Lurie间接控制大系统的绝对稳定性.pdf_大学文库

D01:10.13374j.isml00103x.206.07.21 第28卷第7期北京科技大学学报 Vol.28 Na 7 2006年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jul.2006 Lie间接控制大系统的绝对稳定性郭俊伶，廖福成北京科技大学应用科学学院.北京100083 摘要利用大系统分解方法和Ly即umov第二方法研究了一类Luie间接控制大系统，结合 Metzler矩阵的性质.建立了这类Lrie间接控制大系统的稳定性与低维矩阵稳定之间的关系.从而得到了这类Lue间接控制大系统绝对稳定的充分条件.其结论判断起来方便、简捷.应用实例说明了该方法的优越性关键词Luie系统：绝对稳定性：Ly apunov函数：Metzler矩阵分类号0231；TP273 自从原苏联学者Lurie在分析飞机自动驾驶 (1b 仪的稳定性中提出了Luie控制系统之后.国内外学者对以各种形式描述的Luie系统进行了广泛深入的研究并且取得了一系列成果1.将大其中，点b&∈R3, /n=n,A可是niXm常系统的思想用于解决Lurie控制系统的结果也很数矩阵(i,=L,2,…,r,o,P,f(o)是纯量，> 多10山，由于大系统本身的复杂性，所得到的结 0,f(σ)是σ的连续函数，并且满足：论也比较复杂.为了使问题简单化，本文研究了 f(0)=0,f(oD>0(o≠0) (2) 具有第二标准型的Luie控制大系统的绝对稳定用f(σ)∈F[0.十o∞)来表示f(σ)具有这一性性，利用Ly apunov方法及文献12-13]的方法，给质. 出了这类Lrie间接控制大系统绝对稳定的充分在该条件下，系统1)只有一个平衡点：(x, 条件.所得到的结论判断起来方便、简捷，并可以 x,o)=0. 很方便地利用Mtab工具箱验证. 如果对任何f(σ)∈F[0,∞)，系统(1)的零用λ(A)表示矩阵A的特征值，而入mx(A) 解（即平衡点）都是全局渐近稳定的，则称系统(1) 和入mi(A)则分别表示矩阵A的最大特征值和是绝对稳定的.假设：最小特征值.对向量，其范数采用Euclid范数 ()矩阵A:(i=1,2,r)稳定，即对任一 |A‖表示由向量的Euclid范数导出的矩阵范 nXn;对称正定矩阵W,都存在惟一的对称正数，易证‖A‖=N入x(AA). 定矩阵P,使得AP:十P:Am=一W(i=1,2 ；r.令0=入mim(形)，则p0. 1 主要定理及其证明 ()令 H=川2PAl.K=川2Pb:‖，考虑Lrie间接控制大系统 Xi A11 Li=ll2ci ll,i,j=1,2,,r. A12 Air xI bi 定理1在假设(i),()下，如果矩阵 x2 A21 A22 A2r x2 b2 aH2 Hir K1 H2 -8 …H2 K2 Xr An … Ar) Xr (Ia) Hn He …-0 Kr 收稿日期：2005-03-23修回日期.20050907 Li L2 Lr -2P 基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项目(N。稳定，则Luie间接控制大系统(I)是绝对稳定 90304007 作者简介：郭俊伶(1979一），女，硕士研究生：廖福成(1957一)，的. 男，教授证明先考虑r十1个孤立子系统

Lurie 间接控制大系统的绝对稳定性郭俊伶廖福成北京科技大学应用科学学院, 北京 100083 摘要利用大系统分解方法和 Ly apunov 第二方法研究了一类 Lurie 间接控制大系统, 结合 Metzler 矩阵的性质, 建立了这类 Lurie 间接控制大系统的稳定性与低维矩阵稳定之间的关系, 从而得到了这类 Lurie 间接控制大系统绝对稳定的充分条件.其结论判断起来方便、简捷.应用实例说明了该方法的优越性. 关键词 Lurie 系统;绝对稳定性 ;Ly apunov 函数;Metzler 矩阵分类号 O 231 ;TP 273 收稿日期:2005 03 23 修回日期:2005 09 07 基金项目:国家自然科学基金重大研究计划资助项目 ( No . 90304007) 作者简介:郭俊伶( 1979—) , 女, 硕士研究生;廖福成( 1957—) , 男, 教授自从原苏联学者 Lurie 在分析飞机自动驾驶仪的稳定性中提出了 Lurie 控制系统之后, 国内外学者对以各种形式描述的 Lurie 系统进行了广泛深入的研究, 并且取得了一系列成果 [ 1 9] .将大系统的思想用于解决 Lurie 控制系统的结果也很多[ 10 11] , 由于大系统本身的复杂性, 所得到的结论也比较复杂.为了使问题简单化, 本文研究了具有第二标准型的 Lurie 控制大系统的绝对稳定性, 利用 Ly apunov 方法及文献[ 12 13] 的方法, 给出了这类 Lurie 间接控制大系统绝对稳定的充分条件 .所得到的结论判断起来方便、简捷, 并可以很方便地利用 M atlab 工具箱验证. 用 λ( A) 表示矩阵 A 的特征值, 而 λmax ( A) 和 λmin( A) 则分别表示矩阵 A 的最大特征值和最小特征值.对向量, 其范数采用 Euclid 范数, ‖A ‖表示由向量的 Euclid 范数导出的矩阵范数, 易证‖ A ‖ = λmax ( A T A) . 1 主要定理及其证明考虑 Lurie 间接控制大系统 x · 1 x · 2  x · r = A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r … … … … Ar1 Ar2 … Arr x 1 x 2  xr + b1 b2  br σ ( 1a) σ · = ∑ r i =1 c T i xi -Pσ-f( σ) ( 1b) 其中, xi , bi , ci ∈ R n i , ∑ r i =1 ni =n , Aij是 ni ×nj 常数矩阵( i, j =1, 2, …, r), σ, P, f ( σ)是纯量, P > 0, f ( σ)是 σ的连续函数, 并且满足 : f ( 0) =0, σf ( σ) >0 ( σ≠0) ( 2) 用 f ( σ) ∈ F [ 0, +∞) 来表示 f ( σ) 具有这一性质. 在该条件下, 系统( 1)只有一个平衡点:( x T 1 , …, x T r, σ) T =0 . 如果对任何 f ( σ) ∈ F [ 0, ∞), 系统( 1) 的零解(即平衡点) 都是全局渐近稳定的, 则称系统( 1) 是绝对稳定的 .假设: (i) 矩阵 Aii ( i =1, 2, …, r)稳定, 即对任一 ni ×ni 对称正定矩阵 Wi , 都存在惟一的对称正定矩阵 Pi , 使得 A T iiPi +PiAii =-Wi ( i =1, 2, …, r) .令 δi =λmin( Wi) , 则 δi >0 . ( ii) 令 Hij =‖2 PiAij ‖, Ki =‖2 Pibi ‖, Li =‖2ci ‖, i, j =1, 2, …, r . 定理 1 在假设(i) , (ii) 下, 如果矩阵 N = -δ1 H12 … H1r K 1 H21 -δ2 … H2r K 2 … … … … … Hr1 Hr2 … -δr Kr L1 L2 … Lr -2P 稳定, 则 Lurie 间接控制大系统( 1) 是绝对稳定的. 证明先考虑 r +1 个孤立子系统第 28 卷第 7 期 2006 年 7 月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .28 No.7 Jul.2006 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2006.07.021

。706 北京科技大学学报 2006年第7期注意N是M etzler矩阵.如果N是稳定的，利用的，且有无穷大性质和无穷小上界 M etzler矩阵的性质，存在对角阵D=diag(di, 与前面类似，可得V沿着轨线(4)的全导数 d2,,d+1),其中d>0(i=L,2r十1)，使满足得(DN+ND)负定4.在V的表达式中 V4= 会dla+r+las 这样取d(i=L,2,r十1).再设(DN+ ZNZ-2of(a), ND)的最大特征值为-一（一KO),则上面所求其中 N= 的Va)满足 dK1+L1 0 na≤-空xP+al的- 0 2 d2K2+L2 2d+l allf(a)l≤ 0 -d2边 0 2 -空x+1明-e dKr+Lr 0 0 -dr a 其中x=(x,x-x. 2 2 d1K1+L1 dK2+L2 drKr+Lr 注意到是关于(x,x,)的 -2P 2 正定二次型，所以大系统(1)是全局渐近稳定的. -M 又因为f(σ)∈F[0,十∞)，所以系统(1)是绝对 -2P 稳定的.证毕 M=diag(d1a,d2d,;dr⊙)，下面考虑A对称时系统(1)的绝对稳定性 diktL d2K2+L2 为不失一般性，设系统的形式为： 2 2 dKL 2 注意到M是正定的，仿文献1)可证，若N是半 XI A11 0 0 XI b1 负定矩阵，即一N是半正定的，则系统(4)是绝对 2 0 A22 0 x2 b2 + 稳定的.同样由于M正定，所以一N半正定的充要条件是det(一N)≥0.而 0 0 b M - det(-N)=det (4a) -0 2P M 0 (4b) det -o" 2P-0MO 事实上，对系统(1)，若A对称由对称矩阵 det(M)(2P-0"MQ)= 的性质，存在可逆线性变换（例如可取为正交变换)： x=Hy 所以只要能够找到正数d,d2,,d,使得将系统(1)变为系统(4)的形式.由于所作的是可逆线性变换，所以它们在绝对稳定性上是等价的. 2>(dkL) 名 4 adi 6 只研究系统(4)的绝对稳定性. 则系统(4)就是绝对稳定的. 定理2在假设()，()下，如果即证式(5)成立时，则有式(6)成立. 2P> KiLi (5) 事实上，若K≠0，L≠0(i=1,2,…,r,则名6 取则Luie间接控制大系统(4)是绝对稳定的. 证明作系统(4)的Ly apunov函数时仍取 (=1,23r, V:的加权和即有 =名dK++=2daip+d, KLi 4d: 其中d⊙0(i=1,2,,r,r+1).这时V是正定所以当不等式(5)成立时，不等式(6)也成立

Vol.28 No.7 郭俊伶等：Luie间接控制大系统的绝对稳定性 ·707。若存在某些i,使得K=L=0,相应地取d: 0.625 0.375 P1= P2=1, =1即可. 0.375 0.625 若存在某些i,使得K=0,L:≠0或K≠0， -2 0 0.7071 L=0,证明如下： N= 0 -2 为不失一般性设K1≠0，L1=0,KL:≠0(i 2.85661 -2 =2,；r,这时有由于 |M-N=(+2)(λ+2+202(+2-202)，所以矩阵N的特征值均为负数，即N是稳定的，若式(5)成立可设2P一空的-1则习由定理1可知，该系统是绝对稳定的另外，因为 >0.令 2P=4, Li K i=2…,r 含K号-0m25641Y-1500 2 di= 2ò1 所以从定理2，也得到该系统绝对稳定的结论 K7, =1 则 3结语会a-空利用大系统分解方法和Lyapunov第二方法 4 adi 研究了一类特殊的Luie间接控制大系统得到 +会告-2p 7) 了这类系统绝对稳定的一系列判别法.这些结论判断起来方便、简捷，可以很方便地利用Matlab 从而式(6)成立. 工具箱验证. 如果K1=0,L1≠0，KL≠0(i=2,,r), 取参考文献【刂廖晓听.论VPe间接控制系统绝对稳定的充要条件.中 K =2,…,r 国科学.1988(10)：1032 di= [习年小红，王天成.基于LMI的Lurie控制系统的鲁棒绝对 20p i=I 稳定性判据.长沙铁道学院学报2000,18（④：74 3 Gan Z X.Han J Q.Wang PG.Generalization of LA salle s 即可得到相似结果.证毕 theorem.Annuls of Differential Equations.2001.17(2): 由定理2的证明过程还可得：如果L≠0且 116 空告【4张孟秋章联生.几类Lric型控制系统绝对稳定性充分必 K≠0，且2P≥ 则系统(4)绝对稳定的要条件.数学理论与应用.2002.22(3)：117 [5 Bialas S.A Necessary and sufficient condition for the stability 2 举例 of interval matrices.Int J Control 1983,37(4):717 【(孙继涛，邓飞其，刘永清.不确定ue型控制系统的绝对考虑如下的Lurie间接控制大系统稳定性.系统工程与电子技术，2001,23(8)：58 -2.5 1.5 -1 【刀宋乾坤.具有多滞后时变区间Lue控制系统的指数稳定 r1= 1.5-25 + 性判据.重庆师范学院学报，2003,20(1)：8 x2=-x2-0.5o [习陈武华，关治洪，卢小梅.具有多个变时滞的Lurie间接控制系统的绝对稳定性.数学学报2004.47(0：1063 =(1.2,0.5)x1-0.5x2-fo)-2o [9高利新，汪治华.区间动力系统的鲁棒稳定性分析。应用当f(σ)满足条件(2)时，研究其绝对稳定性. 数学.2004.17(4)：497 -2.51.5 【Ig杨斌，陈锦云.Luic型大系统的鲁棒绝对稳定性.华中这里，A11= 15-25,4如=-1,61 理工大学学报，2000.28(9)：1 [I川余国栋.一般nic型直接控制系统绝对稳定性的充分条 =0 b2=-05,C=(1.2,0.5),C= 件.贵州科学，1999.17(4)：256 【12!图福成.一类间接控制系统的绝对稳定性.内蒙古大学学 -0.5. 报：自然科学版，1993,243)：235 取W=2L,i=L,2,则可得【3)廖福成.一类变系数复合系统解的稳定性.数学研究与评

若存在某些 i, 使得 K i =Li =0, 相应地取 di =1 即可 . 若存在某些 i, 使得 Ki =0, Li ≠0 或 Ki ≠0, Li =0, 证明如下: 为不失一般性, 设 K 1 ≠0, L1 =0, KiLi ≠0( i =2, …, r), 这时有 ∑ r i =1 K iLi δi = ∑ r i =2 KiLi δi . 若式( 5)成立, 可设 2P - ∑ r i =2 KiLi δi =η, 则 η >0 .令 di = Li K i , i =2, …, r 2δ1η K 2 1 , i =1 则 ∑ r i =1 ( d iK i +Li) 2 4δidi = η 2 + ∑ r i =1 K iLi δi < η+ ∑ r i =1 KiLi δi =2P ( 7) 从而式( 6)成立 . 如果 K 1 =0, L1 ≠0, K iLi ≠0( i =2, …, r), 取 di = Li K i , i =2, …, r L 2 1 2δ1η , i =1 即可得到相似结果.证毕. 由定理 2 的证明过程还可得 :如果 L ≠0 且 K ≠0, 且 2P ≥ ∑ r i =1 KiLi δi , 则系统( 4)绝对稳定的. 2 举例考虑如下的 Lurie 间接控制大系统 x · 1 = -2.5 1.5 1.5 -2.5 x1 + -1 1 σ x · 2 =-x2 -0.5σ σ · =( 1.2, 0.5) x1 -0.5x2 -f ( σ) -2σ 当 f ( σ)满足条件( 2) 时, 研究其绝对稳定性. 这里, A11 = -2.5 1.5 1.5 -2.5 , A22 =-1, b1 = 1 1 , b2 = -0.5, C T 1 =( 1.2, 0.5 ), C T 2 = -0.5 . 取 Wi =2I, i =1, 2, 则可得 P 1 = 0.625 0.375 0.375 0.625 , P2 =1, N = -2 0 0.707 1 0 -2 1 2.856 6 1 -2 . 由于 λI -N =( λ+2)( λ+2 + 2.02)( λ+2 - 2.02), 所以矩阵 N 的特征值均为负数, 即 N 是稳定的, 由定理 1 可知, 该系统是绝对稳定的. 另外, 因为 2P =4, ∑ 2 i =1 K iLi δi = 0.707 1 ×2.856 6 2 + 1 ×1 2 =1.510 0, 所以从定理 2, 也得到该系统绝对稳定的结论. 3 结语利用大系统分解方法和 Lyapunov 第二方法研究了一类特殊的 Lurie 间接控制大系统, 得到了这类系统绝对稳定的一系列判别法.这些结论判断起来方便、简捷, 可以很方便地利用 Matlab 工具箱验证. 参考文献 [ 1] 廖晓昕.论лурье间接控制系统绝对稳定的充要条件.中国科学, 1988 ( 10) :1032 [ 2] 年小红, 王天成.基于 LMI 的 Lurie 控制系统的鲁棒绝对稳定性判据.长沙铁道学院学报, 2000, 18( 4) :74 [ 3] Gan Z X, Han J Q, Wang P G .Generalization of LA salle' s theorem .Annuals of Differential Equations, 2001, 17 ( 2 ) : 116 [ 4] 张孟秋, 章联生.几类 Lurie 型控制系统绝对稳定性充分必要条件.数学理论与应用, 2002, 22( 3) :117 [ 5] Bialas S.A Necessary and sufficien t condition f or the stabilit y of int erval matrices.Int J Control, 1983, 37( 4) :717 [ 6] 孙继涛, 邓飞其, 刘永清.不确定 Lu rie 型控制系统的绝对稳定性.系统工程与电子技术, 2001, 23( 8) :58 [ 7] 宋乾坤.具有多滞后时变区间 Lurie 控制系统的指数稳定性判据.重庆师范学院学报, 2003, 20( 1) :8 [ 8] 陈武华, 关治洪, 卢小梅.具有多个变时滞的 Lurie 间接控制系统的绝对稳定性.数学学报, 2004, 47( 6) :1063 [ 9] 高利新, 汪治华.区间动力系统的鲁棒稳定性分析.应用数学, 2004, 17( 4) :497 [ 10] 杨斌, 陈锦云.Lurie 型大系统的鲁棒绝对稳定性.华中理工大学学报, 2000, 28( 9) :1 [ 11] 余国栋.一般 Lu rie 型直接控制系统绝对稳定性的充分条件.贵州科学, 1999, 17( 4) :256 [ 12] 廖福成.一类间接控制系统的绝对稳定性.内蒙古大学学报:自然科学版, 1993, 24( 3) :235 [ 13] 廖福成.一类变系数复合系统解的稳定性.数学研究与评 Vol.28 No.7 郭俊伶等:Lurie 间接控制大系统的绝对稳定性 · 707 ·