Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进：C*-模糊集合理论

[D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2005.05.032 第27卷第5期 北京科技大学学报 Vol.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 院士论坛 Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进： C-模糊集合理论 高庆狮 北京科技大学智能、语言与计算机科学研究所，北京100083 摘要分析和证明了Zadh模糊集合理论的三个缺点和两个错误，提出了一个考虑模糊集 合之间关系，并且用相关系数米刻画这种关系的程度的新模糊集合理论（系统）—C一模糊 集合理论（系统）.新理论（系统）能克服Zadeh模糊集合理论的三个缺点和两个错误：能正确地 描绘客观世界的全部模糊现象：有补集：隶属度有统一的计算公式；并且是经典集合系统的 特例，能满足全部经典集合的公式，与正常思维、逻辑和概念一致， 关键字集合；模糊集合：Zadeh模糊集合理论：C-模糊集合理论 分类号0159 1引言 Zadeh模糊集合理论不能满足经典集合的全 部公式，尤其是不能满足A一UA=Q和AUA=O, 在本文中，一个集合系统、集合子系统或者 其中，Q是模糊全集. 集合理论是指由集合及其关系、运算、公式、定义 Zadeh的模糊集合理论是经典集合理论的扩 和定理构成的系统， 充.如果限制隶属度的值为{0,1}，并且当u∈A时 11 Zadeh模糊集合理论 u(uFl,当u住A时u(w)=O,则模糊集合理论就成为 Zadeh模糊集合理论的定义"a:设U是一个 经典集合理论， 经典集合，称为全集，令4表示其元素.模糊子集 自从1965年模糊集合论创始人Zadeh提出 A定义为： 模糊集合理论以来，40年来，应用上有一些发展， {(w,()lu∈U) 但是也存在着一些严重的问题.为了使模糊集合 其中，4(u)为u隶属于A的隶属度，4()是一个实 的理论和应用更好发展，就不能回避，或者封锁 数，它满足0≤4()≤1. 压制，或者采用不科学的、类似于天文学上的本 Zadeh-模糊集合A和B之间的关系： 轮的、繁琐的方法去处理系统中存在的某些问 ASB(A是B的子集，即B包含A)被定义为： 题.否则，对进一步发展是有害的，越来越繁琐， (tu∈U(μ(w)sμ(u). 越来越不符合人们正常思维，这对模糊集合应用 A=B(集合相等)的定义可以由ASB的定义推 的推广十分有害. 出：(ueU00u(a片μ(u: 1.2 Zadeh模糊集合理论的缺点 Zadeh--模糊集合的并集(U交集(n)和补集 (I)Zadeh模糊集合理论的缺点之一.Zadeh的 (一)操作的隶属度分别被定义为： 模糊集合系统存在着不能描述部分客观世界模 (VuEU)(uv(u)=max(u(u),u(u))), 糊现象的缺点， (u∈U)uuna(u=min{ua(u）w4au)}), 例1（在“不相交”的情况）：如果17岁隶属于 (Vu∈U)-(u-1-4(w). 青年的隶属度为4年(17)=0.6，隶属于少年的隶属 收稿日期：200507-12修回日期：2005-09-21 度为4少(17)=0.4.按正常思维，青少年是青年和 基金项目：国家自然科学基金(No.GJZRJJ-60343010,GJZRJJ- 少年的并集，隶属于这个并集的隶属度应该是 60573014):“973”项目No.2003CB317007):中国科学院计算技 4街年(17)上1.0.而Zadeh的模糊集合理论却给出 术研究所创新工程基金No.20056510) 作者简介：高庆狮(1934一)，男，博士生导师，中国科学院院士 4年(17)0.6的错误结果

第 2 7卷 第 5期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vo L27 N . o 5 2 0 0 5年 10月 J o u r o a l o f Un v i er s ity o f s c ci n c e an d Te c h n o f o gy B e ji i n g o e t . 2 0 0 5 骥鬓霎 Z a de h 模糊集合理论的缺陷及其改进 : *C 一 模糊集合理论 高庆狮 北 京科 技大 学智 能 、 语 言与 计算 机科学 研究 所 , 北京 10 0 0 83 摘 要 分析 和证 明 了 z ad 比 模 糊 集合 理论 的三 个缺 点和 两个 错 误 , 提 出 了一个 考虑 模糊集 合之 间 关系 , 并 且用 相关 系数 来刻 画这 种 关系 的程度 的新模 糊集 合理 论 ( 系统 )— ’C 一 模糊 集合 理 论 (系统 ) . 新理 论 (系统 ) 能克服 Z ad he 模糊 集合 理论 的三 个缺 点和 两个 错误 ; 能 正确地 描绘 客观 世 界 的全 部 模糊 现象 ; 有 补集 ; 隶属 度 有统 一 的计算 公式 ; 并且 是经 典 集合 系统 的 特例 , 能 满足 全部 经典 集合 的公 式 , 与正 常思 维 、 逻 辑和 概念 一致 . 关键 字 集合 ; 模糊 集合 ; Z ad he 模 糊 集合 理论 ; ’C 一 模 糊 集合 理论 分类 号 0 1 5 9 1 引 言 在本 文 中 , 一个 集 合 系统 、 集 合 子 系 统或 者 集合 理论 是指 由集 合及 其 关系 、 运 算 、 公式 、 定义 和 定理 构 成 的系 统 . L l Z a ds h 模 糊集 合 理论 Z a d e h 模糊 集 合理 论 的定义 〔l,2 , : 设 U 是一 个 经 典集 合 , 称 为全 集 , 令 u 表 示 其 元 素 . 模糊 子 集 A 定 义 为 : {( u 和( u ))} u 任 )U 其 中 , 脚(u) 为 u 隶 属 于 左 的隶 属度 ,角 (u) 是 一个 实 数 , 它满 足 0 ` 脚u( ) ` 1 . Z ad e 卜模糊 集 合 A 和 B 之 间 的关系 : A 二B (A 是 B 的 子集 , 即 B 包 含 )A 被 定义 为 : ( V u 任 功俩( u ) ` 召, ( u ) ) . A绍(集 合相 等 ) 的 定义 可 以 由A 旦 B 的 定义 推 出 : ( V u 任 功俩( u ) , 成u ) ) : Z ad e卜模 糊 集 合 的并集 ( u ) 、 交 集 (门 )和 补 集 ( , )操作 的隶属 度 分别 被 定义 为 : (V u 任 功俩 u如 )二ax 俩( u ) , # , ( u ) }) , ( V u 任 功伽 刁 n , ( u )=m i n {脚 ( u )声, ( u ) }) , ( V u 任 功伽、 ( u ) = l 一脚 ( u ) ) . 收稿 日期 : 2 0 5一7 一 12 修回 日期 : 20 05 刁9一1 基金项 目 : 国家 自然 科学 基金 (N 0 . G zJ RJ J 一 6 0 3 4 3 0 1 0 , G zJ 川J - 6 0 57 3 0 14 ) ; “ 97 3 ” 项 目困 o . 2 0 0 3 C B 3 17 0 0 7 ) ; 中 国科 学 院计算 技 术 研究 所创新 工程 基金 (N .0 2 0 0 5 6 51 0) 作 者简 介 : 高庆狮 ( 19 3 4一) , 男 , 博士 生导 师 , 中 国科学 院 院士 Z ad he 模 糊集 合 理 论不 能满 足 经 典集 合 的全 部 公 式 , 尤其 是 不 能满 足 A , u A= 口和 A , U A= 0 , 其 中 , 口 是 模糊 全 集 . Z ad he 的模糊 集 合 理论 是 经典 集 合理 论 的扩 充 . 如 果 限制 隶属 度 的值 为 { 0 , 1 } , 并且 当u 任 A 时 脚 u( =) 1 , 当u 磋A 时脚 (u) = 0 , 则模 糊集 合 理论 就成 为 经 典 集合 理 论 . 自从 19 65 年模 糊 集合 论 创 始人 Z ad he 提 出 模 糊集 合 理论 以来 , 40 年来 , 应 用上 有一 些发 展 , 但 是 也存 在着 一些 严重 的 问题 . 为 了使 模糊 集合 的理 论和 应 用更 好 发展 , 就 不 能 回避 , 或 者封 锁 压 制 , 或 者 采用 不 科 学 的 、 类似 于 天 文学 上 的本 轮 的 、 繁 琐 的方 法 去 处 理 系统 中存 在 的某 些 问 题 . 否 则 , 对 进 一 步 发展 是有 害 的 , 越来 越 繁琐 , 越 来越 不 符合人 们 正常 思维 , 这 对 模糊 集合应 用 的推广 十 分 有 害 . 1 . 2 Z ad he 模 糊 集合 理 论 的缺 点 ( 1)z ad he 模糊 集 合 理论 的缺 点之 一 Z a de h 的 模 糊 集 合 系统 存 在 着 不 能描 述 部 分 客 观世 界 模 糊 现象 的缺 点 . 例 1 ( 在 “ 不 相交 ” 的情 况 ) : 如果 17 岁隶属 于 青 年 的隶 属度 为湘 年 ( 17) 二 .0 6 , 隶属 于 少年 的隶属 度 为脚 年 ( 17) = .0 4 . 按 正 常思 维 , 青 少 年是 青年 和 少 年 的 并集 , 隶 属 于 这个 并 集 的隶 属度 应 该 是 海蟀( 17) = 1 :0 而 Z ad he 的模 糊 集 合理 论 却给 出 内 少年 ( 17) 二.0 6 的错误 结 果 . DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 032

·514 北京科技大学学报 2005年第5期 (2)Zadeh模糊集合理论的缺点之一的修补无 补集，导致与常规思维、逻辑和概念相悖 效.Zadeh模糊集合理论只好借助于不自然的、人 证明：参见表l.令H=AUBUC,有Vu∈U, 造的和难以解释的，诸如minu(u十μa(w),1}(粗 (u(u)1-(w),H包括C,但不是C的补集.Zadeh 体并)和max{04a(u十4()-I}(粗体交)来弥补. 模糊集合理论存在着错误， min{u(u十uaw),l}和max{0,(w)tμ(w-l}仅仅是 表1例3的补充 满足a,0)=a,G(a,0=0,Fa,1)=1,Ga,1)=a, Table 1 Table supplement of Ex.3 Fa,1-a=1,G(a,1-a)=0和0≤a,b,Fa,b),G(a,b)≤1 1.551.601.651.701.751.801.851.90以上 的Fa,b)及Ga,b)的解.但是它对“包含”（指A包 A 0.00.00.0 0.10.30.70.91.0 含B,或者B包含A)的情况，反而不正确了（参见 B 0.00.2 0.60.70.7 0.30.10.0 下例). C0.50.40.20.10.00.00.00.0 D0.50.40.20.10.00.00.00.0 例2（在“包含”的情况）：假设30岁是青年的 隶属度为02，是青少年的隶属度仍然是02，那么 Zadeh的模糊集合理论不可能存在补集，但 是青年和青少年的并集显然应该仍然是0.2，它 却错误定义了补集，导致不能满足AUA=Q和 却给出min{02+0.2,1}-0.4的错误结果. AnA=⑦.这意味着存在既不属于A又不属于一A 如果两个理论(Zadeh和粗体理论)合在一起 的子集，存在着既属于A又属于一A的子集.如果 使用，不仅难于解释，也不知道什么情况下应该 隶属度等于0.5，就出现A=A.与常规思维、逻辑 使用哪一个，事实证明，它仍然不能描绘客观世 和概念相悖. 界的全部情况. (2)Zadeh模糊集合理论的错误之二.Zadeh先 例3（在“相交而不包含”的情况）：设身高 生及其同僚，没有认真自我检查一下，把错误 1.7m隶属于A(高个子)B(中个子)人C(小个子)和 和缺点说成为“对传统的挑战”、“摆脱传统的约 D(矮个子)的隶属度分别为0.1,0.7,0.1和0.1.有 束-先进成果.结果误导人们误以为模糊集会 隶属于E(中高个子)和F(中小个子)的隶属度分 理论必然与常规思维、逻辑和概念相悖.这不仅 别为0.8和0.8.隶属于E和F的交集G=EnF和并 仅是“不容易讲清楚”的问题.而事实是模糊集 集H=EUF的隶属度应该是(1.7)=0.7和 合理论不需要与常规思维、逻辑和概念相悖.这 4Eu1.70.9. 点很容易证明，只要Zadeh先生去掉不存在的补 但是根据Zadeh的公式，它们是4ndl.7)F 集，就与常规思维、逻辑和概念不相悖了.新模糊 min{0.8,0.8}-0.8和4a(1.7)=max{0.8,0.8}=0.8,或者 集合理论本来就存在真正的补集，自然不与常规 补救算式（粗体交和粗体并），4n(1.7)-max{0.8+ 思维、逻辑相悖了， 0.80-1,0}=0.6和4eur(1.7)-min{0.8+0.8,1}=1,都不 正确！ 2一个新模糊集合理论：C一模糊 (3)Zadeh模糊集合理论的缺点之二.Zadeh模 集合理论(U,X4) 糊集合理论不可能存在补集，系统不完备！证明 参考第3.4节. 重要约定：当2是实数区间[a,b],或者(a,b), (4)Zadeh模糊集合理论的缺点之三.由于 或者[a,b),或者(a,b]的所有实数构成的实数集合 Zadch及其同僚没有认真承认缺点，克服缺点，而 时，在本文中两个集合或者模糊集合之间的“关 是采用没有统一理论指导的“算子”拼盘来掩盖 系”都是指“本质关系”，其中，集合包括集合片， 缺点，使得缺乏科学性更加严重.结果不仅缺点 模糊集合包括模糊集合片，关系包括不相交、包 没有克服，反而增加一个缺点：系统混乱，缺乏统 含、相交而不包含等关系.本质关系包括“本质不 一科学基础，不清楚什么时候需要使用什么算 相交”、“本质包含”、“本质相交而不包含”等关 子.例如，使用者不知道什么时候该用Zadeh的并 系.“本质不相交”指相交部分的Lebesgue测度 集，什么时候该用粗体并集.因为Zadh模糊集合 (或者隶属度)为0，“本质包含”指不包含部分的 理论没有考虑模糊集合之间的关系. Lebesgue测度（或者隶属度）为0，“本质相交而不 1.3 Zadeh模糊集合理论的错误 包含”指相交部分、A不包含B的部分及B不包含 (I)Zadeh模糊集合理论的错误之一.Zadeh的 A的部分的Lebesgue测度（或者隶属度）都是大于 模糊集合理论不可能存在补集，但却错误定义了 0.Lebesgue测度为0的部分，其对应的隶属度均

. 5 1 4 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 5 年 第 5 期 补 集 , 导致 与 常规 思 维 、 逻 辑 和概 念 相 悖 . 证 明 : 参 见表 1 . 令分训 u B u C, 有 V u任 ,U 伽成u ) = l 一产如 )) , H包 括 C , 但 不是 C 的补 集 . Z ad e h 模 糊 集合 理 论 存在 着 错 误 . 表 1 例 3 的补 充 aT b l e 1 aT b l e s u P P l e m e . t o f E .x 3 5 5 1 . 6 0 1 . 6 5 7 0 1 . 7 5 8 0 1 . 8 5 1 . 9 0 以 上 9 0n1 o0n ` 10 八U O0 , 甘Cn 凡了J 0no 0 八U 内ù勺、 . 0 八U00 1 1 ūz ` l ,卫 0 n0o 024 0 026 0 ù、JI ABDC 0 (2 ) Z ad he 模 糊 集合 理论 的缺 点之 一 的修补 无 效 . Z ad he 模 糊集 合理 论 只好 借助 于 不 自然 的 、 人 造 的和难 以解 释 的 `, , , 诸 如 m i n ha ( u )切 , ( u ) , l } (粗 体并 ) 和 m ax { 0莎( u )切 B ( u卜 l }(粗 体 交 ) `, , 来 弥补 . m i n俩 ( u )切 , ( u ) , l } 和 m ax { 0和( u )切成u 卜 l } 仅 仅 是 满足 (F a , 0 ) = a , G ( a , 0 ) = 0 , 爪 a , l ) = l , 以 a , l ) = a , (F a , l 一 a ) = l , G ( a , l 一 a ) = 0 和 0 ` a , b , (F a , b ) , G ( a , b ) ` l 的(F a, b) 及 G a( , b) 的解 . 但 是它 对 “ 包 含 ” ( 指 A 包 含 B , 或 者 B 包 含 )A 的情 况 , 反而 不 正确 了 (参 见 下例 ) . 例 2 (在 “ 包 含 ” 的情 况 ) : 假 设 30 岁 是青 年 的 隶属度 为 .0 2 , 是青少 年 的隶 属度 仍然 是 .0 2 , 那 么 是 青 年和 青 少年 的并集 显 然 应 该仍 然 是 .0 2 , 它 却 给 出 m i n { 0 . 2 + 0 . 2 , l } = 0 . 4 的错 误 结 果 . 如 果 两个 理论 (z ad he 和粗 体 理 论 )合 在 一起 使 用 , 不仅 难 于解 释 , 也不 知道 什 么 情 况 下 应 该 使 用 哪一 个 . 事 实证 明 , 它 仍然 不 能 描 绘客 观世 界 的全 部 情况 . 例 3 (在 “ 相交 而 不包 含 ” 的情 况 ) : 设 身 高 1 . 7 m 隶 属 于 A (高 个 子 ) 、 B ( 中个 子 ) 、 (C 小 个 子 )和 D ( 矮个 子 ) 的隶 属度 分 别 为 0 . 1 , .0 7 , 0 . 1 和 0 . 1 . 有 隶 属 于 E ( 中 高个 子 ) 和 F ( 中小个 子 ) 的隶 属度 分 别 为 0 . 8 和 0 . 8 . 隶属 于 E 和 F 的交集 G = E n F 和并 集月卜五U F 的 隶 属 度 应 该 是脚试 1 . 7) = .0 7 和 产E u式1 . 7 ) = 0 . 9 . 但 是 根 据 Z a d e h 的 公 式 , 它 们 是产E n 成1 . 7 ) = m i n { 0 . 8 , 0 . 8 } = 0 . 8 和召E u 成1 . 7 )=tn ax { 0 . 8 , 0 . 8 } = 0 . 8 , 或者 补 救 算式 (粗 体 交 和 粗 体 并 ) , 脚 n式1 . 7 )二ax { .0 8十 0 . 8 0 一 1 , 0 } = 0 . 6 和产: u成1 . 7 )=m i n { 0 . 8 + 0 . 8 , l } = l , 都不 正确 ! (3 )Z ad he 模 糊集 合 理 论 的缺 点之 二 . Z ad he 模 糊集 合理 论不 可 能存 在补 集 , 系 统不完 备 ! 证 明 参考 第 3 . 4 节 . (4 ) Z ad he 模 糊 集 合 理 论 的缺 点 之 三 . 由于 Z ad e h及 其 同僚 没有 认 真承 认缺 点 , 克 服缺 点 , 而 是采 用 没有 统 一理 论 指 导 的 “ 算 子 ” 拼 盘来 掩 盖 缺 点 , 使得 缺 乏科 学 性 更加 严 重 . 结果 不仅 缺 点 没有 克服 , 反 而增 加一 个缺 点 : 系 统混 乱 , 缺乏 统 一科 学 基 础 , 不清 楚什 么 时 候 需 要使 用 什 么 算 子 . 例 如 , 使 用者 不知 道什 么 时候 该用 Z ad he 的并 集 , 什 么 时候 该用 粗体 并集 . 因为 Z a de h 模 糊集 合 理 论 没有 考 虑模 糊 集 合之 间 的关系 . 1 . 3 Z ad e h 模糊 集 合理 论 的 错误 ( l) Z ad he 模糊 集合 理论 的错 误 之一 Z ad he 的 模 糊集 合 理论 不可 能 存在 补集 , 但 却错 误 定义 了 Z ad he 的模 糊 集合 理 论 不可 能 存在 补 集 , 但 却 错 误 定 义 了补 集 , 导致 不 能 满 足 A u 叨= 口 和 A n 沮= 0 . 这 意味 着存 在 既 不 属于 A 又 不 属 于沮 的 子集 , 存 在 着 既属 于 A 又 属 于喇 的 子集 . 如 果 隶 属度 等 于 .0 5 , 就 出现 A = 喇 . 与 常规 思维 、 逻 辑 和 概念 相 悖 . (2 ) Z ad he 模糊 集 合 理论 的错 误之 二 . Z ad he 先 生 及 其 同僚 , 没 有 认 真 自我检 查一 下 , 把 错 误 和 缺 点说 成 为 “ 对 传 统 的挑 战 ” 、 “ 摆 脱传 统 的约 束 ” 2[ 一序 〕先 进成 果 . 结果误 导 人们 误 以为模 糊集 会 理 论必 然 与常 规 思 维 、 逻 辑 和概 念 相 悖 . 这 不 仅 仅 是 “ 不容 易 讲清 楚川2] 的 问题 . 而 事实 是 模糊 集 合 理论 不 需要 与 常 规 思维 、 逻辑 和 概 念相 悖 . 这 点 很容 易证 明 , 只 要 Z a de h 先 生去 掉 不存 在 的补 集 , 就 与常规 思 维 、 逻辑 和 概念 不相 悖 了 . 新模 糊 集合 理论 本 来就 存在 真 正 的补集 , 自然 不 与常 规 思 维 、 逻 辑相 悖 了 . 2 一 个 新 模糊 集合理 论 : *C 一 模糊 集合理 论 (口户导才 ) 重 要 约定 : 当口 是实 数 区 间 a[ , b] , 或者 a( , b) , 或 者 a[ ,b ) , 或 者 a( ,b」的所 有 实数 构成 的实 数集 合 时 , 在 本文 中两个 集 合 或者 模 糊集 合 之 间的 “ 关 系 ” 都 是指 “ 本质 关 系 ” . 其 中 , 集 合包 括 集 合 片 , 模 糊集 合 包 括模 糊 集 合 片 , 关 系包 括 不 相 交 、 包 含 、 相 交而 不 包含 等关 系 . 本质 关 系包 括 “ 本质 不 相 交 ” 、 “ 本质 包 含 ” 、 “ 本质 相 交 而 不包 含 ” 等 关 系 . “ 本 质 不相 交 ” 指 相 交 部 分 的 L eb es g ue 测 度 (或 者 隶属 度 ) 为 0 , “ 本质 包 含 ” 指不 包 含 部分 的 L e b es g u e 测度 (或 者 隶属 度 ) 为 0 , “ 本 质 相 交而 不 包 含 ” 指 相 交部 分 、 A 不包 含 B 的部 分及 B 不包 含 A 的部 分 的 L eb es gu e 测 度 ( 或者 隶属 度 ) 都 是大 于 0 . L eb es g ue 测 度 为 0 的部分 , 其对 应 的隶 属度 均

Vol.27 No.5 高庆狮：Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进：C-模糊集合理论 ·515◆ 为0.Lebesgue测度大于0的部分，其对应的隶属 定义3C-模糊集合片A(w)与B(a)之间的关 度均大于0 系：A(u)sB(u)(B'(w)包含A(w)被定义为5(u=1; 2.1例子 A(w与B(W相互包含被定义为5a(小-1或 (1)U是一维 5s(w1;A(w)与B(W不相交被定义为(u0.从 例4U={1,2,…,}岁是年龄集，X={老年，中年， 而有： 青年，少年，幼年}是老少程度.令“年龄4隶属于 “A(与B(W)相交而不包含”可以被定义为 老少程度x”的隶属度为4a(u).其C-模糊集合理 0<5s(w)K1且0(w)水1；相交为0<a(w:不包含 论的隶属度分布{u.(w)reX}满足∑4(u-l. 为wa(w水l:A(uFB'(w)充分必要条件是(u=1 例5U={0.4,,1.5,1.6,1.7,…}m是高度集，X= 且wn(uFl. {特高，高，中，小，矮}是高矮程度.令“高度为4隶 C-模糊集合A与B之间的关系类似：A=B 属于高矮程度x”的隶属度为(u).其C-模 (B包含A)被定义为Vu∈U,(G(w1). 糊集合理论的隶属度分布{ua(uxeX)满足 A与B非一致包含被定义为廿u∈U,(A'(w)sB Σ4a(w=1. (）或B^(u)sA^(u》,也就是廿u∈U,(《(=1或 (2)U可以是多维的U=U×U×…, 5a(w)=1). 例4”U,={1,2,,}岁是年龄集，0={10,20，…} A与B不相交被定义为Hu∈U,(G(u)O). 年前，X={老年，中年，青年，少年，幼年}是老少程 从而有： 度.“年龄u隶属于老少程度x的隶属度为(u)” A与B处处相交且处处不包含，被定义为 可以改为“年龄4在4，年前隶属于老少程度x的 廿u∈U,(0<ξs(W)水1且0<(u)I);相交为0<5： 隶属度为4a(,)”,其C-模糊集合理论的隶属 不包含为5s(水l;A'=B充分必要条件是u∈U, 度分布{4(u,)r'∈X}满足∑a(h,l. (A^(w)sB'(w且B'(w)sA'(u),也就是Hu∈U,(5(wF 例5’U={0.4,,1.5,1.6,17,…}m是高度集， 1且w(ul). U2={a,b…}地区，U={10,20,…}年前，X={特高， 定义4C-模糊集合片A'(u)(u(w)与B() 高，中，小，矮}是高矮程度.“高度为4隶属于高矮 =(u,(w》之间的运算： 程度x的隶属度为4(W”可以改为“高度为在 交运算：A(w)nB'(u)被定义为(u,4nu),其 地区，在年前隶属于高矮程度x的隶属度为 中4un(W是u隶属于AnB的隶属度， (4,山，4)”.其C-模糊集合理论的隶属度分布 并运算：A(uUB^()被定义为(u4u(),其中 {4s(4,4,4x'eX}满足∑4a(4,,4上l. Ha()是u隶属于AUB的隶属度. 2.2基于三维模型(U,X)的C-模糊集合理论 共轭运算：如果A,B满足寸u∈U,u(w)计() 定义1C-模糊集合理论(U,X4)为：假设U =l),则称A,B共轭.记A=⊙B,B-OA.⊙A(W)被定义 和2是经典集合，U是论域，4是U的元素，X是2 为(ue(u),其中e(u)是4隶属于⊙A的隶属度. 的全体子集的集合，显然，X也是经典集合.A= 补（反）运算：一A(w)被定义为(u44(u),其中 {(u(a训u∈U)是C-模糊集合，其中，A∈Xμ() 4(是4隶属于A的隶属度. 是u隶属于A的隶属度，满足0≤μ(w)≤1,4e()-O, C一模糊集合A与B之间的运算类似： 4(l,及μuau)Hu+4-nb(）. 交运算：A'nB被定义为{(u4uns(u)u∈U,其 A'=(u()被称为C-模糊集合片，其中， 中4n()是u隶属于AnB的隶属度， w∈U,A∈X, 并运算：A'UB被定义为{(u,(u)u∈U,其 X”是Q的一划分，是X的特殊的、有穷的子 中μ(d)是4隶属于AUB的隶属度 集，其中所有元素x相互不相交，而且满足 共轭运算：⊙A被定义为{(u4a(W)川u∈U),其 Ux-=2和∑4(u)-1. 中4a(w)是u隶属于⊙A的隶属度. 定义2在C-模糊集合理论中，5a吕 补（反）运算：A被定义为{(u(u)训u∈U),其 被定义为C-模糊集合A对于C-模糊集合B在 中4-(w)是u隶属于A的隶属度. 4上的相关系数.从而满足5(u)-l,e(u小0， 显然，有 Go(uF1和0≤5(w)≤1，其中，(u)+0,u∈U,A∈X, 廿u∈U,(uun)=μ(u)×(,(从定义2). 且B∈X.以及4u)=(计μa(w)×5ws(u).(从定义1 廿ueU,u(w=μ(u)+μa(×G4s(w),(从定义2). 得到.) u∈U,(u(aHua(u-1),(从共轭定义)

V匕】 . 27 N o . 5 高庆 狮 : Z a ed h 模 糊集 合理 论 的缺 陷及其 改进 : ’C 一 模糊 集合 理论 一 5 1 5 . 为 0 . L e b se g u e 测度 大 于 O 的部 分 , 其 对 应 的隶 属 度 均 大 于 0 . .2 1 例 子 ( l) U 是一 维 . 例 4 =U { 1 , 2 , … , }岁 是 年龄 集 ,厂= {老 年 , 中年 , 青 年 , 少 年 , 幼 年 } 是 老 少程 度 . 令 “ 年 龄 u 隶 属 于 老 少程度户 , 的隶 属度 为脚 (u) . 其 ’C 一 模 糊集 合 理 论 的隶属 度 分 布 伽 ` (ul) xs 任Xt }满 足 凡必 $ ( u) =l . 例 S =U { 0 . 4 , … , 1 . 5 , 1 . 6 , 1 . 7 , … }m 是 高度 集 ,厂= {特 高 , 高 , 中 , 小 , 矮 } 是 高矮 程 度 . 令 “ 高度 为 u 隶 属 于 高 矮 程 度广 ” 的隶属 度 为 内(u) . 其 C 一 模 糊 集 合 理 论 的 隶 属 度 分 布 切试u)l 广任 尸} 满 足 艺 x 物( u ) = 1 . (2 ) U 可 以是 多 维 的 =U 以 x 队 ` · … 例 4 ’ 以 = { 1 , 2 , … , } 岁 是年 龄 集 , 认= { 10, 20 , … } 年 前 , 厂= {老 年 , 中年 , 青 年 , 少 年 , 幼 年 } 是老 少 程 度 . “ 年 龄 u 隶 属 于老 少 程度广的 隶属 度 为内 (u) ” 可 以改 为 “ 年 龄 u l 在 u Z年前 隶 属 于老 少程 度’x 的 隶属 度 为炜 : (uz ,uz ) ” . 其 ’C 一 模 糊集 合 理论 的隶 属 度 分 布 俩 ( u . , u Z取 , 任 尸 } 满 足 艺解 ` ( u t , u Z卜1 . 例 5 ’ 以 = { .0 4 , … , 1 . 5 , 1 . 6 , 1 , 7 , … }m 是 高度 集 , 队 = { a, b , … } 地 区 , 认= { 10, 20 , … } 年 前 , 矛={ 特 高 , 高 , 中 , 小 , 矮 } 是高 矮 程度 . “ 高度 为 u 隶属 于 高 矮 程 度广的隶属 度 为脚( u) ” 可 以改 为 “ 高度 为 u 、在姚 地 区 , 在 u 3年 前 隶 属 于 高 矮 程 度 尹 的隶 属 度 为 内u(, ,uz ,us ) ” . 其 *C 一 模糊 集 合 理 论 的隶属 度 分 布 恤 : ( u , , u Z , u 3 )I扩任厂 } 满 足 艺 x沼 x : ( u l , u Z , u 3 ) 二 1 . .2 2 基 于 三 维 模型 (认均 才 ) 的口 一 模糊 集 合理 论 定 义 1 C’ 一 模 糊集 合 理 论 ( U J 护沼 ) 为 : 假 设 U 和 口是 经 典 集 合 , U 是 论 域 , u 是 U 的元 素 . 万是口 的全 体 子 集 的 集合 . 显然 , X 也 是 经 典 集 合 . ’A = {( u 两 ( u )) , u任 }U 是 C ` 一 模 糊 集 合 , 其 中月任戈产, ( u ) 是 u 隶 属于 A 的 隶属 度 , 满 足 0 ` 脚 (u) ` 1 , 产。 (u) = 0 , 产。 ( u ) = l , 及户, u B ( u )刁` ( u )切、 n 式u ) . ’A = (u 两 (u ) 被 称 为’C 一 模 糊 集 合 片 , 其 中 , u 任 U, A任 .X 丫 是口 的一 划 分 , 是 X 的特殊 的 、 有 穷 的子 集 , 其 中所 有 元 素对 相 互 不 相 交 , 而 且 满 足 u 才= 口 和 艺两式u) 二 1 . 定 义 : 在。 一 模糊 集 合理 论 中 , 械u) 粤尸刁 半 火黔“ 少 被 定义 为 c ’ 一 模糊 集 合’A 对 于 ’C 一 模糊集 合B’ 在 u 上 的 相 关 系 数 . 从 而 满 足 氯(u) 月 ,品试u) = 0, 标 (u =) 1和 0` 氛 (u ) ` 1 , 其 中 , 脚(u) 羊 0 , u 任 U , A 任X, 且 B任 .X 以及户, u (B u ) , , ( u )切 , ( u ) x 如 旧 ( u ) . (从 定义 l 得 到 . ) 定 义 3 ’C 一 模糊 集合 片’A (u) 与’B (u) 之 间 的关 系 : A知)二 B ’ ( u ) (B ’ ( u )包含 A ` ( u ) ) 被 定义 为氛( u ) = l ; ’A (u) 与’B ( u) 相 互 包 含 被 定 义 为氛(u) 司 或 知( u ) = 1 ; A ’ ( u ) 与 B ’ ( u )不 相 交被 定 义 为氛( u ) = 0 . 从 而 有 : ’,A ,( u) 与 ’B (u) 相 交 而 不包 含 ” 可 以被 定 义 为 0 <二旧 ( u ) < l且 0福晶 “ ( u ) < 1 ; 相 交 为 0嘴 刁 ,(B u ) ; 不 包含 为 么B/ ( u ) < l ; A ’ ( u )绍 ` ( u )充 分 必 要 条 件 是 BCA/ ( u ) = 1 且 知 (u )=l . C ’ 一 模 糊集 合’A与 ’B 之 间 的关 系类似 : ’A 二 ’B (B ’ 包含 *A ) 被 定义 为 V “ 任 ,U (氛 (u ) = 1) . A ’ 与’B 非 一致 包 含 被定 义 为 V u任 ,U (A ,( u) g ’B ( u ) 或 B ’ ( u ) g A ’ ( u ) ) , 也 就 是 V u 任 以 (知( u ) = l 或 氛式u ) = l ) . A ’ 与’B 不 相 交被 定 义 为 V “ 任 U, 嵘 阴 (u) 二 0) . 从 而有 : *A 与’B 处 处 相 交 且 处 处 不 包 含 , 被 定 义 为 V u 任 以 ( 0嘴 心刀 ( u ) < 1 且 0 < 晶 “ ( u ) < l ) : 相 交 为 O嘴 刁B/ ( u ) ; 不 包 含 为么试u) l< ; 才=B ’ 充 分 必 要 条 件 是 V u 任 U, (A ’ ( u ) g B ’ ( u ) 且 B ’ ( u ) g A ’ ( u )) , 也 就 是 V u 任 U, (氛 ( u ) = l且二B/ ( u ) “ l ) . 定 义 4 C ’ 一 模 糊集 合 片 A ’ ( u ) = ( u和 ( u ))与 B ’ ( u ) = ( u声 B ( u ) )之 间 的运 算 : 交 运算 : A ’ ( u ) n B ’ (u) 被 定义 为 ( u和 n , ( u )) , 其 中两朋 (u) 是 u 隶 属 于A n B 的隶属 度 . 并运 算 : A ’ ( u ) u B ’ ( u )被定 义 为 ( u 两 u , ( u )) , 其 中 脚叨 (u ) 是 u 隶属 于 A U B 的隶 属 度 . 共 扼运 算 : 如 果A , B 满 足 V u 任 U, 恤 (u )切 刀 (u) = l) , 则 称A , B 共 扼 . 记A = O B , B = O 」 . 0 注*( u) 被 定义 为 (u 声 , (u) ) , 其 中ha (u) 是 u 隶属 于 侧的 隶属 度 . 补 ( 反 ) 运 算 : 喇( u )被 定义 为 ( u 声、 ( u )) , 其 中 产、 (u )是 u 隶属 于喇 的隶属 度 . ’C 一 模 糊 集合’A 与’B 之 间 的运 算类似 : 交运 算 : A ` n B ’ 被 定 义 为 {( u 声 , n , ( u ))} u 任 }U , 其 中沁 n B( u) 是 u 隶 属 于A n B 的隶属 度 . 并运 算 : A ’ u B ’ 被定 义 为 {( u 和 。 , ( u ))! u 任 }U , 其 中产、 成u) 是 u 隶 属 于A U B 的隶 属度 . 共扼 运 算 : 翩 ’ 被 定义 为 {u( 声eA (u) )} u 任 }U , 其 中产, (u) 是 u 隶 属 于 0 通的隶 属度 . 补 (反 )运算 : 明 ’ 被 定义 为 {( u声 、 ( u ) )} u 任 }U , 其 中刀、 (u) 是 “ 隶属 于明 的隶属 度 . 显然 , 有 V u 任 以 俩 。 , ( u )习翻 (u) ` 二心 ( u )) , (从 定义 2 ) , V u 任 U, 伽 , u , ( u )刊 , ( u )切 , ( u ) x 氛 , ( u ) ) , (从定义 2 ) . V u 任 U, 俩 ( u )切 , ( u ) = 1) , ( 从共 扼 定义 )

516. 北京科技大学学报 2005年第5期 u∈U,u(utμ-(w)=l和5ad(w0),(因为μ(u+ 定义3得(4)：因为u∈U, 4-(w)斤μ(uHμ-4m()u(uFu(4=l,5a(F 长nr0-I所以VaeU, Handu) 4An4(u)μ(w斤uo(w)μ(u-O). u)tim(u)uuudu 23C-模糊集合理论满足全部经典集合的运算 a04(a 4(u) 公式 )4x4unl4份t@-,则（）⑤成 4(u) ( 定理1C一模糊集合理论中，C-模糊集合 立 (4)之间，或者C-模糊集合片(A'()之间所有经 2,5C-模糊集合运算的隶属度的计算 典集合的关系和运算存在而且满足全部经典集 定理3C-模糊集合理论中，有4()小 合的公式和定理，包括AU一A'=2和A∩一A'=⑦. 1一4(u),而且4u(w)和4a(w)在不同情况下的计 证明因为X是经典集合，所以所有的经典 算如表3所示. 集合的关系和运算都存在，所有的经典集合的 证明从定义可以得到4《4F1一4(). 运算公式和定理都成立，如果FA1,A,,A)上 “统一算法”从定理1、定理2和定义4得到. GA,A2,,A),其中F和G是由经典集合运算构 VuEU,(uadu)=uo(u)=uau)xdu)=udu)xEd(u)= 成的经典集合运算函数，那么F(Ai,A,,A上 4a(u)×(1-5a4(wudu)×(1-5ws(u)=4(w）-u,(u)x {(u,4he()lu∈U}={(u,(u)lu∈U}= 5a(u广μa(u)μn(u）×5-weu). G4i,A,,A). (1(4)从定理2和定理3的统一算法得到. 例如， 2.6C-模糊集合理论的两个重要定理 (1)A'OB'=BOA,A'UB'=B'UA'. 定理4对任意C一模糊集合 (2)40(BOC)=(4OB)0C, A'={(u,u(w)lu∈U和B={(u,adu)lu∈U, A'U(B'UC)=(A'UB)UC. 其中，0≤μ(u)(u）≤1，有： (3)A'∩A'=A',AUA=A". (I)Hu∈U,u(uF4ana(wtμan-(u)和廿u∈U, (4)An(BUC)=(4'0B)U(A'nC), ((u)(u)tuo(u)). A'UB∩C)=(AUB)∩(A'UC). (2)Hu∈U,Lau)十44n(utμndu）tμndw)=l). (5)AnO=0,AU☑=A'. (3)Hu∈U,(uwa(Hμanw)=μ，(utμs(u). (6)A'OQ=A',A'UQ=Q. 证明 (7)AO(A'UB)=A,AU(OB)=4'. (I)因为廿u∈U,(5nsn-(F (8)（A)=A. unn(alμan-(w)Fμe(u)Mμun-s(u)=0), (9)AnA'=☑，A'UA'=2. 所以，u∈U,(u4 Munu-a(u=4uns(十un-su). (10)(-40-B)(AOB)=(-4UB)0(4'U-B). 类似有：寸u∈U,(a(u)A(u十μ-wna(u) (11)(-A0B)U(AO-B)=(-4U-B)0(4'UB). (2)从(1)有：u∈U,uans()+4una(u)+u-wna(u+ (12)-(40B)=4U-B,-(4'VB)=A0-B'. 4dns(u=μ(u十4-(wFuo(w)卢l). 这里，A',B,C是C-模糊集合或者C-模糊集合片， (3)从A∩B和A'UB的定义及定理2的(5)： 2.4C-模糊集合理论的相关系数5a(w),5w(u), 廿u∈U,(una(uu(wFu(）×5a(aH4s(u）tu(w)x 5(u)和5wW）的计算 5a(w广u(tua（). 定理2C-模糊集合的相关系数的计算如表 定理5对任意C-模糊集合 2所示， A={(u,(w)川u∈U}和B={(u,4a(u)u∈U,其中， 证明从定义3，得到(1)和(2)：从(2)得(3)；从 0≤(w,4(w)≤l,有： 表2在C一模糊集合理论中，相关系数(，5ad(u,(u)和5w(w)的计算 Table 2 Calculation of correlation coefficients u),),u)and (u)in C'-fuzzy set 条件 u∈U,(5du）=μanuμ() Vu∈U,(5()4sd)Mu(w) (1)A与B不相交 t∈U,(5ad)=O) 寸u∈U,(Ew=O) (2)AsB(B包含A) ueU,(Esw=u(uμdu) 寸u∈U,(G(u小-1) (3)A=BASB和BSA) u∈U,(Ew=1) Hu∈U,(G(uFl) (4)A,B处处相交且处处不包含 u∈U,(0<5 au)-pardu)试wKI) 寸u∈U,(0<Es(w)=μn(uμ(1) (5Ksu和5sdw） VuEU,(Eodu)+Ew(u)-1) Hu∈U.5An）+5(ul)

一 5 1 6 - 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 05 年 第 5 期 V u 任 U, 俩 ( u )切。 ( u ) = l和氛 月 ( u ) = 0 ) , (因 为脚 ( u ) + 户、 ( u )习翔 ( u )切 、 n 、 ( u )刁` 。 、 ( u ) , 。 ( u ) = l , 氛 、 ( u ) = 脚 n 、 ( u )m/ ( u ) , 。 ( u )加 月 ( u ) = o ) . .2 3 *C 一 模 糊集 合 理论 满 足 全 部经 典 集合 的运算 公 式 定理 I *C 一 模糊 集 合 理 论 中 , ’C 一 模 糊集 合 (A *) 之 间 , 或 者’C 一 模糊 集 合 片 (A ,( u) )之 间所 有经 典集 合 的关 系 和 运 算存 在 而 且 满 足 全 部经 典集 合 的公 式和 定理 , 包 括 A ’ u 喇 ’ = 。 和’A n 叨=, 0 . 证 明 因为 X 是经 典 集合 , 所 以所 有 的经 典 集 合 的关 系 和 运 算 都存 在 , 所 有 的 经 典集 合 的 运 算 公 式 和 定 理 都 成 立 . 如 果月刁 1月’z, 二 月 J = G (A ,月 2 , … 刁办 , 其 中 F 和 G 是 由经典 集 合运 算 构 成 的 经 典 集 合 运 算 函 数 , 那 么 月刁;月二 , … 月二=) {(u 产。 油 洲J (u )l u 任 }U = {(u 声、 满 砌(u) )lu 任 }U = G (A ;月夏 , ` 一 界办 . 例 如 , ( l) A ’ n ’B =B ’ 门A ’ , A ’ u B 中 绍 ’ u A ’ . ( 2 ) A ’ n (B ’ n C ’ ) = (A ’ 自B ’ ) n C ’ , A ` u 伍 ’ u *C ) 二(A ’ u B’ ) u *C . ( 3 ) A ’ n A ` 钊 ` , A ` 口 A ’钊 ’ . ( 4 ) A ’ n (B ’ 日 C ’ ) = (A ’ n B ’ ) u (A ’ n C ’ ) , A ’ u (了 n C ` ) = (A ` 口 B ’ ) n 扭 ’ u C ’ ) . (5 ) A ’ n o = 0 , A ’ u o =A ’ . (6 ) ’A n 幻卜 A ` , *A u 口二 口 . ( 7) A ’ n (A ’ 口B ’ )=A ’ , A ’ 口 (A ’ n B ’ )=A ’ . ( 8 ) , (叨 ’ )=A ’ . (9 ) A ’ n 喇 ’ 二 O , A ’ u 侧 ’ 二口 . ( 10 ) (喇 ’ n 沼 ’ ) 口(A ’ n B ’ ) = (明 ’ u B ` ) n (A ’ u 沼 ’ ) . ( 11 ) (喇 ’ n B ’ ) u 扭 ’ n 沼 ’ ) = (喇 ’ u 沼 ’ ) n (A ’ u B ’ ) . ( 12 ) , (A ` n B ` ) 二 , 月 ’ u 沼 ’ , , 扭 ’ u B ’ ) = 沮 ’ n 沼 ’ . 这里 , ’A 刀 ’ , ’C 是’C 一 模糊集 合或者*C 一 模糊集合片 . 2.4 ’C 一 模 糊 集 合 理 论 的 相 关 系数 氛(u) , 么lB (u) , 氛 “ ( u ) 和如 lB ( u ) 的 计算 定理 2 ’C 一 模糊 集 合 的相关 系 数 的计算 如表 2 所 示 . 证 明 从 定 义 3 , 得 到 ( l )和 ( 2 ) : 从 ( 2 )得 ( 3) : 从 定 义 3 得 ( 4 ) ; 因 为 V u 任 U , 沁 ( u ) 脚( u ) 1 ) , 贝” ( , , 成 立 . .2 5 *C 一 模糊 集 合 运 算的隶 属 度 的计 算 定 理 3 ’C 一 模 糊 集 合 理 论 中 , 有产、 (u) = l 一 脚( u ) , 而且沁 u B ( u )和 召, 。 , ( u ) 在 不 同情 况下 的 计 算如 表 3 所 示 . 证 明 从 定义 可 以得 到产、 (u) 习 一 脚( u) . “ 统 一算 法 ” 从 定 理 1 、 定理 2 和 定义 4 得 到 . V u 任 U , 俩 n , ( u ) , B n, ( u )习` ( u ) x 知( u ) = 召如) x 么扭 ( u ) = 脚 ( u ) x ( l 一 品 阴 ( u )) , 。 ( u ) x ( l 一 如试u ) ) = 产, ( u ) 一脚 ( u ) “ 执 胡 ( u ) , , ( u 加 , ( u ) x 氛 , ( u )) . ( l) 一 (4 )从 定 理 2 和 定理 3 的统 一算 法 得 到 . .2 6 *C 一 模 糊 集 合理 论 的 两 个 重 要 定理 定 理 4 对任 意 *C 一 模 糊 集 合 A ’ = {( u 和 ( u )) l u 任 }U 和刀 ` = {( u 声 , ( u ) ) l u 任 }U , 其 中 , 0 匀` ( u )声B ( u ) ` l , 有 : ( l ) V u 任 U, 切 , ( u )习` n B ( u )勺翔。 沼 ( u )) 和 V u 任 U, 伽 e ( u )刊 , n B ( u )切、 n 成u )) . ( 2) V u 任 U, 俩 n , ( u )勺` 。 沼 ( u )切、 n 。 ( u )切、 n , ( u ) = l ) . ( 3 )V u 任 认 俩 u , ( u )勺` n , ( u )节 , ( u )切 , ( u )) . 证 明 ( l ) 因 为 V u 任 U, (么 n , 。 n , , ( u ) = 产(刁。 B ) n。 。 * ( u )怀 。 , ( u ) , 。 ( u )帆 n , ( u ) = 0 ) , 所 以 , V u 任 U, 伽 月 ( u ) , 。 n )B u。 。 , ( u )习翻 门 , ( u )切 月n 、 ( u )) . 类 似 有 : V u 任 U, 伽 s ( u脚` n , ( u )切、 n a ( u ) ) ( 2 ) 从 ( l ) 有 : V u 任 以俩 。 , ( u )切 , n 沼 ( u )切、 。 , ( u ) + 召、 。 j ( u ) , , ( u )切、 ( u ) , 。 ( u ) = l ) . (3 ) 从 ’ A n ’B 和 ’A u ’B 的定 义及 定理 2 的 (5) : V u任 ,U 俩 n , ( u )勺` u , ( u ) , 月 ( u ) x氛 ( u )切 a ( u )勺翻 ( u ) x 吞 。 。 ( u )甲 , ( u )切 。 ( u )) . 定 理 5 对任 意 ’C 一 模 糊 集 合 A ’ = {( u 沁( u ) )I u 任 }U 和 B ` = {( u 声。 ( u ))J u 任 }U , 其 中 , 0 ` 脚( u ) , 声, ( u ) ` l , 有 : 表 2 在 C’ 一 模糊 集合 理论 中 , 相关 系数氛 (u) ,知( u) , 吞 拼 , ( u) 和 如试u) 的计 算 aT b l e 2 C a l e u 址 U o n o f e o r 旧 a 幼o n c o e 价 e i e n st 氛( u ) , 氛 s ( u ) , 吞阳 ( u ) a n d 吞 心旧 ( u ) i n C ` 一 fu z yZ s e t 条 件 ( l )A 与 B 不相交 (2 ) 月` B (B 包含 月) (3 )A =B (A g B 和 B 二月) (4 ) 式 B 处处 相交 且处 处不 包含 ( 5 )吞胡( u )和如 。 ( u ) V 。 任 U, 佑 ,a( u) 习` 试 u ~)/ u( ) V “ 任 U, (古们 ( u ) 二 0 ) V u 任 U, (么认 u ) , , ( u )p/ B ( u )) V u 任 U, (二旧 ( u ) = l ) V u 任 U, (o喝 阴 ( u )刁 如 n , ( u )P/ a ( u ) < l ) V u 任 U, (寸 沁 B ( u )弋 口试 u ) = 1) V u 任 以 (氛 ( u )习 ` u式u )l/ ` ( u )) V 。 任 认 (条 “ ( 。 )钩 ) V u 任 U, (氛 ( u卜 l ) V u e 认 《晶 “ ( u ) = 1) V u 任 U, ( 0 <二 阴 ( u )刁` n a ( u )如 ( u ) < 1) V u 任 U, (如 “ ( u ) + 晶 “ ( “ )二 l )

Vol.27 No.5 高庆狮：Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进：C-模糊集合理论 ·517· 表3各种情况下C-模糊集合运算的隶属度的计算 Table 3 Calculation of membership of C"-fuzzy set in all conditions 条件 AUB' A∩B (0)统一算法 寸∈U,uaw)小μa）+udu)xEou)斤Hautμ()×E()廿u∈U,(uns(a=ud)-u(w)xGa(w4dw-Ha()xead) (I)A与B不相交u∈U,(碱)=u(t4(×5w(a(wHμ(》 寸4∈U,uun(=4(u）-4(u×5dW=O) (2)AsB° 寸u∈U,aua(u)=μ(Hudu)xEaMuud4-max{u(d4ad(d)})u∈U44na(wFμ(w-μ(×5gka)u(-min{μd).d) (3)A=B 寸u∈U,(una(=u(计un(Wx5as(audu上uada) tu∈U,(4an(u片H(w）-(w)×E(W=4(u=Hd4) (4)MB处处相交寸uEU,a(H4(aP4s(4=uA四+4adu)×ξs(up 寸∈U,(04ua(u> 模糊集合系统的子系统，其中条件T为：所有的 max{u(u）,4su)}且4us(w)≤1. Z-模糊集合系统上的C一模糊集合相互非一致 (6)A',B处处相交且处处不包含一Hu∈U, 包含 (0uAu(u>max{u(u),a(u}和 新定义 4ua()≤1. 根据定理5的(3)和(4)，可以得到廿u∈U, 其中，“一”表示充分必要条件.“A与B非一致包 ((u)=min(u(u),u(u))),VuEU,(una(u)= 含”被定义为廿u∈U,(A(u)sB(W)或者B(u)SA(u), max{u(u)(u)}),和共轭⊙可以被定义为廿u∈U, “A,B处处相交”被定义为Hu∈U,(d'(w),B^(w)相 ((u1-4(u).而且在满足T条件下，A=B可以 交)，也就是，廿u∈U,(uans(u)>0).“A,B处处不包 被定义成为u∈U,u()≤(u). 含”被定义为u∈U,(A'(),B(u)非包含) 从表4可以清楚看到，左边的Zadeh模糊集 证明从定义及定理2的(5)及定理3的(0)： 合理论与右边Z-模糊集合理论是一样的， (1)A(u)与B(w)不相交台5(u-0台5(w= 3.3 Zadeh模糊集合理论不能描绘客观世界各种 1-54(w)=l→4wn(W=0→4wsu)=u(w)十μa(W). 模糊现象的原因 (2)从(1). Zadeh模糊集合理论中三个定义(“A≤B定义 (3)A'(0与B'(uW包含台(u1或 为廿ueU,(u(dsμs(u",“u∈U,uns(u)=min{u(u, 5u)户1中5(u-0或5(w0台4n(w μa(})',“Vu∈U,(uua(W=maxu(),Ha(u)})")中 mintu(u)us(u))uve(u)=maxu(u)(u)). 的任何一个定义都会导致“所有的Zadeh模糊集 (4)从(3). 合满足相互“非一致包含”，也就是满足T条件， (5)A(u)与B'(u)相交而不包含台0 uu)udu)us(u)>maxuu)uu)). max{()M4e(})”.其中A与B非空. (6)从(5). 在“处处相交而处处不包含”情况下，有 显然，如果A与B包含（即A∈B*或B二A), “Hu∈U,(0μuu>max{u()wa(w}且4ws(u》≤1

oV l.2 7 oN 5 . 高庆 狮 : Z a d模e 糊h集 合理 论 的缺 陷及其 改进 : 己一 模糊 集合 理论 . 5 1 7 , 表 3 各种 情况 下’C 一 模 糊 集合运 算 的隶属 度 的计算 aT b l e 3 C a l e u l a 幼o n o f m e m b e sr h i P o f C ` 一 fu z yZ s e * 恤 a U c o n d i眨0 . 5 条件 ’A u ’B 才 n B’ ( 0 ) 统一算 法 V u 任 U, 勿 , u , ( u 卜州 月 ( u )切如) x 如试 u ) , 如 )切 , ( u ) x 如 翻 ( u )) V u 任 U, 俩 n成u ) , A ( u卜脚 ( u ) x如 “ ( u ), 试“ )一产式 u ) X如 阴 ( u ) ) ( l )A ’ 与 B ’ 不相 交 V u任 ,U俩 u如 ) 二洲 月 ( u )切 a ( u ) x如 扭 ( u ) , a ( u )切 月 ( u )) V u任 ,U俩 n式 u ), , ( u ) 一脚 ( u ) x 如 “ ( u )=() ) ( 2 ) A ’ g B ` V u 任 U, 俩 u a ( u )习` ( u )切式u) x省 叨阴 ( u ), 式u )=m ax 俩 ( u )声 a ( u )} ) V u任 ,U俩 n a ( u )刁翔 ( u) 一脚 ( u ) x 如 “ ( u )刁才月 ( u )=m i n俩 ( u )声 a( u )} ) ( 3) A ` 绍 ` V u 任 U, 俩试 “ ) = 洲 刁 ( u )切如) x 如 阴 ( u )刁 ` ( u )酬 , ( u ) ) V u 任 U, 俩试 u )刁` ( u )一脚 ( u ) X勃 “ ( u ) , 月 ( u ), , ( u ) ) ( 4 )A ’ 尹 ’ 处 处相 交 V u 任 U, 伽 a ( u )切 月 ( u )扣 月 u a ( u片翔 ( u )加成u ) x如试 u ) > 且处处 不包 含 m ax 俩 (u) 声a( u) } ; 且 俩试动` )I V u 任 U, ( 0印 月 n式u )甲 , ( u )一脚 ( u ) x 如 “ ( u )m m ax 俩( u )声 , ( u ) }且户, u , ( u ) ` 1 . (6 )A . 刀 ’ 处 处 相 交 且 处 处 不 包 含 。 V u E U, ( 0 l m a x 协( u )声 , ( u ) } 和 脚 u B ( u )) ` 1 . 其 中 , “ ” ” 表 示 充分 必要 条件 . ’,A ’ 与 ’B 非 一致包 含 ” 被 定 义 为 V u任 以 (A ( u ) 二 B ( u )或 者 B ( u ) g A ( u )) , ,tA .刀 ’ 处 处 相 交 ” 被 定 义 为 V u任 U, (A ,( u) 刀 ,( u) 相 交 ) , 也 就 是 , V u 任 U, 俩 nB (u 卜 0) . ’,A *刀 ’ 处 处 不包 含 ” 被 定 义 为 V u任 ,U (A ,( u) 刀 ,( u) 非包 含 ) . 证 明 从 定义 及 定 理 2 的 ( 5) 及 定 理 3 的 ( 0) : ( l )A ’ ( u )与 B ’ ( u ) 不 相 交 ” 氛 ( u ) = 0。 咨 心阴 ( u ) = l 一 知 ( u ) = l。 脚 。 B ( u ) = 0。 脚 u , ( u )刁翔 ( u )切 , ( u ) . ( 2 ) 从 ( l ) . ( 3 )A ’ ( u ) 与 B ’ ( u ) 包含 。 知( u ) = l 或 条B/ ( u ) = l 。 吞翻 (u) = 0 或二二 ( u ) = 0 ” 脚 n , ( u ) = m i n 俩( u )声a ( u ) }” 产, u , ( u ) 二 m a x 俩( u )声 B ( u ) } . ( 4 ) 从 ( 3) . ( 5)A ’ ( u ) 与 B ’ ( u ) 相 交 而 不 包 含 ” 0嘴 ,。 ( u ) m ax 切 , ( u )声 B ( u ) } . ( 6 ) 从 ( 5 ) . 显 然 , 如果 A ’ 与 B ’ 包含 ( 即A ` g B * 或 B 幢A ’ ) , 那 么 ’A 与’B 非一 致 包含 ; 反 者不 然 . 3 z ad he 模 糊 集 合 理 论 的错 误 及 缺 点 的 进 一 步 分 析与证 明 Z ad he 先 生 认 为他 的模 糊 集合 理 论 之所 以与 常规 思 维 、 逻 辑 、 概 念相 悖 是 因 为 “ 对 传统 的挑 战 ” 、 “ 摆 脱传 统 的 约束 ” 〔2一 序 ,所 造 成 的 . 但 事 实 正 相 反 , 相 悖 是他 的缺 点和 错 误造 成 的 . 1 1 2 一 模 糊 集 合 系统 — ’C 一 模 糊 集 合 系统 的 子 系统 Z 一 模糊集 合 系 统是 满足 以下 条件 T 的 C’ 一 模 糊 集合 系 统 的子 系统 . 其 中条件 T 为 : 所 有 的 Z 一 模 糊 集 合 系 统上 的’C 一 模糊 集 合 相 互 非 一致 包 含 . .3 2 2 一 模 糊集 合 系统 是 Z a de h 模 糊集 合 系统 的 新 定义 根 据 定理 5 的 (3) 和 (4) , 可 以得 到 V u E U, 伽 月 n , ( u )二in 伽 , ( u )声 , ( u ) }) , V u 任 酥伽 湘u , ( u ) = m ax 俩(u )两(u )} ) , 和 共扼 。 可 以被定 义 为 V u 任 U, 切, (u 卜 1一脚 ( u )) . 而且 在 满足 T 条件 下 , A ’ 二 B’ 可 以 被 定义 成 为 V u 任 U, 切 , ( u ) ` 户, ( u )) . 从 表 4 可 以清 楚看 到 , 左边 的 Z ad he 模 糊 集 合 理论 与右 边 Z 一 模 糊 集合 理 论是 一样 的 . 3 .3 z ad he 模糊 集 合理 论 不 能描 绘 客观 世 界各 种 模 糊 现 象 的原 因 Z ad he 模糊 集 合理 论 中三 个 定义 ’( ,A ` B 定 义 为 V u 任 U, 俩 ( u ) ` 户, ( u ) ) , , , “ V u 任 U, 伽 , n B ( u ) = m i n 俩( u ) , 产, ( u ) }) , , , ’, V u 任 U, 俩 u B ( u ) = m a x俩 ( u ) , 产B (u) }) ,, ) 中 的任 何 一个 定 义都 会 导 致 “ 所 有 的 Z a de h 模 糊 集 合 满 足相 互 “ 非一 致 包含 ” , 也就 是 满足 T 条 件 . 而 在 “ 不相 交 ” 的情 况 下 , 有 “ V u 任 U, 伽、 成u) 二 0 m m ax 伽 , ( u )声 ,伍)}) , , . 其 中A 与 B 非 空 . 在 “ 处 处 相 交 而 处 处 不 包 含 ” 情 况 下 , 有 ’, V u 任 U, ( 0 m ax 切 , ( u )声, ( u ) } 且 脚 u , ( u )) ` l

518 北京科技大学学报 2005年第5期 表4Z-模糊集合系统是Z4deh模糊集合系统的新定义 Table 4 Z-fuzzy set system-a new definition of Zadeh's fuzzy set system Zadeh模糊集合理论 Z-模糊集合理论 A=(4(训4∈U0,0≤HAw)≤I A'={(uu(训ueU,0≤（≤1 MsB被定义为u∈U,uu)sua(》 A'二B→寸ueU,u(s4(w) A=B被定义为女u∈U,u《-4a《》 A'-B÷Vu∈(u(a=ud) 寸E U(uans(a）=min{ud),4(u}) 寸u∈U,(uun(a)=min{4(ad)}) 寸u∈U,(uAw=max{uu,eda)}) VuEU,(uodu)=maxtudu)u(u))) ueU.u-(a=1-4() ueU,wa(=l-μdw》 注：“一”表示充分必要条件，左边的一应该是日 由此可见，Zadeh模糊集合理论不能反映“不 全部定理的公式；包括AU一A=全集和A∩一A=O: 相交”和“相交而不包含”的客观世界的模糊现象. 它与通常思维、逻辑和概念相一致：把模糊集合 3.4 Zadeh模糊集合理论不完备（不存在补（反） 理论扳回正常轨道， 集)的原因 3.8C-模糊集合理论与Zadeh模糊集合理论的 定理6 Zadeh模糊集合理论不可能存在补 比较 (反)集. 表5给出了C-模糊集合理论与Zadeh模糊 证明由于所有的Zadeh模糊集合满足T条 集合理论的比较， 件，所以不可能存在补集（根据补集定义，补集必 须满足5(0，而A及A不能满足T条件). 4结论 Zadeh模糊集合理论不可能存在补（反）集导 Zadeh模糊集合不能正确描绘客观世界的全 致了Zadeh的模糊集合理论不完备. 部模糊现象；不可能存在补（反）集，从而不完备： 3.5拼盘不是数学系统 没有统一理论指导的“算子”拼盘缺乏科学性等 40年来，由于Zadeh及其同僚不能接受来自 三个严重缺点.定义了不存在的补集一个严重错 数学家们的正确批评，采用不科学的、类似于天 误，导致了思维、逻辑和概念混乱；把错误及缺点 文学上的本轮的、“算子”拼盘（粗体交，粗体并） 说成为“对传统的挑战”、“摆脱传统的约束” 的拼凑方法去应对，导致增加了一个缺点：没有 的先进成果，误导人们误以为模糊集会理论必然 统一的理论体系，而是拼拼凑凑，不是严肃数学 与常规思维、逻辑和概念相悖等两个严重错误. 系统. C-模糊集合理论（系统）能克服Zadeh模糊 3.6 Zadeh模糊集合理论的两个错误 集合理论的三个缺点和两个错误，能正确地描绘 Zadeh模糊集合理论错误地定义了不存在的 客观世界的全部模糊现象；有补(Complement)集； 补（反）集，导致了Zadeh模糊集合理论错误地与 隶属度有统一的计算公式：并且是经典集合系统 常规思维、逻辑和概念相悖.当4(w)0.5时，出现 的特例；能满足全部经典集合的公式，与正常思 A=A怪现象（如果Zadeh先生把其改回共轭，这 维、逻辑和概念一致. 就是自共轭，就不会与常规相悖了，) Zadeh先生错误地坚持认为他的模糊集合理 参考文献 论之所以与常规思维、逻辑、概念相悖是因为“对 [1]Zadeh L A.Fuzzy sets.Inf Control,1965,8:338 传统的挑战”、“摆脱传统的约束-1所造成的， [2]Dubois D,Prade H.Fuzzy Sets and Systems:Theory and Applic- ations.New York:Academic press.1980 误导人们错误地以为模糊集合理论必须与常规 [3)]汪培庄，李洪兴，模糊巢合论与模糊计算机北京：科学出 思维、逻辑、概念相悖（事实是，模糊集合理论不 版社，1996 需要“相悖”). [4伍铁平.棋糊语言学，上海：上海外语教育出版社，1999 3.7 Zadeh模糊集合理论错误及缺点的克服 [5]Giles R.Lukasiewicz logic and fuzzy theory.Int J Man-Mach Stud,1976,8:313 C-模糊集合理论克服了Zadeh模糊集合理 [6]Shimoda M.A natural interpretation of fuzzy sets and fuzzy re 论的全部错误与缺点，它能描绘客观世界的各种 lations.Fuzzy Sets Syst,2002,128:135 模糊现象，无论是相交、不相交、包含、不包含、相 [7]Coletti G,Scozzafava R.Conditional probability,fuzzy sets,and 交而不包含等.它存在补集：满足经典集合理的 possibility:a unifying view.Fuzzy Sets Syst,2004,144:227

一 5 1 8 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 5 年 第 5 期 表 4 子 模糊 集合 系统 是 Z a d e h 模糊 集合 系统 的新 定义 aT b le 4 2 一 fu Z y s 吐 s y s t e . es a n ew d e 幻n i U o n o f Z a d e b , s fu z Z y s d sy s et m Z a d he 模糊 集合 理论 Z 一 模 糊集 合理 论 A = {( u两( u ))} u 任 }U , o ` 脚( u ) ` 1 A g B 被 定义 为 V u 任 U, 俩( u )印 a ( u )) A=B 被 定义 为 V u任 ,U 俩 ( u) , 成u) ) V u任 口切 月 n s ( u )=m i n俩 ( u )声式u )}) V u 任 ,U 帆 u式 u ) , ax 切 , ( u )脚( u )} ) V u 任 U, 勿书 ( u ) = 1一脚 ( u ) A ’ = {( u两 ( u ))! u 任 仍 , o ` 沁( u )引 A ’ 二 B ` 。 V u 任 认 俩( u ) ` 为( u ) ) ’A =B ` 。 V u 任 U, 俩 (u )节试u) ) V u 任 认 俩 n式 u )。 i n俩 ( 。 )声式u )} ) V u任 U, 俩 u式 u )翎 ax 俩 ( 。 )声 a ( u )} ) V u C U, 切 e月 ( u ) ” 1一脚 ( u ) ) 注 : “ 件 ” 表示 充分 必 要 条件 . 左边 的 , 应该 是 e 由此 可见 , Z a de h 模 糊集 合 理 论不 能 反 映 “ 不 相交 ” 和 “ 相交而不 包含 ” 的客观世 界 的模 糊现象 . 3 .4 Z a ds h 模 糊 集合 理论 不完 备 ( 不存在 补 ( 反 ) 集 ) 的原 因 定 理 6 Z ad 比 模 糊 集合 理 论 不 可 能存 在 补 ( 反 ) 集 . 证 明 由于 所有 的 Z ad he 模糊 集 合满 足 T 条 件 , 所 以不 可 能存在 补 集 (根 据 补集 定 义 , 补集 必 须满 足如试u) = 0 , 而 A 及明 不 能满 足 T 条件 ) . Z ad he 模 糊 集合 理论 不 可能 存在 补 ( 反 )集 导 致 了 Z ad he 的模糊 集 合理 论 不完 备 . .3 5 拼盘 不 是数 学系 统 4 0 年 来 , 由于 Z ad he 及 其 同僚不 能接 受 来 自 数 学家 们 的正确 批 评 , 采 用 不科 学 的 、 类 似 于 天 文 学上 的本 轮 的 、 “ 算子 ” 拼盘 (粗 体 交 , 粗 体 并 ) 的拼 凑 方 法 去应 对 , 导致 增 加 了一 个缺 点 : 没有 统 一 的理 论 体系 , 而 是拼 拼 凑凑 , 不 是严 肃 数 学 系统 . .3 6 Z ad e h 模 糊 集合 理论 的两 个错 误 Z de he 模 糊 集 合理 论错 误 地 定 义 了不存 在 的 补 (反 ) 集 , 导致 了 Z ad he 模糊 集 合 理论 错 误地 与 常 规 思 维 、 逻 辑 和概 念 相 悖 . 当脚 (u) 句 . 5 时 , 出现 A = ~ 月 怪 现 象 ( 如 果 Z ad he 先 生 把其 改 回 共扼 , 这 就 是 自共 轨 , 就 不 会 与常 规 相悖 了 . ) Z ad he 先 生错 误 地 坚持 认 为他 的模 糊集 合 理 论之 所 以与 常规 思 维 、 逻 辑 、 概念 相 悖 是 因为 “ 对 传 统 的挑 战 ” 、 “ 摆脱 传 统 的约 束 ” 仪一 序 ,所造 成 的 , 误 导 人们 错 误 地 以为 模糊 集 合 理 论 必 须 与 常规 思 维 、 逻 辑 、 概念 相 悖 (事 实是 , 模 糊 集合 理 论不 需要 “ 相 悖 ’ , ) , .3 7 Z a ds h 模 糊 集合 理论 错误 及缺 点 的 克服 ’C 一 模糊 集 合 理 论克 服 了 Z ad he 模 糊 集合 理 论 的全部 错误 与 缺 点 , 它 能 描绘 客观 世界 的各种 模 糊现 象 , 无论 是 相交 、 不 相交 、 包 含 、 不包 含 、 相 交而 不 包含 等 . 它存 在 补集 ; 满 足经 典 集合 理 的 全 部 定理 的公 式 ; 包 括 A u 明= 全 集和 A n 叫= 必 ; 它 与通 常 思 维 、 逻 辑 和概 念 相 一致 ; 把 模 糊集 合 理 论扳 回正 常 轨道 . .3 8 C 一 模 糊 集合 理 论 与 Z a de h 模 糊 集 合理 论 的 比较 表 5 给 出了’C 一 模糊 集 合 理论 与 Z ad he 模 糊 集合 理 论 的 比 较 . 4 结 论 Z a d e h 模 糊 集合 不 能 正确 描 绘 客观 世 界 的全 部模 糊现 象 ; 不可 能存 在 补 ( 反 )集 , 从 而 不完 备 ; 没 有 统一 理 论 指 导 的 “ 算 子 ” 拼 盘缺 乏科 学 性等 三 个严 重缺 点 . 定义 了不 存在 的补集 一 个严 重错 误 , 导 致 了思 维 、 逻辑 和 概念 混 乱; 把 错误 及缺 点 说 成 为 “ 对 传 统 的 挑 战 ” 、 “ 摆 脱传 统 的约束 ” `2一 阴 的先 进 成果 , 误 导 人们 误 以为 模糊 集会 理 论必 然 与 常规 思 维 、 逻 辑 和概 念 相 悖 等两 个 严 重错 误 . *C 一 模 糊集 合 理 论 (系 统 ) 能 克服 Z ad he 模 糊 集合 理 论 的三个 缺 点和 两个 错误 , 能 正确 地描 绘 客观世 界 的全 部模 糊现 象 ; 有 补 (C o mP le m en )t 集 ; 隶属 度有 统 一 的计算公 式 ; 并且 是 经 典集 合系 统 的特 例 ; 能满足 全 部经 典集 合 的公 式 , 与 正 常 思 维 、 逻 辑和 概 念 一致 . 参 考 文 献 [ l ] Z a d e h L A . F u z yZ s e t s . I n f C o n t or l , 19 6 5 , 8 : 3 3 8 [2 ] D ub o i s D , P r ad e H . F u z z y S e t s a n d S y s te m s : hT e o ry an d AP P li e - a it o n s . Ne w oY rk : A e ad em i e P r e s s . 19 8 0 3[ 〕 汪 培 庄 , 李 洪兴 . 模 糊集 合论 与模 糊 计算机 . 北京 : 科学 出 版 社 , 19 9 6 4[ l 伍 铁平 . 模 糊语 言学 . 上 海 : 上海 外语 教育 出版 社 , 19 9 [ 5 ] G il e s R . L u k a s i e w i e z l o g i e an d if lz z y ht e o 谬 I o t J M a n 一 M a e 卜 S t u d , 19 7 6 , 8 : 3 13 [ 6 ] S h而 o d a M . A n a tU r al i n te rp r e at t ion o f fu z yZ s e ts an d 血 z y 爬 - lat i o n s . F u Z y S etS S y s t , 2 0 0 2 , 12 8 : 13 5 17 ] C o le it G , S e o z a af v a R . C o n id tion al P r o b ab i li ty, fu z yZ s e t s , an d P o s s ib ility : a 恤勿运 9 v i e 砚 F u z z y S e t s yS s t , 20 04 , 14 : 2 2 7

Vol.27 No.5 高庆狮：Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进：C-模糊集合理论 519 表5C-模糊集合理论与Zadeb模糊集合理论的比较 Table 5 Comparison between C"-fuzzy set theory and Zadeh's fuzzy set theory 条件 Zadeh模糊集合理论 C-模糊集合理论 隶属度 隶属度是集合系统的基本元件，是定义出来的 隶属度虽然是集合系统的基本元件，但是它是通过相关 系数计算出来的 存在相关系数《0不可能有 有.(wμsuμd,满足E4(l,5(wl,5a=0, 5(ul(如A仁B),5(=0(如A,B不相交)，5(wHs(上1 隶属度统一计算不可能有 有，andu)-ud-uu×5u4du=μ《u）t4d×5W uodu)=mintudu)udu)): un(uμu)-4w)×54u=min{u(d; A与B非一致包含 4 (u)-max{u(u）w4sdu}; euu)=udu)+udu)xou)-maxtudu)usu) 不存在，故采取推于解释的国und) 存在，而且容易明白.4ndu4()-4)xG人F0: A与B不相交 max(0u(u)tud(u)-1),uodu)=min(udu)tus(u),1) podu)-udu)+pdu)xu)-uu)tusu) A与B相交而不是非一 Mandu)=u(u）-u(w×5a风w; 不可能存在，也无法描述 致包含 4uduu(utμ(u)x5a(u） 能否准确反映客观世界 不能准确反映客观世界 能准确反映客观实际 不能， 能， 对青年-少年，Zadch错误： 对背年一少年，正确 对客观世界（例1）的正 “nu-Tmin{μ，wusa}: u)=udu)-uu)xEu)-0; uve(u)=max(udu)us(u)). 4s）=u+4a(u）xξaadu=u(u)+usu). 确反映 对青年一青少年，粗体错误： 对背年一青少年，也正确： uandu)-max{Oudu)tudu)-1); μr4()-4(w)xe()=min{4(）4a()}: undu)minu)tudu).1) uadu)产u(tudu）x5 du)max{u(u)adu》 对客观世界（例3）的正 能.4n(wu(-H()×5: 不能 确反映 uauu)-udu)tudu)xu) 不存在补集. 求补(Complement-） 存在补集.“-1-H(.满足：A门A=O 误把共轭(4《u户1-4(4)当补集 存在多个共轭，4(u=】-4(w) 不满足， 满足. 不满足AU一A=全集和A∩一A=☑.存在既不属 满足AU一A=全集和A∩A=☑. 于A又不属于A的东西. 如果4属于A的隶属度为0.4，属于A的隶属度为0.6，则 满足全部经典集合关 如果u属于A的隶属度为0.4，属于一A的隶属 “既属于A又属于A的隶属度是0. 系、运算和运算公式 度为0.6，而4既属于A又属于一4的隶属度不 是0反而是0.4. 出现思维、逻辑和概念怪异和混乱 不符合. 符合， 符合正常思维 与正常思维、逻辑和概念相悖 与通常思维、逻辑和概念一致 Defects and overcoming of Zadeh's fuzzy set theory:C"-fuzzy set theory GAO Oingshi Institute of Intelligence,Linguistics and Computer Science,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Three shortcomings and two errors of Zadeh's fuzzy set theory were analyzed and proved,and a new fuzzy set theory,C'-fuzzy set theory,was proposed.The new C-fuzzy set considers the relationship between fuzzy sets and represents the relationship with relativity.It overcomes all the errors and shortcomings of Zadeh's fuzzy set theory:it correctly reflects different kinds of fuzzy phenomena in the natural world;set complement exists on it;it has uniform calculating formulas for membership;it satisfies all formulas of the classical set theory and is consistent with classical and normal thinking,logic and concepts. KEY WORDS classical set;fuzzy set;Zadeh's fuzzy set theory;C-fuzzy set theory

V b l . 2 7 N 0 . 5 高庆 狮 : Z ad e h 模糊 集 合理 论 的缺 陷及其 改进 : *C 一 模 糊集合理 论 5 19 表 5 ’C 一 模 糊集 合 理论 与 Z ad eb 模 糊集 合理 论的 比 较 aT b l e 5 C o m p a isr o n b e wt e e n C ’ 一 fu z z y s e t th e o 叮 a n d Z a d e b , s fu 刃卿 s e t t h e o 叮 条件 Z ad 比 模 糊集合 理 论 ’C 一 模糊 集合 理论 隶属度 隶属度 是集 合系 统的基 本元 件 , 是定 义 出来的 存在相 关系 数氛(u ) 不 可能 有 隶属度 统一 计算 A与B 非一 致包含 A 与 B 不相 交 不 可能 有 脚 n式u ) = m i n 勿 , ( u )声 a ( u )} ; 脚 u a ( u卜m ax 俩 ( u )声式 u )} : 不存 在 . 故采 取难 于解释 的 。 ,沁 。 a( u) = m ax ( 0必( u )切 a ( u ) 一 l } ,脚 u a ( u )=rn i n 讥( u )切 s ( u ) , l } A 与 B 相交而 不是 非一 致 包含 能否准 确反 映客观 世界 不可 能存在 , 也 无法 描述 不能 准确 反映 客观世 界 对 客观世 界 (例 l) 的正 确 反映 不能 . 对 青年 一 少年 , Z ad 比 错误 : 召 , n , ( u )=m i n 勿 , ( u )两( u )} ; 脚 u a ( u ) = m ax 俩 ( u )声 a ( u ) } . 对 青年 一 青 少年 , 粗 体错 误 ; 脚 n成u )=m ax { 0两( u )勺止式u )一 l } : 脚试 u )=m in 俩( u )切仄u ) , l } 对客 观世 界(例 3) 的正 确反 映 不 能 求补 ( C om p l e m e nt 一 ) 满 足全 部经 典集合 关 系 、 运 算和运 算公 式 符合 正常 思维 不存 在补 集 . 误把 共扼 切、 (u )月一脚 ( u) )当补 集 不满足 . 不 满足 A u 沮 = 全集 和 A n 明 = 0 . 存在 既不 属 于A 又 不属 于叨 的东 西 . 如 果 u 属于 A 的 隶属度 为 .0 4 , 属 于诫的隶 属 度 为 。 石 , 而 u 既属 于A 又 属于胡 的隶属 度不 是 0 反而 是 住.4 出现 思维 、 逻 辑和 概念 怪异和 混 乱 不 符合 . 与 正常 思维 、 逻辑 和概 念相悖 隶属度 虽然 是集合 系统 的基本 元件 , 但是 它是通 过相 关 系数 计算 出来 的 有 , 氛( u )=l ` n 式 u 冲 , ( u ) , 满 足氯( u ) = 1 , 标( u ) = 1 , 品 月 ( u ) = 0 , 氛( u ) = l (如 A 二 B ) ,知( “ )=0 (如翅尹 不相 交) , 氛( u 卜拳翻 ( u ) = l 有 . 脚、 ( u) 习 ` ( u) 一 声勺 ( u ) x 如 “ ( u ) ; 为 au ( u) 节尸 刁 ( u脚翻 ( u) x 么“ ( u ) 脚 。 a ( u )刁止月 ( u )一脚 ( u ) x 如 阴 ( u )=m i n 俩( u )护才月 ( u )} ; 脚 u e ( u ) , 月 ( u )切 石 ( u ) x睿 “ 扭 ( u )=m ax 俩 ( u )声 a ( u )} 存在 , 而且容 易 明 白 . 脚 n式u )习` ( u ) 一脚( u ) x 如 加 ( u ) = 0 : 脚 u成u )习翻( u )切 s ( u ) x 易 扭 ( u ) = 泪 月 ( u )加 a ( u ) 沁 n如)习 ` (u ) 一脚( u ) x 如 “ 佃) ; 脚 u成 u ) , 月 ( u )切 a ( u ) x如试 u ) 能准 确反 映客观 实 际 育旨 . 对青 年一 少年 , 正 确 脚 n 。 ( u ) , ( u )一脚 ( u ) x如 “ ( u ) = 0; 脚 u。 ( u ) = 产 月 ( u )切 刀 ( u ) x氛 日 ( u ) =尸 月 ( u )切成u ) . 对 青年 一 青 少年 , 也 正 确 : 脚 。成 u ) , 月 ( u )一脚 ( u ) x省 旧 “ ( u ) , i n俩 ( u )声 a ( u ) } : 为 u如 ), 刁 ( u )切 a ( u ) ` 氛 ,a( u )~ ax 勿 刁 ( u )声以u )} 能 . 脚 n a(u ) = 洲 刁 ( u) 一脚 ( u ) x如 “ ( u) : 脚 。 式 u )习` ( u )切 a ( u ) x 如,a( u ) 存在 补集 . 产、 、 =) 1一脚 ( u) . 满足 : A n “ 一 O 存在 多个 共骊 , 产、 ( u 卜 l 一脚( u ) 满足 , 满足A u 喇 = 全集 和A n 班= 0 . 如果 u 属于 A 的隶 属度 为 .0 4 , 属于 A 的隶 属度 为 0 . 6 , 则 u 既属于 A 又属 于叫 的隶属度 是 0 . 符 合 . 与 通常 思维 、 逻 辑和概念一致 D e fe e t s an d o v e r c o m i n g o f Z a d e h , 5 fu z yZ s e t ht e o yr : C ` 一 fu z Z y s e t ht e o yr 6 叼 O Qin gs h i I n s it ut et o f ih t e llig e n e e , L l n g u l s t i e s an d C o m p ut e r s e i e n c e , U n 1 V e rs ity o f s e i e cn e an d eT e hn o l o 群 B e ij i n g , B e ij lns l o 0 0 8 3 , Cb i n a A B S T R A C T T h r e e s h o crt o m i n g s an d tw o e or r s o f Z ad e h , 5 fuz z y s e t th e o yr w e er an a lyz e d an d P r o v e d , an d a n e w 允Z yZ s e t ht e o 以 C ` 一 fu z叮 s e t ht e o 以 w a s p or p o s e d . hT e n e w C ’ 一 fuz 盯 s e t e o n s i d e r s ht e r e l at i o n s h i P b e wt e e n fuz yZ s e t s an d r e P er s e nt s ht e r e lat i on s hiP w iht r e lat i v i .yt It o v e cr o m e s a ll ht e e or r s an d s h ort c o m i n g s o f Z ad e h , 5 fu z yZ s e t ht e o yr : it e o r e c tl y r e fl e c t s d i fe r e n t k i n d s o f fo z z y Ph e n o m e n a i n ht e n a tU r a l w o r l d: s e t e o m P l e m e nt e x i s t s o n i t : i t h a s un ifo mr c a l e u l at i n g fo mur l a s fo r me m b e r s h iP : i t s at i s if e s a ll fo mr u l a s o f ht e e l a s s i e a l s e t ht e o yr an d i s c o n s i s ot in w iht e l a s s i e a l an d n o mr a l ht ikn i n g , l o g i e an d c o n c e P t s . K E Y WO R D S e l a s s i e a l s e t ; hfa z y s e t: Z a d e h , 5 fuz yZ s ct ht e o yr ; C ` 一 fuz 盯 s e t ht e o yr