Vol.28 No.7 郭俊伶等：Luie间接控制大系统的绝对稳定性 ·705。 xi=Aixi,i=1,2,,r (3a) 6川2+ lx川川2P4可‖川y+ 6=-Po-f(o) (3b) =1 对第i(i=L,2,,r)个孤立子系统作Lya lxⅡ2Pb:川cl=-Glx12+ punov函数 Vi=x Pixi, 空Hgx,+lxd 对孤立子系统(3)作Lyapunov函数 (i=1,2,,r: +1=02. 由于P:是对称正定矩阵，所以V(i=1,2,,r) V+=2 GG= 2sa-2p-2) 是R中的正定二次型.同样V,+1也是正定的. 且每个(i=1,2,;r,r十1)都具有无穷大性 空xII2e川-2pd2-2= 质，无穷小上界. 对=1,2，…，r,有 x:d-2Pld2 ) Vl3=x(AP十PMi)x= 把1,2，；+1的加权和 一xWx≤-G川x2, 会i=名rP+d心 = 所以Vl(3)是负定的.由Lyapunov定理知，前r 作为系统(l)的Lyapunov函数，其中d>0(i= 个孤立子系统是全局渐近稳定的. 1,2,;r,十1)为待定的正数.由于每个V(i 对第r十1个孤立子系统，由于V+1正定， =1,2,,r,r十)都正定且具有无穷大性质和 V+1l3=260=-2Po2-2Gf(G)<-2Pg2, 无穷小上界，所以V正定且有无穷大性质和无穷 小上界. 所以V+(3)也是负定的，故第r十1个子系统也 V沿着系统(1)的轨线的全导数满足 是全局渐近稳定的. 现在考虑大系统(1)的绝对稳定性. = 分dwe-多ai叶 把上面所作的函数1，，V,V,+1沿着系 统(1)的轨线求全导数，得： 空会+ hw2xP=24+4+- 空(dK+d+xld- x(AP十PAa)x十 ∑2.xP4x+2xP≤ 2driPl a2-2dr+1of(G)= Z NZ-2drtiaf(a), 其中 -2d10 d1H+d2Ha..dHird,Hr dik+dL d2H21+d1H2 -2d2.d2H2r+d Hr2 d2K2+drtL2 N= 2 -(DN+N'D). dlHi+d山H1rdH2+d2H2r… -2dn8 drKr+driLr drt1L1+dik driL2+d2K2 ..dr+iLr+diKr -4dr+iP Z=(x1l,x2,,x,1), 这里 -H2 … Hur K1 H21 -8 … H2, K2 D ,N= … dr Hr Hr2 -8 Kr d LI L2 … Lr -2Px · i =Aiixi , i =1, 2, …, r ( 3a) σ · =-Pσ-f ( σ) ( 3b) 对第 i( i =1, 2, …, r) 个孤立子系统作 Lya￾punov 函数 V i =x T iPixi , 对孤立子系统( 3b) 作 Lyapunov 函数 Vr +1 =σ 2 . 由于 Pi 是对称正定矩阵, 所以 V i( i =1, 2, …, r) 是 R n i中的正定二次型.同样 Vr +1也是正定的. 且每个 Vi( i =1, 2, …, r, r +1)都具有无穷大性 质, 无穷小上界 . 对 i =1, 2, …, r, 有 V · i (3) =x T i ( A T iiPi +PiAi i) x = -x T i Wixi ≤-δi ‖xi ‖ 2 , 所以 V · i ( 3)是负定的.由 Lyapunov 定理知, 前 r 个孤立子系统是全局渐近稳定的. 对第 r +1 个孤立子系统, 由于 Vr +1正定, V · r +1 (3) =2 σ · σ=-2Pσ 2 -2σf ( σ) <-2Pσ 2 , 所以V · r +1 ( 3)也是负定的, 故第 r +1 个子系统也 是全局渐近稳定的. 现在考虑大系统( 1) 的绝对稳定性 . 把上面所作的函数 V1, …, Vr, Vr +1沿着系 统( 1)的轨线求全导数, 得 : V · i (1) =2x T iPixi =2x T iPi Aiixi + ∑ r j =1 j≠i Aijxj +biσ = x T i ( A T iiPi +PiAii) xi + ∑ r j =1 j ≠i 2x T iPiAijxj +2x T iPibiσ≤ -δi ‖ xi ‖ 2 + ∑ r j =1 j ≠i ‖xi ‖ ‖2PiAij ‖ ‖xj ‖ + ‖ xi ‖ ‖2 Pibi ‖ σ =-δi ‖xi ‖ 2 + ∑ r j =1 j ≠i Hij ‖xi ‖ ‖xj ‖ +Ki ‖xi ‖ σ ( i =1, 2, …, r) ; V · r +1 (1) =2 σ · σ= ∑ r i =1 2c T ixiσ-2Pσ 2-2σf ( σ) ≤ ∑ r i =1 ‖xi ‖ ‖2ci ‖ σ -2P σ 2 -2σf ( σ) = ∑ r i =1 Li ‖xi ‖ σ -2P σ 2 -2 σf( σ) . 把 V1, V2, , …, Vr +1的加权和 V = ∑ r+1 i =1 diVi = ∑ r i =1 dix T iPixi +d r+1 σ 2 作为系统( 1) 的 Lyapunov 函数, 其中 di >0( i = 1, 2, …, r, r +1)为待定的正数 .由于每个 Vi( i =1, 2, …, r, r +1) 都正定且具有无穷大性质和 无穷小上界, 所以 V 正定且有无穷大性质和无穷 小上界. V 沿着系统( 1) 的轨线的全导数满足 V · (1) = ∑ r+1 i =1 di V · i ( 1) ≤- ∑ r i =1 diδi ‖ xi ‖ 2 + ∑ r i =1 ∑ r j =1 j ≠i diHij ‖ xi ‖ ‖xj ‖ + ∑ r i =1 ( diK i +dr +1 Li ) ‖xi ‖ σ - 2 dr +1P σ 2 -2dr +1 σf ( σ) = Z T NZ -2 dr +1 σf ( σ) , 其中 N = 1 2 -2d 1δ1 d1 H12 +d2 H21 … d 1 H1r +drHr 1 d 1K 1 +dr +1 L1 d2 H21 +d1 H12 -2d 2δ2 … d 2 H2r +drHr 2 d 2K 2 +dr +1 L2 … … … … … drHr1 +d1 H1r drHr2 +d2 H2r … -2drδr drKr +dr +1 Lr dr +1 L1 +d 1K 1 dr +1 L2 +d2K 2 … dr +1 Lr +drK r -4dr +1P = 1 2 ( DN +N TD), Z =( ‖x1 ‖, ‖ x2 ‖, …, ‖ xr ‖, σ ) T , 这里 D = d1 d 2 dr dr +1 , N = -δ1 H12 … H1r K 1 H21 -δ2 … H2r K 2 … … … … … Hr1 Hr 2 … -δr K r L1 L2 … Lr -2P . Vol.28 No.7 郭俊伶等:Lurie 间接控制大系统的绝对稳定性 · 705 ·