。706 北京科技大学学报 2006年第7期 注意N是M etzler矩阵.如果N是稳定的，利用 的，且有无穷大性质和无穷小上界 M etzler矩阵的性质，存在对角阵D=diag(di, 与前面类似，可得V沿着轨线(4)的全导数 d2,,d+1),其中d>0(i=L,2r十1)，使 满足 得(DN+ND)负定4.在V的表达式中 V4= 会dla+r+las 这样取d(i=L,2,r十1).再设(DN+ ZNZ-2of(a), ND)的最大特征值为-一（一KO),则上面所求 其中 N= 的Va)满足 dK1+L1 0 na≤-空xP+al的- 0 2 d2K2+L2 2d+l allf(a)l≤ 0 -d2边 0 2 -空x+1明-e dKr+Lr 0 0 -dr a 其中x=(x,x-x. 2 2 d1K1+L1 dK2+L2 drKr+Lr 注意到 是关于(x,x,)的 -2P 2 正定二次型，所以大系统(1)是全局渐近稳定的. -M 又因为f(σ)∈F[0,十∞)，所以系统(1)是绝对 -2P 稳定的.证毕 M=diag(d1a,d2d,;dr⊙)， 下面考虑A对称时系统(1)的绝对稳定性 diktL d2K2+L2 为不失一般性，设系统的形式为： 2 2 dKL 2 注意到M是正定的，仿文献1)可证，若N是半 XI A11 0 0 XI b1 负定矩阵，即一N是半正定的，则系统(4)是绝对 2 0 A22 0 x2 b2 + 稳定的.同样由于M正定，所以一N半正定的充 要条件是det(一N)≥0.而 0 0 b M - det(-N)=det (4a) -0 2P M 0 (4b) det -o" 2P-0MO 事实上，对系统(1)，若A对称由对称矩阵 det(M)(2P-0"MQ)= 的性质，存在可逆线性变换（例如可取为正交变 换)： x=Hy 所以只要能够找到正数d,d2,,d,使得 将系统(1)变为系统(4)的形式.由于所作的是可 逆线性变换，所以它们在绝对稳定性上是等价的. 2>(dkL) 名 4 adi 6 只研究系统(4)的绝对稳定性. 则系统(4)就是绝对稳定的. 定理2在假设()，()下，如果 即证式(5)成立时，则有式(6)成立. 2P> KiLi (5) 事实上，若K≠0，L≠0(i=1,2,…,r,则 名6 取 则Luie间接控制大系统(4)是绝对稳定的. 证明作系统(4)的Ly apunov函数时仍取 (=1,23r, V:的加权和 即有 =名dK++=2daip+d, KLi 4d: 其中d⊙0(i=1,2,,r,r+1).这时V是正定 所以当不等式(5)成立时，不等式(6)也成立.注意 N 是 M etzler 矩阵.如果 N 是稳定的, 利用 M etzler 矩阵的性质, 存在对角阵 D =diag ( d1, d2, …, dr +1), 其中 di >0( i =1, 2, …, r +1), 使 得 1 2 ( DN +N T D) 负定[ 14 15] .在 V 的表达式中 这样取 di ( i =1, 2, …, r +1) .再设 1 2 ( DN + N TD)的最大特征值为 -β( -β <0), 则上面所求 的V · (1)满足 V · (1) ≤-β ∑ r i =1 ‖ x ‖ 2 + σ 2 ] - 2dr +1 σ f ( σ) ≤ -β ∑ r i =1 ‖xi ‖ 2 + σ 2 =-β x σ 2 , 其中 x =( x T 1 , …, x T r -1, x T r ) T . 注意到 x σ 2 是关于( x T 1 , …, x T r , σ) T 的 正定二次型, 所以大系统( 1) 是全局渐近稳定的. 又因为 f ( σ) ∈ F[ 0, +∞), 所以系统( 1) 是绝对 稳定的.证毕 . 下面考虑 A 对称时系统( 1) 的绝对稳定性. 为不失一般性, 设系统的形式为: x · 1 x · 2  x · r = A11 0 … 0 0 A22 … 0 … … … … 0 0 … Arr x1 x2  xr + b1 b2  br σ ( 4a) σ · = ∑ r i =1 c T i xi -Pσ-f( σ) ( 4b) 事实上, 对系统( 1), 若 A 对称, 由对称矩阵 的性质, 存在可逆线性变换( 例如可取为正交变 换) : x =Hy 将系统( 1) 变为系统( 4)的形式.由于所作的是可 逆线性变换, 所以它们在绝对稳定性上是等价的. 只研究系统( 4) 的绝对稳定性 . 定理 2 在假设( i) , ( ii) 下, 如果 2P > ∑ r i =1 KiLi δi ( 5) 则 Lurie 间接控制大系统( 4)是绝对稳定的. 证明 作系统( 4) 的 Ly apunov 函数时仍取 Vi 的加权和 V = ∑ r i =1 diVi +Vr +1 = ∑ r i =1 dix T iPixi +σ 2 , 其中 di >0( i =1, 2, …, r, r +1) .这时 V 是正定 的, 且有无穷大性质和无穷小上界 . 与前面类似, 可得 V 沿着轨线( 4)的全导数 满足 V · (4) = ∑ r i =1 di V · i (4) +V · r +1 (4) ≤ Z T N Z -2σf ( σ) , 其中 N = -d1 δ1 0 … 0 d1 K 1 +L1 2 0 -d 2 δ2 … 0 d2 K 2 +L2 2 … … … … … 0 0 … -drδr d rK r +Lr 2 d 1 K1 +L1 2 d2 K 2 +L2 2 … drKr +Lr 2 -2P = -M Q Q T -2P , M =diag( d 1δ1, d 2δ2, …, drδr), Q = d1K 1+L1 2 , d2K2 +L2 2 , …, drKr +Lr 2 . 注意到 M 是正定的, 仿文献[ 12] 可证, 若 N 是半 负定矩阵, 即-N 是半正定的, 则系统( 4) 是绝对 稳定的.同样由于 M 正定, 所以 -N 半正定的充 要条件是 det( -N ) ≥0 .而 det( -N ) =det M -Q -Q T 2P = det M 0 -Q T 2P -Q T M -1 Q = det( M )( 2P -Q T M -1 Q) = det( M) 2P - ∑ r i =1 ( diKi +Li) 2 4δidi . 所以只要能够找到正数 d 1, d2, …, dr 使得 2P ≥ ∑ r i =1 ( diK i +Li) 2 4δidi ( 6) 则系统( 4)就是绝对稳定的. 即证式( 5)成立时, 则有式( 6) 成立 . 事实上, 若 Ki ≠0, Li ≠0( i =1, 2, …, r), 则 取 di = Li K i ( i =1, 2, …, r), 即有 ∑ r i =1 ( diK i +Li) 2 4 δidi = ∑ r i =1 K iLi δi . 所以当不等式( 5)成立时, 不等式( 6)也成立 . · 706 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 7 期