任何f(σ)∈F[0,∞)，系统(1)的零 用λ(A)表示矩阵A的特征值，而入mx(A) 解（即平衡点）都是全局渐近稳定的，则称系统(1) 和入mi(A)则分别表示矩阵A的最大特征值和 是绝对稳定的.假设： 最小特征值.对向量，其范数采用Euclid范数 ()矩阵A:(i=1,2,r)稳定，即对任一 |A‖表示由向量的Euclid范数导出的矩阵范 nXn;对称正定矩阵W,都存在惟一的对称正 数，易证‖A‖=N入x(AA). 定矩阵P,使得AP:十P:Am=一W(i=1,2 ；r.令0=入mim(形)，则p0. 1 主要定理及其证明 ()令 H=川2PAl.K=川2Pb:‖， 考虑Lrie间接控制大系统 Xi A11 Li=ll2ci ll,i,j=1,2,,r. A12 Air xI bi 定理1在假设(i),()下，如果矩阵 x2 A21 A22 A2r x2 b2 aH2 Hir K1 H2 -8 …H2 K2 Xr An … Ar) Xr (Ia) Hn He …-0 Kr 收稿日期：2005-03-23修回日期.20050907 Li L2 Lr -2P 基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项目(N。 稳定，则Luie间接控制大系统(I)是绝对稳定 90304007 作者简介：郭俊伶(1979一），女，硕士研究生：廖福成(1957一)， 的. 男，教授 证明先考虑r十1个孤立子系统Lurie 间接控制大系统的绝对稳定性 郭俊伶 廖福成 北京科技大学应用科学学院, 北京 100083 摘 要 利用大系统分解方法和 Ly apunov 第二方法研究了一类 Lurie 间接控制大系统, 结合 Metzler 矩阵的性质, 建立了这类 Lurie 间接控制大系统的稳定性与低维矩阵稳定之间的关系, 从而 得到了这类 Lurie 间接控制大系统绝对稳定的充分条件.其结论判断起来方便、简捷.应用实例说 明了该方法的优越性. 关键词 Lurie 系统;绝对稳定性 ;Ly apunov 函数;Metzler 矩阵 分类号 O 231 ;TP 273 收稿日期:2005 03 23 修回日期:2005 09 07 基金项目:国家自然科学基金重大研究计划资助项目 ( No . 90304007) 作者简介:郭俊伶( 1979—) , 女, 硕士研究生;廖福成( 1957—) , 男, 教授 自从原苏联学者 Lurie 在分析飞机自动驾驶 仪的稳定性中提出了 Lurie 控制系统之后, 国内 外学者对以各种形式描述的 Lurie 系统进行了广 泛深入的研究, 并且取得了一系列成果 [ 1 9] .将大 系统的思想用于解决 Lurie 控制系统的结果也很 多[ 10 11] , 由于大系统本身的复杂性, 所得到的结 论也比较复杂.为了使问题简单化, 本文研究了 具有第二标准型的 Lurie 控制大系统的绝对稳定 性, 利用 Ly apunov 方法及文献[ 12 13] 的方法, 给 出了这类 Lurie 间接控制大系统绝对稳定的充分 条件 .所得到的结论判断起来方便、简捷, 并可以 很方便地利用 M atlab 工具箱验证. 用 λ( A) 表示矩阵 A 的特征值, 而 λmax ( A) 和 λmin( A) 则分别表示矩阵 A 的最大特征值和 最小特征值.对向量, 其范数采用 Euclid 范数, ‖A ‖表示由向量的 Euclid 范数导出的矩阵范 数, 易证‖ A ‖ = λmax ( A T A) . 1 主要定理及其证明 考虑 Lurie 间接控制大系统 x · 1 x · 2  x · r = A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r … … … … Ar1 Ar2 … Arr x 1 x 2  xr + b1 b2  br σ ( 1a) σ · = ∑ r i =1 c T i xi -Pσ-f( σ) ( 1b) 其中, xi , bi , ci ∈ R n i , ∑ r i =1 ni =n , Aij是 ni ×nj 常 数矩阵( i, j =1, 2, …, r), σ, P, f ( σ)是纯量, P > 0, f ( σ)是 σ的连续函数, 并且满足 : f ( 0) =0, σf ( σ) >0 ( σ≠0) ( 2) 用 f ( σ) ∈ F [ 0, +∞) 来表示 f ( σ) 具有这一性 质. 在该条件下, 系统( 1)只有一个平衡点:( x T 1 , …, x T r, σ) T =0 . 如果对任何 f ( σ) ∈ F [ 0, ∞), 系统( 1) 的零 解(即平衡点) 都是全局渐近稳定的, 则称系统( 1) 是绝对稳定的 .假设: (i) 矩阵 Aii ( i =1, 2, …, r)稳定, 即对任一 ni ×ni 对称正定矩阵 Wi , 都存在惟一的对称正 定矩阵 Pi , 使得 A T iiPi +PiAii =-Wi ( i =1, 2, …, r) .令 δi =λmin( Wi) , 则 δi >0 . ( ii) 令 Hij =‖2 PiAij ‖, Ki =‖2 Pibi ‖, Li =‖2ci ‖, i, j =1, 2, …, r . 定理 1 在假设(i) , (ii) 下, 如果矩阵 N = -δ1 H12 … H1r K 1 H21 -δ2 … H2r K 2 … … … … … Hr1 Hr2 … -δr Kr L1 L2 … Lr -2P 稳定, 则 Lurie 间接控制大系统( 1) 是绝对稳定 的. 证明 先考虑 r +1 个孤立子系统 第 28 卷 第 7 期 2006 年 7 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .28 No.7 Jul.2006 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2006.07.021