Vol.28 No.7 郭俊伶等：Luie间接控制大系统的绝对稳定性 ·707。 若存在某些i,使得K=L=0,相应地取d: 0.625 0.375 P1= P2=1, =1即可. 0.375 0.625 若存在某些i,使得K=0,L:≠0或K≠0， -2 0 0.7071 L=0,证明如下： N= 0 -2 为不失一般性设K1≠0，L1=0,KL:≠0(i 2.85661 -2 =2,；r,这时有 由于 |M-N=(+2)(λ+2+202(+2-202)， 所以矩阵N的特征值均为负数，即N是稳定的， 若式(5)成立可设2P一 空的-1则习 由定理1可知，该系统是绝对稳定的 另外，因为 >0.令 2P=4, Li K i=2…,r 含K号-0m25641Y-1500 2 di= 2ò1 所以从定理2，也得到该系统绝对稳定的结论 K7, =1 则 3结语 会a-空 利用大系统分解方法和Lyapunov第二方法 4 adi 研究了一类特殊的Luie间接控制大系统得到 +会告-2p 7) 了这类系统绝对稳定的一系列判别法.这些结论 判断起来方便、简捷，可以很方便地利用Matlab 从而式(6)成立. 工具箱验证. 如果K1=0,L1≠0，KL≠0(i=2,,r), 取 参考文献 【刂廖晓听.论VPe间接控制系统绝对稳定的充要条件.中 K =2,…,r 国科学.1988(10)：1032 di= [习年小红，王天成.基于LMI的Lurie控制系统的鲁棒绝对 20p i=I 稳定性判据.长沙铁道学院学报2000,18（④：74 3 Gan Z X.Han J Q.Wang PG.Generalization of LA salle s 即可得到相似结果.证毕 theorem.Annuls of Differential Equations.2001.17(2): 由定理2的证明过程还可得：如果L≠0且 116 空告 【4张孟秋章联生.几类Lric型控制系统绝对稳定性充分必 K≠0，且2P≥ 则系统(4)绝对稳定的 要条件.数学理论与应用.2002.22(3)：117 [5 Bialas S.A Necessary and sufficient condition for the stability 2 举例 of interval matrices.Int J Control 1983,37(4):717 【(孙继涛，邓飞其，刘永清.不确定ue型控制系统的绝对 考虑如下的Lurie间接控制大系统 稳定性.系统工程与电子技术，2001,23(8)：58 -2.5 1.5 -1 【刀宋乾坤.具有多滞后时变区间Lue控制系统的指数稳定 r1= 1.5-25 + 性判据.重庆师范学院学报，2003,20(1)：8 x2=-x2-0.5o [习陈武华，关治洪，卢小梅.具有多个变时滞的Lurie间接控 制系统的绝对稳定性.数学学报2004.47(0：1063 =(1.2,0.5)x1-0.5x2-fo)-2o [9高利新，汪治华.区间动力系统的鲁棒稳定性分析。应用 当f(σ)满足条件(2)时，研究其绝对稳定性. 数学.2004.17(4)：497 -2.51.5 【Ig杨斌，陈锦云.Luic型大系统的鲁棒绝对稳定性.华中 这里，A11= 15-25,4如=-1,61 理工大学学报，2000.28(9)：1 [I川余国栋.一般nic型直接控制系统绝对稳定性的充分条 =0 b2=-05,C=(1.2,0.5),C= 件.贵州科学，1999.17(4)：256 【12!图福成.一类间接控制系统的绝对稳定性.内蒙古大学学 -0.5. 报：自然科学版，1993,243)：235 取W=2L,i=L,2,则可得 【3)廖福成.一类变系数复合系统解的稳定性.数学研究与评若存在某些 i, 使得 K i =Li =0, 相应地取 di =1 即可 . 若存在某些 i, 使得 Ki =0, Li ≠0 或 Ki ≠0, Li =0, 证明如下: 为不失一般性, 设 K 1 ≠0, L1 =0, KiLi ≠0( i =2, …, r), 这时有 ∑ r i =1 K iLi δi = ∑ r i =2 KiLi δi . 若式( 5)成立, 可设 2P - ∑ r i =2 KiLi δi =η, 则 η >0 .令 di = Li K i , i =2, …, r 2δ1η K 2 1 , i =1 则 ∑ r i =1 ( d iK i +Li) 2 4δidi = η 2 + ∑ r i =1 K iLi δi < η+ ∑ r i =1 KiLi δi =2P ( 7) 从而式( 6)成立 . 如果 K 1 =0, L1 ≠0, K iLi ≠0( i =2, …, r), 取 di = Li K i , i =2, …, r L 2 1 2δ1η , i =1 即可得到相似结果.证毕. 由定理 2 的证明过程还可得 :如果 L ≠0 且 K ≠0, 且 2P ≥ ∑ r i =1 KiLi δi , 则系统( 4)绝对稳定的. 2 举例 考虑如下的 Lurie 间接控制大系统 x · 1 = -2.5 1.5 1.5 -2.5 x1 + -1 1 σ x · 2 =-x2 -0.5σ σ · =( 1.2, 0.5) x1 -0.5x2 -f ( σ) -2σ 当 f ( σ)满足条件( 2) 时, 研究其绝对稳定性. 这里, A11 = -2.5 1.5 1.5 -2.5 , A22 =-1, b1 = 1 1 , b2 = -0.5, C T 1 =( 1.2, 0.5 ), C T 2 = -0.5 . 取 Wi =2I, i =1, 2, 则可得 P 1 = 0.625 0.375 0.375 0.625 , P2 =1, N = -2 0 0.707 1 0 -2 1 2.856 6 1 -2 . 由于 λI -N =( λ+2)( λ+2 + 2.02)( λ+2 - 2.02), 所以矩阵 N 的特征值均为负数, 即 N 是稳定的, 由定理 1 可知, 该系统是绝对稳定的. 另外, 因为 2P =4, ∑ 2 i =1 K iLi δi = 0.707 1 ×2.856 6 2 + 1 ×1 2 =1.510 0, 所以从定理 2, 也得到该系统绝对稳定的结论. 3 结语 利用大系统分解方法和 Lyapunov 第二方法 研究了一类特殊的 Lurie 间接控制大系统, 得到 了这类系统绝对稳定的一系列判别法.这些结论 判断起来方便 、简捷, 可以很方便地利用 Matlab 工具箱验证. 参 考 文 献 [ 1] 廖晓昕.论лурье间接控制系统绝对稳定的充要条件.中 国科学, 1988 ( 10) :1032 [ 2] 年小红, 王天成.基于 LMI 的 Lurie 控制系统的鲁棒绝对 稳定性判据.长沙铁道学院学报, 2000, 18( 4) :74 [ 3] Gan Z X, Han J Q, Wang P G .Generalization of LA salle' s theorem .Annuals of Differential Equations, 2001, 17 ( 2 ) : 116 [ 4] 张孟秋, 章联生.几类 Lurie 型控制系统绝对稳定性充分必 要条件.数学理论与应用, 2002, 22( 3) :117 [ 5] Bialas S.A Necessary and sufficien t condition f or the stabilit y of int erval matrices.Int J Control, 1983, 37( 4) :717 [ 6] 孙继涛, 邓飞其, 刘永清.不确定 Lu rie 型控制系统的绝对 稳定性.系统工程与电子技术, 2001, 23( 8) :58 [ 7] 宋乾坤.具有多滞后时变区间 Lurie 控制系统的指数稳定 性判据.重庆师范学院学报, 2003, 20( 1) :8 [ 8] 陈武华, 关治洪, 卢小梅.具有多个变时滞的 Lurie 间接控 制系统的绝对稳定性.数学学报, 2004, 47( 6) :1063 [ 9] 高利新, 汪治华.区间动力系统的鲁棒稳定性分析.应用 数学, 2004, 17( 4) :497 [ 10] 杨斌, 陈锦云.Lurie 型大系统的鲁棒绝对稳定性.华中 理工大学学报, 2000, 28( 9) :1 [ 11] 余国栋.一般 Lu rie 型直接控制系统绝对稳定性的充分条 件.贵州科学, 1999, 17( 4) :256 [ 12] 廖福成.一类间接控制系统的绝对稳定性.内蒙古大学学 报:自然科学版, 1993, 24( 3) :235 [ 13] 廖福成.一类变系数复合系统解的稳定性.数学研究与评 Vol.28 No.7 郭俊伶等:Lurie 间接控制大系统的绝对稳定性 · 707 ·