D0I:10.13374/j.issn1001-一053x.1995.02.016 第17卷第2期 北京科技大学学报 Vol.17 No.2 19954 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.1995 多电子原子体系Stark效应 金玉堂 北京科技大学物理系，北京100083 摘要首先证明张量展开的一般公式，其次将张量展开的一般公式应用到Strk效应中，计 算出电四极矩张量的哈密顿算符的矩阵元，并计算出原子在外电场中能级位移量，计算结 果与aHnay曾给出的一种标准的计算方法的结果相一致， 关键词电四极矩，张量，算符，位移 中图分类号0413.1 Stark Effect of Atom with Many Electron Jin Yutang Department of Physics.USTB,Beijing 100083,PRC ABSTRACT A general formula for the expansion of tensor is proved.The formula is applied to interpret the Stark effect.The matrix elements of Hamilton operator of the quadrupole moment tensor is deduced.The displacement of energy level under exteral electric field is calculated by the method,which agrees very well with the result calculated by JIamnay's standard method. KEY WORDS quadrupole moment,tensor,operator,displacement 目前，对于氢原子和碱金属原子的原子体系在均匀的外电场中光谱线分裂现象，都 可以用量子力学微扰理论给以定量的计算和解释，理论的结果与实验结果很好的符合， 对于多电子的原子体系，尤其在非均匀的外电场中，除了电偶极矩外，原子体系的电四 极矩对原子能级也有贡献，显然，对于多电子的原子体系在非均匀的外电场中，原子能 级的分裂、原子光谱线的分裂，要比轻原子和碱金属原子更为复杂，因此，通常都采用 群论中Wiqner-Eckart定理，或者用aHnay曾经给出的一种标准方法计算原子体系的 电四极矩在外电场中的能量·本文将提出另一种新的方法对此进行计算. 1在外电场中原子能级位移量 1个多电子的原子系统处在非均匀外电场中，由于原子的电四极矩的作用，其基态 会产生1个与场成线性关系的能级分裂，其能级位移的量由几aHy)给出，即将系统与 1994-06-10收稿第一作者男59岁副教授
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 多 电子 原 子 体系 效应 金 玉 堂 北 京 科 技 大 学 物 理 系 ， 北 京 摘要 首 先 证 明 张 量 展 开 的 一 般 公 式 ， 其 次 将 张量 展 开 的 一 般 公 式 应 用 到 效 应 中 计 算 出 电 四 极 矩 张量 的 哈 密 顿算符 的矩 阵元 ， 并 计 算 出 原 子 在 外 电 场 中 能 级 位 移 量 ， 计 算 结 果 与 几 助 曾给 出 的 一 种 标 准 的计 算方 法 的 结 果 相 一 致 关 键词 电 四 极 矩 ， 张 量 ， 算 符 ， 位 移 中 图 分 类 号 ， ， ， ， 江 ‘ ， ， ， 目前 ， 对 于 氢 原 子 和 碱 金 属 原 子 的 原 子 体 系 在 均 匀 的外 电 场 中 光 谱 线 分 裂 现 象 ， 都 可 以 用 量 子 力 学 微 扰 理 论 给 以 定 量 的计 算 和 解 释 ， 理 论 的 结 果 与 实 验 结 果 很 好 的 符 合 对于 多 电子 的 原 子 体 系 ， 尤 其 在 非 均 匀 的外 电 场 中 ， 除 了 电偶 极 矩 外 ， 原 子 体 系 的 电 四 极 矩 对 原 子 能 级 也 有 贡 献 显 然 ， 对于 多 电 子 的 原 子 体 系 在 非 均 匀 的外 电 场 中 ， 原 子 能 级 的分 裂 、 原 子 光 谱 线 的 分 裂 ， 要 比轻 原 子 和 碱 金 属 原 子 更 为 复 杂 因 此 ， 通 常 都 采 用 群 论 中 一 定 理 ， 或 者 用 几 江 曾 经 给 出 的 一 种 标 准 方 法 计 算 原 子 体 系 的 电 四 极 矩 在 外 电 场 中 的 能 量 本 文 将 提 出 另 一 种 新 的 方 法 对 此 进 行 计 算 在外 电场 中原 子 能级位移 量 个 多 电 子 的 原 子 系 统 处 在 非 均 匀 外 电 场 中 ， 由于 原 子 的 电 四 极 矩 的 作 用 ， 其 基 态 会 产 生 个 与 场 成 线 性 关 系 的 能 级 分 裂 ， 一 一 收 稿 第 一 作 者 男 岁 其 能 级 位移 的量 由 几 从 〔 ’ 〕 给 出 ， 即将 系 统与 副 教 授 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1995．02．016
Vol.17 No.2 金玉堂：多电子原子体系Stark效应 …175 场之间的电四极矩作用算符： =上aybw 60x,0x, (1) 换成它的本征值，便得出能级的位移，例如，原子在轴对称电场中基态能级的四极矩分 裂可由下面推导. 在对称于：轴的场内，有9'=票=4， a2y =y=a,0F=-2a,其余的二级导数都等于 零，则四极矩能量算符)变为： 6,20D0前+-号a) 吉(D+D,+D.)日ab+D,2b) Da =60+D,-20.)=2”-d（心-3) 把上式中算符换成它们的本征值，就得出能级位移量为： D AE-a2J2J-1)[(J+1)-3M] (2) 其实，上面结果也可以不用Jan nayi1l方法或不用群论中的Wigner-一Eckart定理给 出，而采用张量展开方法给出， 2证明张量展开公式 原子系统在外电场中相互作用的哈密顿量为： A-ee)=e0++(x+ 其中第3项为电四极矩项，即： iv)ox.x. H,号2(axix (3) av)· 式中：令a,=（x 如能将张量∑axx展开，那么(3)式就计算出来了·为此： x1=(x,+x-)/2 x.=x+iy 令{x=(x,-x)/21 其中 x-=x-iy X1=二 x1±ix2=x± 于是， 三x=a+x2+2x,x)+a(-)） +dn-s.+)) +a:号(+2-2x,x)+a方0，+x)
金 玉 堂 多 电 子 原 子 体 系 效 应 场 之 间 的 电 四 极 矩 作 用 算 符 日 。 ‘日 ， 力 一 ， 一 换 成 它 的本 征 值 ， 便 得 出能 级 的位 移 例 如 ， 原 子 在 轴 对称 电 场 中基 态 能 级 的 四 极 矩 分 裂 可 由下 面 推 导 日 、 一 人 二 ‘ 一 。 。 一 一 ， 飞 下 一 乙 ， 县 乐 阴 一 驭 哥 鳅 孙 寺 刁一 公‘ 一尸 ﹄一 ︸ 一户口八 一 州︺一八口︹ ﹄一 在 对称 于 轴 的 场 内 ， 有 零 ， 则 四 极 矩 能 量 算符 介变 为 ‘， 八 一 今 今 今 与 。 、 十 内去 一 了 一 音会 “ 、 二 等 “ ，， 等 “ 二 卜 音 ‘ · ” 二 · ‘ 一 口 ， 盘 二 － 刀 ，， 一 ， 今 ， 与 、 二 二 厄灭乏不万 “ ‘ 一 ” “ ” 把 上 式 中算 符 换 成 它 们 的 本 征 值 ， 就 得 出 能 级 位 移 量 为 △ 二 一 【 一 其 实 ， 上 面 结 果 也 可 以 不 用 及 ’ 方 法 或 不 用 群 论 中 的 一 盯 定 理 给 出 ， 而 采 用 张 量 展 开 方 法 给 出 证 明张量展 开公式 原 子 系 统在 外 电 场 中相 互 作 用 的 哈 密 顿 量 为 一 耳 · 汽，一耳 ，· 落斋 ， 。 一 ‘ · 合荟喘子兴丁 。 · ， 其 中第 项 为 电 四 极 矩 项 ， 即 一 。 。 口 月 一 万 今去 “ 万又声万 。 义 一 ， 二 · 沙 ‘ 众 甲 之孕 久 。 二 一犷一万一一 一 剐 ， 如 能 将 张 量 艺 ，， ， 展 开 ， 式 就 计 算 出来 了 令 二 二 那 么 一 一 一 其 中 为 此 、 十 一 夕 士 士 于 是 ， 买 · ， ， ·， 一 音 · 岌 · 毛 二 。 ， ， 生正 二一 己 、 。 、 一 卜 合 十 。 ， 土忍 几一 。 ， ， 土 耳 乙一 十 一 一
…176· 北京科技大学学报 1995年No.2 +a号x+x)+a:7,-x)+ae 因为对称张量a,=a,则第2与第4，第3与第7，第6与第8项合并，则： axx,=(号an+7a:-ax+a+日ax, +(a,-an归x.+(宁a+分ax,x 1 1 1 +(4a1-2ia124a)x2+a32 其中第4项和第6项变为： 62a-a-a2:-x-y+号au+aa+ax+y+9 =(号an+号ax,)+ag 1 所以， (n-dx-2i)((auas +2ii +(an3-ia)=(x+iy)+(a1;+ia2 )=(x-iy) +若2a-a-a2:-x-y+号a+aa+a,x+y+④ 3用张量展开式计算H。的矩阵元 在方程(4)中，第5项和第6项是张量算符的对角矩阵元，而且第6项对所有能级其 位移都相等.因此，只讨论第5项，即求在（尸，J)表象中第5项的矩阵元： mim,）=(m宁22(xa=号ga,） =m号e空62anan-a2-对-m） =员2（晋-（影为-（器，区--m） a2V (5) (5)式中右边第1项按照Laplace方程可知： (器+（器b+(器=0 d2V d2V d2V a2V 82V 则：（8产)。=-(8x。-(y,即第-项变为3（子 (5)式中右边第2项： 2-x-=3-(x+y+z）)=3z2-r 从而使(5)式简化成： a2V (hm,aom,）=导（8bm,lL3z-rm,) (6) 根据角动量的性质，原子中的电子的空间坐标函数的矩阵元都可以通过和m,无关的
北 京 科 技 大 学 学 报 年 · ， 合 · · 一 卜 一 会 · · 一 ， 一 ’ 因 为 对称 张 量 气 ， 久 ， ， 则 第 与 第 ， 第 与 第 ， 第 与 第 项 合 并 ， 则 买 ·， 二 ， 一 专一 去一 专一 · 乙 一 令一，… · 一 令一 一 合 · 合一 十 ‘专 · 一 去 · ， 一 音 · · 一 其 中第 项 和 第 项 变 为 音 · 一 一 一 ， 卜 合 · ， · 。 ， 一 一 合 · ， 合一，一 ， 一 ’ 所 以 ， 艺 ， ， ， ， 专 二 ， 一 一 ‘· ， · ，夕 音 · 一 ‘· 一 ‘， ’ 一 一 音 · 一 一 一 ， 告 · · · ， 一 用 张量展 开 式计 算 的矩 阵元 在 方 程 中 ， 第 项 和 第 项 是 张量 算符 的对角矩 阵元 ， 而且第 项 对所有 能级其 位 移 都 相 等 因 此 ， 八 加 只 讨 论 第 项 ， 即 求 了 。 。 刁 《 从 ， 二 【 一不二 ‘ ’ 甲 下 “ ，一， 爹 · 音 · 一 。 一 ‘ 。 ， ， ， 、 卜 粤 。 艺 艺 ， ， ，‘ 。 。 ， 澎 、 ， 子 、 ， 护 、 ， ， ， ， 。 一 ， ， 一 二 、 一 下二丁 乙 气一了万一 一 气一该吮花一 一 一百了了 山 ‘ 一 尤 一 乙 ‘ 式 中右 边 第 项 按 照 方 程 可 知 云 、 日 、 日 、 一 、 。 一 、 。 一 、 云 产 ’ 、 日夕 产 ’ 、 日 少 ， 口 、 日 、 日 、 。 。 一 、 ， 日 、 则 东共 一 。 一 〔 只止不 、 。 一 ‘ 二哥共 一 。 即 第 一 项 变 为 二炭共 一 、 、 、 云扩 。 、 刁 产 、 己 了， 一 ‘ 乃 一 、 日扩 少。 式 中右 边 第 项 一 一 夕 一 夕子 ， 一 子 从而 使 式 简 化 成 加 音 等 。 ” 】 ，耳‘，· 一 加 根 据 角 动 量 的性 质 ， 原 子 中 的 电子 的 空 间 坐 标 函 数 的矩 阵元 都 可 以 通 过 和 无 关 的
Vol.17 No.2 金玉堂：多电子原子体系Stark效应 ,177. 因子与角动量成正比2刃.于是(6)式中： (Jm∑(3z-r21Jm,）=C[33-]=C[3m-J+1月 (7) 根据四极矩的定义，即当其m,=J时（当角动量“完全”沿z轴方向时），得出D= D,通常称它为电四极矩，则： D=(JJ|∑(3z-r)1J0=C[32-JJ+1)]=CJ(2J-1) c- (8) 将(7)式和(8)式代人(6)式得： a。m》品-（器t3m-W+1W 2D (9) 因为（器）=-2a则(9)式变为： eaD ma,m,）=22-DW+1)-3m引 (10) (I0)式结果与aHnay给出的(2)式完全一致.总之，当原子处在轴向对称电势梯 度的电场中，能级的四极矩分裂的裂距，由H。算符的对角元素给出，也即张量展开 式(4)中第5项矩阵元给出· 上面讨论了轴向对称电势梯度情况，由(4)式的第5项矩阵元给出与aHnay计 算结果相同· 4结束语 对原子体系的电四极矩在外电场中的能量，用张量展开方法对此进行计算，计算的 结果与几annay的方法计算结果相一致.这说明，计算原子体系的电四极矩在外电场中 的能量，除了可用群论中Winger-Eckart定理和JIannay曾经给出的标准的计算方法 外，还可以用本文提出的张量展开方法· 本文曾与北京师范大学物理系汪洁英老师作过讨论，特此致谢， 参考文献 1几annay刀1著，严肃译.量子力学（上册)·北京：人民教育出版社，1980.343~348 2 Marzbacher Eugen.Quantum Mechanics,Second edition.New York:John Wiley Sons,Inc, 1970.396 3 Edmonds.Angular Momentum in Quantum Mechanics.Princeton:Princeton University Press, 1957.73
金 玉 堂 二 多 电 子 原 子 体 系 效 应 因子 与 角 动 量 成 正 比 ， ’ 于 是 式 中 加 ， 艺 一 加刀一 之 一 全 一 一 ， 根 据 四 极 矩 的定 义 ， 即 当其 二 二 时 当 角 动 量 “ 完 全 ” 沿 轴 方 向 时 ， ， 通 常称 它 为 电 四 极 矩 ， 则 艺 卜 幼 尹 一 一 得 出 二 一 将 式 和 式 代 人 式 得 六 ， 、 ， 、 ， 、 又 ， 月 ， 百灭百不万 ，诬了 附 于一 “ 十 ’ ， 、 ， ， 刁 、 ， ， 、 、 一 、 ， 囚 刀 一万，犷 夕 。 一 艺 ， 贝组 又，少 气父 刀 八 加 办二 式 结果 与 八 给 出 的 口 一 式 完 全 一 致 【 一 总 之 ， 当原 子 处 在 轴 向 对称 电 势 梯 度 的 电 场 中 ， 能 级 的 四 极 矩 分 裂 的裂 距 ， 式 中第 项 矩 阵元 给 出 上 面 讨 论 了 轴 向 对 称 电 势 梯 度 情 况 ， 算 结 果 相 同 由 算 符 的 对 角 元 素 给 出 ， 也 即 张 量 展 开 由 式 的 第 项 矩 阵 元 给 出 与 几 及 计 结束语 对原 子 体 系 的 电 四 极 矩 在 外 电 场 中 的 能 量 ， 用 张 量 展 开 方 法 对 此 进 行 计 算 ， 计 算 的 结 果 与 几 八 的方 法 计 算 结 果 相 一 致 这 说 明 ， 计 算 原 子 体 系 的 电 四 极 矩 在 外 电 场 中 的 能 量 ， 除 了 可 用 群 论 中 一 定 理 和 八 曾 经 给 出 的 标 准 的 计 算 方 法 外 ， 还 可 以 用 本 文 提 出 的 张 量 展 开 方 法 本 文 曾 与 北 京 师 范 大 学 物 理 系 汪 洁 英 老 师 作 过 讨论 ， 特 此 致 谢 参 考 文 献 月 彻 几 八 著 严 肃 译 量 子 力 学 上 册 北 京 人 民 教 育 出 版 社 ， 一 ， ， ，
