具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步

D0I:10.13374/j.issnl(00103x.2010.10.019 第32卷第10期 北京科技大学学报 Vo132N910 2010年10月 JoumalofUniversity of Science and Technopgy Beijng 0ct2010 具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 王健安”刘贺平)石 馨) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)沈阳航空职业技术学院航空电子工程系，沈阳11①34 摘要针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络，提出一个新的网络同步模型.该模型中的两个网络在节点数目、拓扑结构、 内部耦合、耦合时滞及节点动态均可不相同.基于IS不变原理，设计自适应控制器使得两个网络获得同步.进一步研究 了具有未知拓扑结构的两个复杂网络的自适应同步问题.数值结果表明了本文方法的有效性 关键词复杂网络：自适应同步：拓扑结构：时变时滞 分类号TP273 Adaptive synchronization between wo different comp lex networksw ith ti e var ying delay coupling WANG Janan)LU Hepng)SHIXn 1)School of Infma tin Engneering Universit of Scence and Technobgy Beijng Beijing 100083 Chna 2)Depa rment ofAvatin Ekctonic Engneering Shenyang Aviation Vocaticnal Technical College Shenyang 110034 Chna ABSTRACT A nework synchronization modelwas proposed for two different com plex networksw ih tie varying delay coupling The wo newoiks in themoelwere diferent n he nm ber of nodes topopgical stucue nner coup ling coupling delay and node dy namics Based on Lasalle s invariance princp an adap tive controler was des gned to ach eve synchronization between these two net works W hen he ppological structures of wo neworks were ully unknown the adaptive synchronization prob km was aso discussed Numerical results were presented p verify he effectiveness of the proposed method KEY WORDS comp lex networks adaptive synch r ization topobgical strucure tie varyng delay 由于自然界和人类社会中的大量复杂系统可通 首次研究了具有相同拓扑结构的两个网络的外同步 过不同的网络模型加以描述.因此复杂网络己成为 行为：文献[12]进一步研究了两个不同拓扑结构的 不同科学领域（物理、生物、控制、通信、社会和经 复杂网络间的同步，但没有考虑时滞因素的影响：文 济)中学者们研究的热点问题.在有关复杂网络的 献[13]讨论了含有时变耦合时滞的两个不同网络 研究中，网络同步是非常有意义的.文献[4利 的同步问题，但要求两个网络的节点动态和耦合时 用自适应技术设计一个简单的控制器实现了一类不 滞相同.在文献[14]中，作者提了一个新的网络外 确定复杂网络的同步；该控制器结构简单，具有较好 同步模型，文献[11-12]所研究模型都是其特殊情 的实用效果，引起了研究者们的广泛关注5.由于 况，但文中要求所研究的两个网络的时变耦合时滞 时滞在现实世界中是不可避免且广泛存在的，因此 是相同的，这是非常保守的，因为许多情况下两个不 研究具有耦合时滞的复杂网络同步尤为必要【. 同网络的耦合时滞并不相同. 上述所研究的同步行为属于单个网络间的“自 针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络，本文 同步”或“内同步.然而，对于两个网络间的同 提出一个新的网络同步模型.该模型中两个网络在 步行为，即“外同步”却很少有文献涉及.文献[11] 节点数目、拓扑结构、内部耦合、耦合时滞及节点动 收稿日期：2009-10-23 基金项目：北京市教委重点学科共建项目(N0K100080537 作者简介：王健安(1984)，男.博士研究生：刘贺平(1951一).男，教授，博士生导师，Ema1hP@5uscm

第 32卷 第 10期 2010年 10月 北 京 科 技 大 学 学 报 JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijing Vol.32 No.10 Oct.2010 具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 王健安 1 ) 刘贺平 1) 石 馨 2 ) 1 )北京科技大学信息工程学院, 北京 100083 2)沈阳航空职业技术学院航空电子工程系, 沈阳 110034 摘 要 针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络, 提出一个新的网络同步模型.该模型中的两个网络在节点数目、拓扑结构、 内部耦合、耦合时滞及节点动态均可不相同.基于 LaSalle不变原理, 设计自适应控制器使得两个网络获得同步.进一步研究 了具有未知拓扑结构的两个复杂网络的自适应同步问题.数值结果表明了本文方法的有效性. 关键词 复杂网络;自适应同步;拓扑结构;时变时滞 分类号 TP273 Adaptivesynchronizationbetweentwodifferentcomplexnetworkswithtime-var￾yingdelaycoupling WANGJian-an1) , LIUHe-ping1) , SHIXin2) 1 ) SchoolofInformationEngineering, UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Beijing100083, China 2 ) DepartmentofAviationElectronicEngineering, ShenyangAviationVocationalTechnicalCollege, Shenyang110034, China ABSTRACT Anetworksynchronizationmodelwasproposedfortwodifferentcomplexnetworkswithtime-varyingdelaycoupling.The twonetworksinthemodelweredifferentinthenumberofnodes, topologicalstructure, innercoupling, couplingdelay, andnodedy￾namics.BasedonLasalle' sinvarianceprinciple, anadaptivecontrollerwasdesignedtoachievesynchronizationbetweenthesetwonet￾works.Whenthetopologicalstructuresoftwonetworkswerefullyunknown, theadaptivesynchronizationproblemwasalsodiscussed. Numericalresultswerepresentedtoverifytheeffectivenessoftheproposedmethod. KEYWORDS complexnetworks;adaptivesynchronization;topologicalstructure;time-varyingdelay 收稿日期:2009-10-23 基金项目:北京市教委重点学科共建项目 (No.XK100080537) 作者简介:王健安 ( 1984— ), 男, 博士研究生;刘贺平 ( 1951— ), 男, 教授, 博士生导师, E-mail:lhpjx@ies.ustb.edu.cn 由于自然界和人类社会中的大量复杂系统可通 过不同的网络模型加以描述, 因此复杂网络已成为 不同科学领域 (物理 、生物 、控制、通信、社会和经 济 )中学者们研究的热点问题.在有关复杂网络的 研究中, 网络同步是非常有意义的 [ 1--3] .文献 [ 4] 利 用自适应技术设计一个简单的控制器实现了一类不 确定复杂网络的同步;该控制器结构简单, 具有较好 的实用效果, 引起了研究者们的广泛关注 [ 5--7] .由于 时滞在现实世界中是不可避免且广泛存在的, 因此 研究具有耦合时滞的复杂网络同步尤为必要 [ 8--9] . 上述所研究的同步行为属于单个网络间的 “自 同步 ”或“内同步 ” [ 10] .然而, 对于两个网络间的同 步行为, 即 “外同步 ”却很少有文献涉及.文献 [ 11] 首次研究了具有相同拓扑结构的两个网络的外同步 行为;文献[ 12]进一步研究了两个不同拓扑结构的 复杂网络间的同步, 但没有考虑时滞因素的影响;文 献 [ 13]讨论了含有时变耦合时滞的两个不同网络 的同步问题, 但要求两个网络的节点动态和耦合时 滞相同 .在文献 [ 14]中, 作者提了一个新的网络外 同步模型, 文献[ 11--12] 所研究模型都是其特殊情 况, 但文中要求所研究的两个网络的时变耦合时滞 是相同的, 这是非常保守的, 因为许多情况下两个不 同网络的耦合时滞并不相同. 针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络, 本文 提出一个新的网络同步模型 .该模型中两个网络在 节点数目、拓扑结构 、内部耦合 、耦合时滞及节点动 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2010.10.019

第10期 王健安等：具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 。1373 态均可不相同.因此，本文所研究的模型更具有一 假设2时滞(9和（的导数满足0≤ 般性.基于LSa环变原理，运用自适应控制技术 t1(≤e1<lGt2(≤e2<1 设计控制器使得两个网络达到同步，同时得到一些 引理1对于任意的XER心0有2长 简单情形下的同步控制器.进一步研究了具有未知 nxxt Iyy 拓扑结构的两个复杂网络的同步问题.最后用两个 1 例子验证了本文方法的有效性. 在本文中，总是认为假设1和假设2是成立的. 1网络模型和预备条件 2同步控制器设计 考虑由N个相同节点组成的复杂网络，其模型 为考虑问题方便首先假设C和D是己知的， 如下： 有如下定理. N 定理1如果网络(1)和（2)的拓扑结构已知， X(9=)+ SDM-(9), 运用下面的控制器可使这两个网络获得同步， =↓2；N (1) 9-t1()- 式中，X=(XX；X)∈R为第个节点的状 -(为-两为+月 态变量，fR”,R”为光滑向量函数，单个节点的动 D2Yt-2(9)+ 态方程为x=9:1(9为时变耦合时滞；∈ R为已知的常数正定对角矩阵，表示网络的内部 SDx(+t1(9)-k9 (4) 耦合；C=(∈RxN为网络拓扑结构和节点之间 k=llll2 的耦合强度.C满足如下条件：如果节点和（共 (5) j之间有连接，则D0否则=0（共，且对角 这里，e(9=(9一X(,是任意的正常数，= ↓2，y. 元素S=一入：5-12“N基于驱动响 证明在控制器(4的作用下的误差动态为 应的概念，本文将网络(1)视为驱动网络，下面给出 9=f)-f)+月Isr9-5(9)+ 对应的响应网络模型. 考虑另一个由】个节点构成的响应复杂网络： d4T29(+2()门-ke (6) 选择如下的Iyapunov-Krasovski函数： =列+ )d,t2()+马 15 =12；y (2) 式中，XN·)和2的意义如同网络(1)中的相 之21- (a)(a)d+ 应变量D=(d)∈Rx的定义如同网络(1)中的 94是所需要设计的控制器.不失一般性，假设 2(1-2) I,)8)9 (7) y<N这意味着网络(1)和(2)的节点数目不相 将沿式(6)求导，运用假设1和式(5，有 同.而且，这两个网络的拓扑结构、内部耦合、耦合 时滞和节点动态都不相同，即≠D≠τ（≠ +空-+ 飞（男·）≠(·人.与文献[11-14相比，本文所 研究的模型更为一般. 2(1-e)台 Ee- 定义9如果1m(9-x(9)=0=↓2 :y,则称网络(1和网络(2获得同步. 2-(y()- 21-e1)台 本文的主要目的是设计合适的控制器马使得 驱动网络(1)和响应网络(2)同步.为研究问题方 )(七2()9(-(9)= 便，需如下假设条件和引理. 假设1对于任意的R"和ER,存在正 1-f-+(-+ 常数↓满足 川fy-f9川≤uI刘 (3) 露 EsIS(+t1(9)+

第 10期 王健安等:具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 态均可不相同 .因此, 本文所研究的模型更具有一 般性 .基于 LaSalle不变原理, 运用自适应控制技术 设计控制器使得两个网络达到同步, 同时得到一些 简单情形下的同步控制器.进一步研究了具有未知 拓扑结构的两个复杂网络的同步问题.最后用两个 例子验证了本文方法的有效性. 1 网络模型和预备条件 考虑由 N1 个相同节点组成的复杂网络, 其模型 如下 : x · i(t) =f( xi( t) ) +∑ N1 j=1 cijΓ1 xj( t-τ1 ( t) ), i=1, 2, …, N1 ( 1) 式中, xi=( xi1, xi2, …, xin) ∈ R n为第 i个节点的状 态变量, f:R n※R n为光滑向量函数, 单个节点的动 态方程为 x · =f( x) ;τ1 ( t)为时变耦合时滞 ;Γ1 ∈ R n×n为已知的常数正定对角矩阵, 表示网络的内部 耦合 ;C=( cij)∈ R N1 ×N1为网络拓扑结构和节点之间 的耦合强度.C满足如下条件:如果节点 i和 j( i≠ j)之间有连接, 则 cij>0, 否则 cij=0 ( i≠j);且对角 元素 cii =- ∑ N j=1, j≠i cij, i=1, 2, …, N1 .基于驱动--响 应的概念, 本文将网络 ( 1)视为驱动网络, 下面给出 对应的响应网络模型. 考虑另一个由 N2 个节点构成的响应复杂网络: y · i( t) =g( yi( t) ) +∑ N2 j=1 dijΓ2yj( t-τ2 ( t) ) +ui, i=1, 2, …, N2 ( 2) 式中, yi、N、g(· )和 Γ2 的意义如同网络 ( 1)中的相 应变量, D=( dij) ∈ R N2 ×N2的定义如同网络 ( 1)中的 C, ui是所需要设计的控制器.不失一般性, 假设 N2 0, 有 2x Ty≤ ηx Tx+ 1 η y Ty. 在本文中, 总是认为假设 1和假设 2是成立的. 2 同步控制器设计 为考虑问题方便, 首先假设 C和 D是已知的, 有如下定理 . 定理 1 如果网络 ( 1)和 ( 2)的拓扑结构已知, 运用下面的控制器可使这两个网络获得同步, ui=f( yi) -g( yi) +∑ N2 j=1 cijΓ1yj( t-τ1 ( t) ) - ∑ N1 j=1 dijΓ2 xj( t-τ2 ( t) ) + ∑ N1 j=N2 +1 cijΓ1xj( t-τ1 (t) ) -kiei ( 4) k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 5) 这里, ei(t) =yi( t) -xi(t), ri是任意的正常数, i= 1, 2, …, N2 . 证明 在控制器 ( 4)的作用下的误差动态为 e · i =f( yi) -f(xi) +∑ N2 j=1 [ cijΓ1 ej( t-τ1 ( t) ) + dijΓ2ej( t-τ2 ( t) )] -kiei ( 6) 选择如下的 Lyapunov--Krasovskii函数 : V= 1 2 ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2 ∑ N2 i=1 1 ri (ki -k) 2 + ∑ N2 i=1 1 2( 1 -ε1 ) ∫ t t-τ1 ( t) e T i( α)ei(α) dα+ 1 2( 1 -ε2 ) ∫ t t-τ2 ( t) e T i( β)ei( β) dβ ( 7) 将 V沿式 ( 6)求导, 运用假设 1和式 ( 5), 有 V · =∑ N2 i=1 e T ie · i +∑ N2 i=1 1 ri (ki-k) k · i+ 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei- 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) = ∑ N2 i=1 e T i(f(yi) -f(xi) -kiei) +∑ N2 i=1 (ki-k)‖ei‖ 2 + ∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T icijΓ1 ej( t-τ1 (t) ) + · 1373·

。1374 北京科技大学学报 第32卷 EdS(+2()+ 号，PS《+DDC表示C的第N个顺 N 1 序子式，则 2(1-e1)台 ge+, ge- 2(1-e2)台 (贷 含(1-y19+2c民+ 2(1-e1)台 E(←5(9)9仁(9)- 1-2(9方 会时w9计 21-e2)名白 (5(9)(t5(9≤ 1 1 含-1+2 21-e)白 台名 EsI,9(+1()+ 合-gI92+21-召 1>4s+ diL 2())- 1 1-(93 启区P账 21-e1)名 g(-(9)e((9)- 2(1-e2) 1 1-2月 2(1-e2)台1 (L5(9)9上5(9)+ [-k2e2n Y入m(P可N}e=EQe (8) 1 2(1-e1)台 Ee+21-a)4 式中，=(E及店Q--k+21-+ 宫Ln9I+宫-+ 2a+袋ADg(为矩阵 日%D9(-J)- P的最大特征值；为以N维的单位阵.因为总 1-(1∑(-(9)（七(9）- 是可以找到足够大的使得Q负定，所以≤0此 2(1-1)台 时，最大的不变集为M={(ey∈R心XRe 产名-119+ 0=0,这里，k=(车冬；k,)根据LaSe 不变原理，从任意初始状态出发都有误差系统收敛 1序 2(1-e1)台 g+,1 到最大不变集M也就意味着1m9(9=0=↓ 2(1-e2)台 2；N即网络(1)和(2)获得同步.证毕. 含(1s+宫cg计 定理1给出了具有一般形式的两个不同动态网 络的同步控制准则.如果已知网络的拓扑结，根据 会2若：D09+ 定理1容易有如下推论. 推论1如果网络(1)和(2)的节点数目相同， 2[ 1 用下面的控制器可使这两个网络实现同步： 合5(-(9)9(-(9)+ 别-鸟w+习9r-: 会s+[ 1 之如-1)-9 (9) k=lll2 (10) 召9(-(9)9-5(9以 推论2如果网络(1)和(2)具有相同的节点 动态，用下面的控制器可使这两个网络实现同步： 式中，=(5，￡；9)：9=(，5)： Y,为的第个对角元素：Y2为的第个对角 %(-宫 d4D2飞(9)+ 元素，K飞NK在日由假设2可知，六 9I(t1(9)-k9 (11) 号产并令-元 k=‖el2 (12)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 ∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T idijΓ2 ej( t-τ2 ( t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei - 1 -τ · 1 (t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei(t-τ1 (t) ) - 1 -τ · 2 (t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei(t-τ2 (t) ) ≤ ∑ N2 i=1 (L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T icijΓ1ej( t-τ1 ( t) ) + ∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T idijΓ2 ej( t-τ2 ( t) ) - 1 -τ · 1 (t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei(t-τ1 (t) ) - 1 -τ · 2 (t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei(t-τ2 (t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei = ∑ N2 i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ n j=1 e T jγ1jCN2ej( t-τ1 ( t) ) + ∑ n j=1 e T jγ2jDej( t-τ2 ( t) ) - 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ n j=1 e T j(t-τ1 (t) ) ej(t-τ1 (t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ n j=1 e T j(t-τ2 (t) ) ej(t-τ2 (t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei≤ ∑ N2 i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ n j=1 1 2 γ 2 1je T jCN2C T N2ej+ ∑ n j=1 1 2 γ 2 2je T jDD Tej+ 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2 - 1 -τ · ( t) 2( 1 -ε1 ) · ∑ n j=1 e T j(t-τ1 (t) ) ej(t-τ1 (t) ) + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2 - 1 -τ · ( t) 2( 1 -ε2 ) · ∑ n j=1 e T j( t-τ2 ( t) ) ej( t-τ2 ( t) ), 式中, ei=( ei1, ei2, …, ein) T;ej =( e1j, e2j, …, eN2j) T; γ1j为 Γ1 的第 j个对角元素;γ2j为 Γ2 的第 j个对角 元素, 1≤i≤N2, 1 ≤j≤n.由假设 2 可知, 1 2 ≤ 1 -τ · 1 (t) 2( 1 -ε1 ) , 1 2 ≤ 1 -τ · 2 (t) 2( 1 -ε2 ) , 并令 γj =max 1 2 γ 2 1j, 1 2 γ 2 2j , P=CN2 C T N2 +DD T , CN2表示 C的第 N2 个顺 序子式, 则 V · ≤ ∑ N2 i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ n j=1 1 2 γ 2 1je T jCN2C T N2ej+ ∑ n j=1 1 2 γ 2 2je T jDD Tej+ 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei≤ ∑ N2 i=1 (L-k)‖ ei‖ 2 + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei +γj∑ n j=1 e T jPej≤ e T L-k+ 1 2( 1 -ε1 ) + 1 2( 1 -ε2 ) + 1m ≤j a ≤xn ( γj)λmax( P) InN2 e=e TQe ( 8) 式中, e=(e T 1, e T 2, …, e T N2 ) T;Q= L-k+ 1 2( 1 -ε1 ) + 1 2( 1 -ε2 ) +1≤ m j≤ axN2 ( γj) λmax( P) InN2;λmax( P)为矩阵 P的最大特征值;InN2为 n×N2 维的单位阵 .因为总 是可以找到足够大的 k使得 Q负定, 所以 V · ≤0.此 时, 最大的不变集为 M={( e, k) ∈ R nN2 ×R N2:e= 0, k · =0}, 这里, k=( k1, k2, …, kN2 ) T.根据 LaSalle 不变原理, 从任意初始状态出发都有误差系统收敛 到最大不变集 M, 也就意味着 lt※imei( t) =0, i=1, 2, …, N2, 即网络 ( 1)和 ( 2)获得同步 .证毕. 定理 1给出了具有一般形式的两个不同动态网 络的同步控制准则.如果已知网络的拓扑结, 根据 定理 1, 容易有如下推论 . 推论 1 如果网络 ( 1)和 ( 2)的节点数目相同, 用下面的控制器可使这两个网络实现同步 : ui=f( yi) -g( yi) +∑ N j=1 cijΓ1yj( t-τ1 ( t) ) - ∑ N j=1 dijΓ2xj(t-τ2 (t) ) -kiei ( 9) k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 10) 推论 2 如果网络 ( 1 )和 ( 2)具有相同的节点 动态, 用下面的控制器可使这两个网络实现同步: ui =∑ N2 j=1 cijΓ1yj(t-τ1 (t) ) -∑ N1 j=1 dijΓ2xj(t-τ2 (t) ) + ∑ N1 j=N2 +1 cijΓ1xj( t-τ1 (t) ) -kiei ( 11) k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 12) · 1374·

第10期 王健安等：具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 。1375 推论3如果网络(1)和(2)的节点数目相同 N 4d- 且具有相同的节点动态、拓扑结构、内部耦合矩阵和 耦合时滞，用下面的简单控制器可使这两个网络实 现同步： 1-(1(七1()9(-(9)- 2(1-e1)台 4=-k9k=5‖e川2 (13) )(t2()(-(9)+ 注1推论3亦可运用于两个网络的拓扑结构 2(1-2) 和内部耦合未知的情况. 下面讨论驱动响应网络的节点数目相同但拓 扑结构未知的两个网络的同步问题.与推论1的不 宫(-9Ⅱs+宫空 gI9(T(9)+ 同在于C和D是未知的.与推论3的不同在于不 NN 需要假设C=D而直接运用自适应技术估计C和 白名 dS(七(9)- D进而设计控制器以获得同步. 1-(9时 定理2如果网络(1)和(2)具有相同的节点 21-e,名 (+x,()(上(9)- 数目但拓扑结构未知，运用下面的自适应控制器可 使这两个网络获得同步， 1-(9时 2(1-2)台 (:2()(-(9)十 4=)-9)+召 (1(9)- 21-E s2 ∑d奶Y()-9 (14) 余下的证明过程类似于定理1略. c=-h(-x1(9, 3数值仿真 d=h3(←x2(),k=5‖ell2(15) 例1假设驱动网络含有八个节点，其第个节 式中，9(=(9一（方拥来估计9拥来估 点动态是Lorenz混沌系统，即X=f(x)= 计5h和（长，i实y为任意的正常数. (X-,--XX-b战十)，当 证明在控制器(14)的作用下的误差动态方 =10=8/3=28时，Lon孫统具有混沌吸引 程为 N 子.响应网络含有5个节点，其第个节点动态是 9=f)-f)+会s-(9)+ Chm混沌系统即y=)=((￥一是，(S- 宫s(- 4)X十F-￥一b+),当4=35 )4I2X(-2(9)+ h=3S=28时，Chen系统具有混沌吸引子.假设 氵49-)-5 C和D是己知的，且 (16) -5 11 0 0 11 1 式中，=-d=-d 1 -4 1 0 0 1 1 0 选择如下的Lyapunov-K rasovskip函数： 0 一4 1 0 1 0 2s宫+ 0 0 0 -2 1 C 0 0 1 1 0 -4 0 0 容号宫{4+ 1 0 0 0 -5 0 0 0 0 0 -3 0 1 1 1 1 21-62) ,)) (17) 将船式(16)求导，并将式(15代入得 D -2 2召+日古k-9k+ -3 1 1 0 0 -2

第 10期 王健安等:具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 推论 3 如果网络 ( 1)和 ( 2)的节点数目相同 且具有相同的节点动态 、拓扑结构 、内部耦合矩阵和 耦合时滞, 用下面的简单控制器可使这两个网络实 现同步: ui=-kiei, k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 13) 注 1 推论 3亦可运用于两个网络的拓扑结构 和内部耦合未知的情况 . 下面讨论驱动 --响应网络的节点数目相同但拓 扑结构未知的两个网络的同步问题 .与推论 1的不 同在于 C和 D是未知的.与推论 3 的不同在于不 需要假设 C=D而直接运用自适应技术估计 C和 D, 进而设计控制器以获得同步. 定理 2 如果网络 ( 1)和 ( 2)具有相同的节点 数目但拓扑结构未知, 运用下面的自适应控制器可 使这两个网络获得同步, ui=f(yi) -g(yi) +∑ N j=1 c ijΓ1 yj(t-τ1 (t) ) - ∑ N j=1 d ijΓ2 xj( t-τ2 ( t) ) -kiei ( 14) c · ij=-hije T iΓ1yj( t-τ1 ( t) ), d · ij=lije T iΓ2 xj( t-τ2 ( t) ), k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 15) 式中, ei( t) =yi(t) -xi( t), c ij用来估计 cij, d ij用来估 计 dij, ri、hij和 lij( 1≤i, j≤N)为任意的正常数. 证明 在控制器 ( 14)的作用下的误差动态方 程为 e · i=f(yi) -f( xi) +∑ N j=1 cijΓ1 yj(t-τ1 (t) ) + ∑ N j=1 cijΓ1ej( t-τ1 ( t) ) -∑ N j=1 dijΓ2xj(t-τ2 (t) ) + ∑ N j=1 dijΓ2 ej( t-τ2 (t) ) -kiei ( 16) 式中, cij=c ij-cij, dij=d ij-dij. 选择如下的 Lyapunov--Krasovskii函数: V= 1 2 ∑ N i=1 e T iei+ 1 2 ∑ N i=1 1 ki ( ki-k) 2 + 1 2 ∑ N i=1 ∑ N j=1 1 hij c 2 ij+ 1 2 ∑ N i=1 ∑ N j=1 1 lij d 2 ij+ ∑ N2 i=1 1 2( 1 -ε1 ) ∫ t t-τ1 ( t) e T i(α) ei( α) dα+ 1 2( 1 -ε2 ) ∫ t t-τ2 ( t) e T i( β) ei( β)dβ ( 17) 将 V沿式 ( 16)求导, 并将式 ( 15)代入, 得 V · =∑ N i=1 e T ie · i+∑ N i=1 1 ki ( ki-k) k · i+ ∑ N i=1 ∑ N j=1 cijc · ij+∑ N i=1 ∑ N j=1 dijd · ij- 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T iei≤ ∑ N i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ N i=1 ∑ N j=1 e T icijΓ1 ej(t-τ1 ( t) ) + ∑ N i=1 ∑ N j=1 e T idijΓ2 ej(t-τ2 ( t) ) - 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T iei. 余下的证明过程类似于定理 1, 略 . 3 数值仿真 例 1 假设驱动网络含有八个节点, 其第 i个节 点动 态 是 Lorenz混 沌 系 统, 即 x · i =f( xi) = ( a(xi1 -xi2 ), cxi1 -xi2 -xi1 xi3, -bxi3 +xi1xi2 ) T , 当 a=10, b=8/3, c=28 时, Lorenz系统具有混沌吸引 子 .响应网络含有 5个节点, 其第 i个节点动态是 Chen混沌系统, 即 y · i=g( yi) =(a1 ( yi1 -yi2 ), ( c1 - a1 ) yi1 +c1 yi2 -yi1 yi3, -b1 yi3 +yi1 yi2 ) T , 当 a1 =35, b1 =3, c1 =28时, Chen系统具有混沌吸引子.假设 C和 D是已知的, 且 C= -5 1 1 0 0 1 1 1 1 -4 1 0 0 1 1 0 0 1 -4 1 0 1 0 1 0 0 0 -2 1 0 0 1 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 1 0 0 -5 0 0 0 1 0 1 0 1 -3 0 1 1 1 1 1 1 1 -7 , D= -1 0 0 0 1 1 -3 1 1 0 0 0 -2 1 1 1 0 1 -3 1 1 1 0 0 -2 . · 1375·

。1376 北京科技大学学报 第32卷 假设==！(9-2计(9=0.5根据 0)=2.5+0.3,j2.6+0.3,j27+0.3j 长实8长基5 定理1设计如同式(4)和(5)的控制器可使上述不 网络同步误差曲线如图1所示.可见，经过短暂时 同网络获得同步.选择=1初始条件 间后，两个不同网络间的同步得以实现.这里，S= x(0)=(0.1+0.3,i02+03,i03+0.3) X一X,9=Y一X9=景一X长玉5 k0)=4.0+0.3,j 2.5 (a) (b) 2.0H 1.5 1.0 2 e 05 6 8 10 图1驱动响应网络同步误差曲线.（误差：（误差爸(9误差5 Fg1 Synchronizatin erors of drive response ne work (a erore (b emor (9 erore 例2所考虑的驱动响应网络与例1的模型 (0)=(16+03,i1.7+0.3,i1.8+0.3) 相同，但假设驱动网络由五个节点构成， 9(0)=(0)=0.4 -21100 长，i实5 1-4111 网络同步误差曲线如图2所示，拓扑结构辨识曲线 0 1-21 0 如图3所示.可见，所设计的控制器使得两个网络 0 0 0 -11 实现了同步且未知的拓扑结构可辨识至真值. 1 111-4 e 4结论 响应网络的耦合时滞()=10十飞并且C和D 针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络，本文 未知.根据定理2设计合适的控制器和拓扑结构辨 提出一个新的网络同步模型.该模型更具有一般 识规则，可使两个不同的网络获得同步.选择= 性.基于LS环变原理，设计合适的控制器使得 5==1初始条件 两个不同网络实现同步.进一步研究了具有未知拓 x(0)=(0.1+0.3,i0.2+0.3,i03+03) 扑结构的两个复杂网络的同步问题.仿真结果验证 k(0)=4.0+0.3,i 了本文结论的正确性

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 假设 Γ1 =Γ2 =I3, τ1 ( t) = e t 2 +e t, τ2 ( t) =0.5.根据 定理 1, 设计如同式 ( 4)和 ( 5)的控制器可使上述不 同网络获得同步.选择 rj=1, 初始条件 xi( 0) =( 0.1 +0.3i, 0.2 +0.3i, 0.3 +0.3i) T , kj( 0) =4.0 +0.3j, yj( 0) =( 2.5 +0.3j, 2.6 +0.3j, 2.7 +0.3j) T , 1≤i≤8, 1≤j≤5. 网络同步误差曲线如图 1所示 .可见, 经过短暂时 间后, 两个不同网络间的同步得以实现.这里, ei1 = yi1 -xi1, ei2 =yi2 -xi2, ei3 =yi3 -xi3, 1≤i≤5. 图 1 驱动--响应网络同步误差曲线.( a)误差 ei1;( b)误差 ei2;( c)误差 ei3 Fig.1 Synchronizationerrorsofdrive-responsenetworks:(a) errorei1;( b) errorei2 ;( c) errorei3 例 2 所考虑的驱动--响应网络与例 1的模型 相同, 但假设驱动网络由五个节点构成, C= -2 1 1 0 0 1 -4 1 1 1 0 1 -2 1 0 0 0 0 -1 1 1 1 1 1 -4 , 响应网络的耦合时滞 τ2 ( t) = e t 10 +e t, 并且 C和 D 未知 .根据定理 2设计合适的控制器和拓扑结构辨 识规则, 可使两个不同的网络获得同步.选择 ri= 5, hij=lij=1, 初始条件 xi( 0) =( 0.1 +0.3i, 0.2 +0.3i, 0.3 +0.3i) T , ki( 0) =4.0 +0.3i, yi( 0) =( 1.6 +0.3i, 1.7 +0.3i, 1.8 +0.3i) T , c ij( 0) =d ij( 0) =0.4, 1≤i, j≤5. 网络同步误差曲线如图 2所示, 拓扑结构辨识曲线 如图 3所示 .可见, 所设计的控制器使得两个网络 实现了同步且未知的拓扑结构可辨识至真值. 4 结论 针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络, 本文 提出一个新的网络同步模型 .该模型更具有一般 性 .基于 LaSalle不变原理, 设计合适的控制器使得 两个不同网络实现同步.进一步研究了具有未知拓 扑结构的两个复杂网络的同步问题 .仿真结果验证 了本文结论的正确性 . · 1376·

第10期 王健安等：具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 。1377 10 15 20 t/s -2 公 15 20 s 图2拓扑结构未知驱动-响应网络同步误差曲线.（误差：（的误差：(9误差。 Fg 2 Synchionization emor stars of drive esponse neworks with unknovn pological strucures (a emor e(b error es (emor a 3 3 2 1 0 0- -1 -2 -2 3 -3 -4 % 12 16 20 12 1620 s 图3驱动响应网络的拓扑结构辨识曲线.(。2，S和辨识曲线：(，，和辨识曲线 Fg3 lentifcaton of mpokgcal stucures pr drive respanse newo dentifica ton of f.and Ss (b ientificaton ofdd da and ds 参考文献 NonlinearContl 2009 19(5):495 【】Gade PM Hu CK Synchronous chaos in coupkd map lttices 【W ag I,DaiH P Dong H et a]Adaptive synchoniz添tion of with mallworl intemactions PhysRevE 2000 62(5):6409 we ghted comp lex dyna ical ne works with coupling tine.varying [2 WangX E ChenG B Synchronization n mallworl dynamical delys PhysLett A 2008 372(20):3632 newoiks ht J Bifurcaton Chaos 202 12(1):187 17 LuoQ WuW.Li LX et al Adaptive synchronization research 【3到Lv JH YuX H ChenG R Chaos syncrmnization of general on the uncena in omp lexne wo呱s with tme delay Acta PhysS边 complex dynamical nemwoiks PhysA 2004 334(2):281 200857(3):1529 【4 Zhou J Lu JA I鱼JH Adptive synchoniation of an uncermn (罗群，吴薇，李丽香，等.节点含时滞的不确定复杂网络的 conplex dynan ical ne works IFEE Trans Aukm Contol 2006 自适应同步研究.物理学报，200857(3)：1529) 51(4:652 18 LiC G Chen GR Snchronization in general complex dynan ical [5]Wang I,DaiH P Kong X J et a]Synchronization of uncermain neworkswih coupling dehys PhysA 2004 343 263 conplex dynamical ne works via adaptive contol Int J Robust 19 GaoH J La J Chen GR New criteria for synchionization s

第 10期 王健安等:具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 图 2 拓扑结构未知驱动-响应网络同步误差曲线.( a)误差 ei1;( b)误差 ei2 ;( c)误差 ei3 Fig.2 Synchronizationerrorstatesofdrive-responsenetworkswithunknowntopologicalstructures:( a) errorei1 ;( b) errorei2;( c)errorei3 图 3 驱动--响应网络的拓扑结构辨识曲线.(a) c11 , c12 , c13 , c21和 c22辨识曲线;( b) d11 , d22 , d33 , d44和 d55辨识曲线 Fig.3 Identificationoftopologicalstructuresfordrive-responsenetworks:( a) identificationofc11 , c12 , c13 , c21 andc22;( b) identificationofd11 , d22 , d33 , d44 andd55 参 考 文 献 [ 1] GadePM, HuCK.Synchronouschaosincoupledmaplattices withsmall-worldinteractions.PhysRevE, 2000, 62 ( 5) :6409 [ 2] WangXF, ChenGR.Synchronizationinsmall-worlddynamical networks.IntJBifurcationChaos, 2002, 12( 1 ) :187 [ 3] LvJH, YuXH, ChenG.R.Chaossynchronizationofgeneral complexdynamicalnetworks.PhysA, 2004, 334( 2 ):281 [ 4] ZhouJ, LuJA, Lǜ JH.Adaptivesynchronizationofanuncertain complexdynamicalnetwork.IEEETransAutom Control, 2006, 51( 4 ):652 [ 5] WangL, DaiHP, KongXJ, etal.Synchronizationofuncertain complexdynamicalnetworksviaadaptivecontrol.IntJRobust NonlinearControl, 2009, 19( 5) :495 [ 6] WangL, DaiH P, DongH, etal.Adaptivesynchronizationof weightedcomplexdynamicalnetworkswithcouplingtime-varying delays.PhysLettA, 2008, 372 ( 20) :3632 [ 7] LuoQ, WuW, LiLX, etal.Adaptivesynchronizationresearch ontheuncertaincomplexnetworkswithtime-delay.ActaPhysSin, 2008, 57( 3) :1529 (罗群, 吴薇, 李丽香, 等.节点含时滞的不确定复杂网络的 自适应同步研究.物理学报, 2008, 57( 3 ) :1529 ) [ 8] LiCG, ChenGR.Synchronizationingeneralcomplexdynamical networkswithcouplingdelays.PhysA, 2004, 343:263 [ 9] GaoHJ, LamJ, ChenGR.Newcriteriaforsynchronizationsta- · 1377·

。1378 北京科技大学学报 第32卷 bility of geneml conplex dynam ical ne workswith coup ling delays tween wo compkex ne works with non dentical xpological struc. Phys LettA2006360(2:263 tur5PhsA2008387(22:5623 [10 Zhou J Lu JA Lv JH Pimng adaPtive synchionia tion of a 13]Zheng$BiQ$CaiG L Adaptive projective synconigzation neral comp ex dynam ical newor吨Auton at?2008444片 in compkex ne works with tme vary ing coupling de ky Phys lett 996 42008373(17):1553 [11]Lic Sin W.Kurhs J Synchonization beween mwo coupled I141 Chen JR Jio LC Wu J S et a]Adaptive synchronization be compkex newos PhysRevE 2007 76(4):046204-1 tween wodifferent complex neworkswith tmevary ing deay cau L12 TangHW Chen I,Lu JA et a]Adaptive synchonizton be Pling Chin PhysLet 2009.26(6):Artice No 060506 (上接第1270页) [16 Yu HQ ZhuM Y The inerfc ial behavprofmolen steel and TesL Hagane 1995 81(5):529 IAud skg n slab continuous castng mold with e lec uomagnetic 【l81XunH↓WenGH Tang P et a]Parmeter optm ization of bmake and argon gas njecti知Acta MemⅡSg20084(9片 blow ing argon n moH for slab caster J Ioon Steel Res 2008 20 1141 (3):13 (于海岐，朱苗勇.板坯结晶器电磁制动和吹氢过程的钢渣 (徐海伦，文光华，唐萍，等。板坯连铸结品器内吹氩参数优 界面行为.金属学报，200844(9)：1141) 化钢铁研究学报，200820(3)：13) [17 YasunakaH YamanakaR Inoue T et al Pihoke and nckL [19]AblelG Daen W.GendtG et al Arn bulbes in shbs sicn defects pmed at the subsurface in ulta bw cabon steel Snt199636(Sppy:219

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 bilityofgeneralcomplexdynamicalnetworkswithcouplingdelays. PhysLettA, 2006, 360( 2) :263 [ 10] ZhouJ, LuJA, LvJH.Pinningadaptivesynchronizationofa generalcomplexdynamicalnetwork.Automatica, 2008, 44( 4 ): 996 [ 11] LiC, SunW, KurthsJ.Synchronizationbetweentwocoupled complexnetworks.PhysRevE, 2007, 76 ( 4) :046204-1 [ 12] TangHW, ChenL, LuJA, etal.Adaptivesynchronizationbe￾tweentwocomplexnetworkswithnonidenticaltopologicalstruc￾tures.PhysA, 2008, 387( 22 ) :5623 [ 13] ZhengS, BiQS, CaiGL.Adaptiveprojectivesynchronization incomplexnetworkswithtime-varyingcouplingdelay.PhysLett A, 2008, 373( 17 ) :1553 [ 14] ChenJR, JiaoLC, WuJS, etal.Adaptivesynchronizationbe￾tweentwodifferentcomplexnetworkswithtime-varyingdelaycou￾pling.ChinPhysLett, 2009, 26( 6 ) :ArticleNo.060505 (上接第 1270页 ) [ 16] YuHQ, ZhuMY.Theinterfacialbehaviorofmoltensteeland liquidslaginslabcontinuouscastingmoldwithelectromagnetic brakeandargongasinjection.ActaMetallSin, 2008, 44 ( 9 ): 1141 (于海岐, 朱苗勇.板坯结晶器电磁制动和吹氩过程的钢 /渣 界面行为.金属学报, 2008, 44 ( 9) :1141) [ 17] YasunakaH, YamanakaR, InoueT, etal.Pinholeandinclu￾siondefectsformedatthesubsurfaceinultralowcarbonsteel. Tetsu-to-Hagane, 1995, 81 ( 5) :529 [ 18] XunHL, WenGH, TangP, etal.Parameteroptimizationof blowingargoninmoldforslabcaster.JIronSteelRes, 2008, 20 ( 3) :13 (徐海伦, 文光华, 唐萍, 等.板坯连铸结晶器内吹氩参数优 化.钢铁研究学报, 2008, 20( 3) :13) [ 19] AbbelG, DamenW, GendtG, etal.Argonbubblesinslabs. ISIJInt, 1996, 36 ( Suppl) :S219 · 1378·