第10期 王健安等：具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 。1373 态均可不相同.因此，本文所研究的模型更具有一 假设2时滞(9和（的导数满足0≤ 般性.基于LSa环变原理，运用自适应控制技术 t1(≤e1<lGt2(≤e2<1 设计控制器使得两个网络达到同步，同时得到一些 引理1对于任意的XER心0有2长 简单情形下的同步控制器.进一步研究了具有未知 nxxt Iyy 拓扑结构的两个复杂网络的同步问题.最后用两个 1 例子验证了本文方法的有效性. 在本文中，总是认为假设1和假设2是成立的. 1网络模型和预备条件 2同步控制器设计 考虑由N个相同节点组成的复杂网络，其模型 为考虑问题方便首先假设C和D是己知的， 如下： 有如下定理. N 定理1如果网络(1)和（2)的拓扑结构已知， X(9=)+ SDM-(9), 运用下面的控制器可使这两个网络获得同步， =↓2；N (1) 9-t1()- 式中，X=(XX；X)∈R为第个节点的状 -(为-两为+月 态变量，fR”,R”为光滑向量函数，单个节点的动 D2Yt-2(9)+ 态方程为x=9:1(9为时变耦合时滞；∈ R为已知的常数正定对角矩阵，表示网络的内部 SDx(+t1(9)-k9 (4) 耦合；C=(∈RxN为网络拓扑结构和节点之间 k=llll2 的耦合强度.C满足如下条件：如果节点和（共 (5) j之间有连接，则D0否则=0（共，且对角 这里，e(9=(9一X(,是任意的正常数，= ↓2，y. 元素S=一入：5-12“N基于驱动响 证明在控制器(4的作用下的误差动态为 应的概念，本文将网络(1)视为驱动网络，下面给出 9=f)-f)+月Isr9-5(9)+ 对应的响应网络模型. 考虑另一个由】个节点构成的响应复杂网络： d4T29(+2()门-ke (6) 选择如下的Iyapunov-Krasovski函数： =列+ )d,t2()+马 15 =12；y (2) 式中，XN·)和2的意义如同网络(1)中的相 之21- (a)(a)d+ 应变量D=(d)∈Rx的定义如同网络(1)中的 94是所需要设计的控制器.不失一般性，假设 2(1-2) I,)8)9 (7) y<N这意味着网络(1)和(2)的节点数目不相 将沿式(6)求导，运用假设1和式(5，有 同.而且，这两个网络的拓扑结构、内部耦合、耦合 时滞和节点动态都不相同，即≠D≠τ（≠ +空-+ 飞（男·）≠(·人.与文献[11-14相比，本文所 研究的模型更为一般. 2(1-e)台 Ee- 定义9如果1m(9-x(9)=0=↓2 :y,则称网络(1和网络(2获得同步. 2-(y()- 21-e1)台 本文的主要目的是设计合适的控制器马使得 驱动网络(1)和响应网络(2)同步.为研究问题方 )(七2()9(-(9)= 便，需如下假设条件和引理. 假设1对于任意的R"和ER,存在正 1-f-+(-+ 常数↓满足 川fy-f9川≤uI刘 (3) 露 EsIS(+t1(9)+第 10期 王健安等:具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 态均可不相同 .因此, 本文所研究的模型更具有一 般性 .基于 LaSalle不变原理, 运用自适应控制技术 设计控制器使得两个网络达到同步, 同时得到一些 简单情形下的同步控制器.进一步研究了具有未知 拓扑结构的两个复杂网络的同步问题.最后用两个 例子验证了本文方法的有效性. 1 网络模型和预备条件 考虑由 N1 个相同节点组成的复杂网络, 其模型 如下 : x · i(t) =f( xi( t) ) +∑ N1 j=1 cijΓ1 xj( t-τ1 ( t) ), i=1, 2, …, N1 ( 1) 式中, xi=( xi1, xi2, …, xin) ∈ R n为第 i个节点的状 态变量, f:R n※R n为光滑向量函数, 单个节点的动 态方程为 x · =f( x) ;τ1 ( t)为时变耦合时滞 ;Γ1 ∈ R n×n为已知的常数正定对角矩阵, 表示网络的内部 耦合 ;C=( cij)∈ R N1 ×N1为网络拓扑结构和节点之间 的耦合强度.C满足如下条件:如果节点 i和 j( i≠ j)之间有连接, 则 cij>0, 否则 cij=0 ( i≠j);且对角 元素 cii =- ∑ N j=1, j≠i cij, i=1, 2, …, N1 .基于驱动--响 应的概念, 本文将网络 ( 1)视为驱动网络, 下面给出 对应的响应网络模型. 考虑另一个由 N2 个节点构成的响应复杂网络: y · i( t) =g( yi( t) ) +∑ N2 j=1 dijΓ2yj( t-τ2 ( t) ) +ui, i=1, 2, …, N2 ( 2) 式中, yi、N、g(· )和 Γ2 的意义如同网络 ( 1)中的相 应变量, D=( dij) ∈ R N2 ×N2的定义如同网络 ( 1)中的 C, ui是所需要设计的控制器.不失一般性, 假设 N2 <N1, 这意味着网络 ( 1)和 ( 2 )的节点数目不相 同.而且, 这两个网络的拓扑结构、内部耦合、耦合 时滞和节点动态都不相同, 即, C≠D, Γ1≠Γ2, τ1 (t)≠ τ2 (t), f(· ) ≠g(· ).与文献 [ 11--14] 相比, 本文所 研究的模型更为一般. 定义 [ 14] 如果lt※im( yi(t) -xi( t) ) =0, i=1, 2, …, N2, 则称网络 ( 1)和网络 ( 2)获得同步. 本文的主要目的是设计合适的控制器 ui, 使得 驱动网络 ( 1)和响应网络 ( 2)同步 .为研究问题方 便, 需如下假设条件和引理. 假设 1 对于任意的 x∈ R n和 y∈ R n , 存在正 常数 L, 满足 ‖ f( y) -f( x)‖ ≤L‖ y-x‖ ( 3) 假设 2 时滞 τ1 ( t)和 τ2 ( t)的导数满足 0≤ τ · 1 ( t) ≤ε1 <1, 0≤τ · 2 ( t) ≤ε2 <1. 引理 1 [ 14] 对于任意的 x, y∈ R n , η>0, 有 2x Ty≤ ηx Tx+ 1 η y Ty. 在本文中, 总是认为假设 1和假设 2是成立的. 2 同步控制器设计 为考虑问题方便, 首先假设 C和 D是已知的, 有如下定理 . 定理 1 如果网络 ( 1)和 ( 2)的拓扑结构已知, 运用下面的控制器可使这两个网络获得同步, ui=f( yi) -g( yi) +∑ N2 j=1 cijΓ1yj( t-τ1 ( t) ) - ∑ N1 j=1 dijΓ2 xj( t-τ2 ( t) ) + ∑ N1 j=N2 +1 cijΓ1xj( t-τ1 (t) ) -kiei ( 4) k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 5) 这里, ei(t) =yi( t) -xi(t), ri是任意的正常数, i= 1, 2, …, N2 . 证明 在控制器 ( 4)的作用下的误差动态为 e · i =f( yi) -f(xi) +∑ N2 j=1 [ cijΓ1 ej( t-τ1 ( t) ) + dijΓ2ej( t-τ2 ( t) )] -kiei ( 6) 选择如下的 Lyapunov--Krasovskii函数 : V= 1 2 ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2 ∑ N2 i=1 1 ri (ki -k) 2 + ∑ N2 i=1 1 2( 1 -ε1 ) ∫ t t-τ1 ( t) e T i( α)ei(α) dα+ 1 2( 1 -ε2 ) ∫ t t-τ2 ( t) e T i( β)ei( β) dβ ( 7) 将 V沿式 ( 6)求导, 运用假设 1和式 ( 5), 有 V · =∑ N2 i=1 e T ie · i +∑ N2 i=1 1 ri (ki-k) k · i+ 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei- 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) = ∑ N2 i=1 e T i(f(yi) -f(xi) -kiei) +∑ N2 i=1 (ki-k)‖ei‖ 2 + ∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T icijΓ1 ej( t-τ1 (t) ) + · 1373·