具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步.pdf_大学文库

D0I:10.13374/j.issnl(00103x.2010.10.019 第32卷第10期北京科技大学学报 Vo132N910 2010年10月 JoumalofUniversity of Science and Technopgy Beijng 0ct2010 具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步王健安”刘贺平)石馨) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)沈阳航空职业技术学院航空电子工程系，沈阳11①34 摘要针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络，提出一个新的网络同步模型.该模型中的两个网络在节点数目、拓扑结构、内部耦合、耦合时滞及节点动态均可不相同.基于IS不变原理，设计自适应控制器使得两个网络获得同步.进一步研究了具有未知拓扑结构的两个复杂网络的自适应同步问题.数值结果表明了本文方法的有效性关键词复杂网络：自适应同步：拓扑结构：时变时滞分类号TP273 Adaptive synchronization between wo different comp lex networksw ith ti e var ying delay coupling WANG Janan)LU Hepng)SHIXn 1)School of Infma tin Engneering Universit of Scence and Technobgy Beijng Beijing 100083 Chna 2)Depa rment ofAvatin Ekctonic Engneering Shenyang Aviation Vocaticnal Technical College Shenyang 110034 Chna ABSTRACT A nework synchronization modelwas proposed for two different com plex networksw ih tie varying delay coupling The wo newoiks in themoelwere diferent n he nm ber of nodes topopgical stucue nner coup ling coupling delay and node dy namics Based on Lasalle s invariance princp an adap tive controler was des gned to ach eve synchronization between these two net works W hen he ppological structures of wo neworks were ully unknown the adaptive synchronization prob km was aso discussed Numerical results were presented p verify he effectiveness of the proposed method KEY WORDS comp lex networks adaptive synch r ization topobgical strucure tie varyng delay 由于自然界和人类社会中的大量复杂系统可通首次研究了具有相同拓扑结构的两个网络的外同步过不同的网络模型加以描述.因此复杂网络己成为行为：文献[12]进一步研究了两个不同拓扑结构的不同科学领域（物理、生物、控制、通信、社会和经复杂网络间的同步，但没有考虑时滞因素的影响：文济)中学者们研究的热点问题.在有关复杂网络的献[13]讨论了含有时变耦合时滞的两个不同网络研究中，网络同步是非常有意义的.文献[4利的同步问题，但要求两个网络的节点动态和耦合时用自适应技术设计一个简单的控制器实现了一类不滞相同.在文献[14]中，作者提了一个新的网络外确定复杂网络的同步；该控制器结构简单，具有较好同步模型，文献[11-12]所研究模型都是其特殊情的实用效果，引起了研究者们的广泛关注5.由于况，但文中要求所研究的两个网络的时变耦合时滞时滞在现实世界中是不可避免且广泛存在的，因此是相同的，这是非常保守的，因为许多情况下两个不研究具有耦合时滞的复杂网络同步尤为必要【. 同网络的耦合时滞并不相同. 上述所研究的同步行为属于单个网络间的“自针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络，本文同步”或“内同步.然而，对于两个网络间的同提出一个新的网络同步模型.该模型中两个网络在步行为，即“外同步”却很少有文献涉及.文献[11] 节点数目、拓扑结构、内部耦合、耦合时滞及节点动收稿日期：2009-10-23 基金项目：北京市教委重点学科共建项目(N0K100080537 作者简介：王健安(1984)，男.博士研究生：刘贺平(1951一).男，教授，博士生导师，Ema1hP@5uscm

第 32卷第 10期 2010年 10月北京科技大学学报 JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijing Vol.32 No.10 Oct.2010 具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步王健安 1 ) 刘贺平 1) 石馨 2 ) 1 )北京科技大学信息工程学院, 北京 100083 2)沈阳航空职业技术学院航空电子工程系, 沈阳 110034 摘要针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络, 提出一个新的网络同步模型.该模型中的两个网络在节点数目、拓扑结构、内部耦合、耦合时滞及节点动态均可不相同.基于 LaSalle不变原理, 设计自适应控制器使得两个网络获得同步.进一步研究了具有未知拓扑结构的两个复杂网络的自适应同步问题.数值结果表明了本文方法的有效性. 关键词复杂网络;自适应同步;拓扑结构;时变时滞分类号 TP273 Adaptivesynchronizationbetweentwodifferentcomplexnetworkswithtime-varyingdelaycoupling WANGJian-an1) , LIUHe-ping1) , SHIXin2) 1 ) SchoolofInformationEngineering, UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Beijing100083, China 2 ) DepartmentofAviationElectronicEngineering, ShenyangAviationVocationalTechnicalCollege, Shenyang110034, China ABSTRACT Anetworksynchronizationmodelwasproposedfortwodifferentcomplexnetworkswithtime-varyingdelaycoupling.The twonetworksinthemodelweredifferentinthenumberofnodes, topologicalstructure, innercoupling, couplingdelay, andnodedynamics.BasedonLasalle' sinvarianceprinciple, anadaptivecontrollerwasdesignedtoachievesynchronizationbetweenthesetwonetworks.Whenthetopologicalstructuresoftwonetworkswerefullyunknown, theadaptivesynchronizationproblemwasalsodiscussed. Numericalresultswerepresentedtoverifytheeffectivenessoftheproposedmethod. KEYWORDS complexnetworks;adaptivesynchronization;topologicalstructure;time-varyingdelay 收稿日期:2009-10-23 基金项目:北京市教委重点学科共建项目 (No.XK100080537) 作者简介:王健安 ( 1984— ), 男, 博士研究生;刘贺平 ( 1951— ), 男, 教授, 博士生导师, E-mail:lhpjx@ies.ustb.edu.cn 由于自然界和人类社会中的大量复杂系统可通过不同的网络模型加以描述, 因此复杂网络已成为不同科学领域 (物理、生物、控制、通信、社会和经济 )中学者们研究的热点问题.在有关复杂网络的研究中, 网络同步是非常有意义的 [ 1--3] .文献 [ 4] 利用自适应技术设计一个简单的控制器实现了一类不确定复杂网络的同步;该控制器结构简单, 具有较好的实用效果, 引起了研究者们的广泛关注 [ 5--7] .由于时滞在现实世界中是不可避免且广泛存在的, 因此研究具有耦合时滞的复杂网络同步尤为必要 [ 8--9] . 上述所研究的同步行为属于单个网络间的 “自同步 ”或“内同步 ” [ 10] .然而, 对于两个网络间的同步行为, 即 “外同步 ”却很少有文献涉及.文献 [ 11] 首次研究了具有相同拓扑结构的两个网络的外同步行为;文献[ 12]进一步研究了两个不同拓扑结构的复杂网络间的同步, 但没有考虑时滞因素的影响;文献 [ 13]讨论了含有时变耦合时滞的两个不同网络的同步问题, 但要求两个网络的节点动态和耦合时滞相同 .在文献 [ 14]中, 作者提了一个新的网络外同步模型, 文献[ 11--12] 所研究模型都是其特殊情况, 但文中要求所研究的两个网络的时变耦合时滞是相同的, 这是非常保守的, 因为许多情况下两个不同网络的耦合时滞并不相同. 针对两个不同的时变时滞耦合复杂网络, 本文提出一个新的网络同步模型 .该模型中两个网络在节点数目、拓扑结构、内部耦合、耦合时滞及节点动 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2010.10.019

第10期王健安等：具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步。1373 态均可不相同.因此，本文所研究的模型更具有一假设2时滞(9和（的导数满足0≤ 般性.基于LSa环变原理，运用自适应控制技术 t1(≤e1<lGt2(≤e2<1 设计控制器使得两个网络达到同步，同时得到一些引理1对于任意的XER心0有2长简单情形下的同步控制器.进一步研究了具有未知 nxxt Iyy 拓扑结构的两个复杂网络的同步问题.最后用两个 1 例子验证了本文方法的有效性. 在本文中，总是认为假设1和假设2是成立的. 1网络模型和预备条件 2同步控制器设计考虑由N个相同节点组成的复杂网络，其模型为考虑问题方便首先假设C和D是己知的，如下：有如下定理. N 定理1如果网络(1)和（2)的拓扑结构已知， X(9=)+ SDM-(9), 运用下面的控制器可使这两个网络获得同步， =↓2；N (1) 9-t1()- 式中，X=(XX；X)∈R为第个节点的状 -(为-两为+月态变量，fR”,R”为光滑向量函数，单个节点的动 D2Yt-2(9)+ 态方程为x=9:1(9为时变耦合时滞；∈ R为已知的常数正定对角矩阵，表示网络的内部 SDx(+t1(9)-k9 (4) 耦合；C=(∈RxN为网络拓扑结构和节点之间 k=llll2 的耦合强度.C满足如下条件：如果节点和（共 (5) j之间有连接，则D0否则=0（共，且对角这里，e(9=(9一X(,是任意的正常数，= ↓2，y. 元素S=一入：5-12“N基于驱动响证明在控制器(4的作用下的误差动态为应的概念，本文将网络(1)视为驱动网络，下面给出 9=f)-f)+月Isr9-5(9)+ 对应的响应网络模型. 考虑另一个由】个节点构成的响应复杂网络： d4T29(+2()门-ke (6) 选择如下的Iyapunov-Krasovski函数： =列+ )d,t2()+马 15 =12；y (2) 式中，XN·)和2的意义如同网络(1)中的相之21- (a)(a)d+ 应变量D=(d)∈Rx的定义如同网络(1)中的 94是所需要设计的控制器.不失一般性，假设 2(1-2) I,)8)9 (7) y<N这意味着网络(1)和(2)的节点数目不相将沿式(6)求导，运用假设1和式(5，有同.而且，这两个网络的拓扑结构、内部耦合、耦合时滞和节点动态都不相同，即≠D≠τ（≠ +空-+ 飞（男·）≠(·人.与文献[11-14相比，本文所研究的模型更为一般. 2(1-e)台 Ee- 定义9如果1m(9-x(9)=0=↓2 :y,则称网络(1和网络(2获得同步. 2-(y()- 21-e1)台本文的主要目的是设计合适的控制器马使得驱动网络(1)和响应网络(2)同步.为研究问题方 )(七2()9(-(9)= 便，需如下假设条件和引理. 假设1对于任意的R"和ER,存在正 1-f-+(-+ 常数↓满足川fy-f9川≤uI刘 (3) 露 EsIS(+t1(9)+

第 10期王健安等:具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步态均可不相同 .因此, 本文所研究的模型更具有一般性 .基于 LaSalle不变原理, 运用自适应控制技术设计控制器使得两个网络达到同步, 同时得到一些简单情形下的同步控制器.进一步研究了具有未知拓扑结构的两个复杂网络的同步问题.最后用两个例子验证了本文方法的有效性. 1 网络模型和预备条件考虑由 N1 个相同节点组成的复杂网络, 其模型如下 : x · i(t) =f( xi( t) ) +∑ N1 j=1 cijΓ1 xj( t-τ1 ( t) ), i=1, 2, …, N1 ( 1) 式中, xi=( xi1, xi2, …, xin) ∈ R n为第 i个节点的状态变量, f:R n※R n为光滑向量函数, 单个节点的动态方程为 x · =f( x) ;τ1 ( t)为时变耦合时滞 ;Γ1 ∈ R n×n为已知的常数正定对角矩阵, 表示网络的内部耦合 ;C=( cij)∈ R N1 ×N1为网络拓扑结构和节点之间的耦合强度.C满足如下条件:如果节点 i和 j( i≠ j)之间有连接, 则 cij>0, 否则 cij=0 ( i≠j);且对角元素 cii =- ∑ N j=1, j≠i cij, i=1, 2, …, N1 .基于驱动--响应的概念, 本文将网络 ( 1)视为驱动网络, 下面给出对应的响应网络模型. 考虑另一个由 N2 个节点构成的响应复杂网络: y · i( t) =g( yi( t) ) +∑ N2 j=1 dijΓ2yj( t-τ2 ( t) ) +ui, i=1, 2, …, N2 ( 2) 式中, yi、N、g(· )和 Γ2 的意义如同网络 ( 1)中的相应变量, D=( dij) ∈ R N2 ×N2的定义如同网络 ( 1)中的 C, ui是所需要设计的控制器.不失一般性, 假设 N2 0, 有 2x Ty≤ ηx Tx+ 1 η y Ty. 在本文中, 总是认为假设 1和假设 2是成立的. 2 同步控制器设计为考虑问题方便, 首先假设 C和 D是已知的, 有如下定理 . 定理 1 如果网络 ( 1)和 ( 2)的拓扑结构已知, 运用下面的控制器可使这两个网络获得同步, ui=f( yi) -g( yi) +∑ N2 j=1 cijΓ1yj( t-τ1 ( t) ) - ∑ N1 j=1 dijΓ2 xj( t-τ2 ( t) ) + ∑ N1 j=N2 +1 cijΓ1xj( t-τ1 (t) ) -kiei ( 4) k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 5) 这里, ei(t) =yi( t) -xi(t), ri是任意的正常数, i= 1, 2, …, N2 . 证明在控制器 ( 4)的作用下的误差动态为 e · i =f( yi) -f(xi) +∑ N2 j=1 [ cijΓ1 ej( t-τ1 ( t) ) + dijΓ2ej( t-τ2 ( t) )] -kiei ( 6) 选择如下的 Lyapunov--Krasovskii函数 : V= 1 2 ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2 ∑ N2 i=1 1 ri (ki -k) 2 + ∑ N2 i=1 1 2( 1 -ε1 ) ∫ t t-τ1 ( t) e T i( α)ei(α) dα+ 1 2( 1 -ε2 ) ∫ t t-τ2 ( t) e T i( β)ei( β) dβ ( 7) 将 V沿式 ( 6)求导, 运用假设 1和式 ( 5), 有 V · =∑ N2 i=1 e T ie · i +∑ N2 i=1 1 ri (ki-k) k · i+ 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei- 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) = ∑ N2 i=1 e T i(f(yi) -f(xi) -kiei) +∑ N2 i=1 (ki-k)‖ei‖ 2 + ∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T icijΓ1 ej( t-τ1 (t) ) + · 1373·

北京科技大学学报第 32卷 ∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T idijΓ2 ej( t-τ2 ( t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei - 1 -τ · 1 (t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei(t-τ1 (t) ) - 1 -τ · 2 (t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei(t-τ2 (t) ) ≤ ∑ N2 i=1 (L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T icijΓ1ej( t-τ1 ( t) ) + ∑ N2 i=1 ∑ N2 j=1 e T idijΓ2 ej( t-τ2 ( t) ) - 1 -τ · 1 (t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei(t-τ1 (t) ) - 1 -τ · 2 (t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei(t-τ2 (t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei = ∑ N2 i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ n j=1 e T jγ1jCN2ej( t-τ1 ( t) ) + ∑ n j=1 e T jγ2jDej( t-τ2 ( t) ) - 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ n j=1 e T j(t-τ1 (t) ) ej(t-τ1 (t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ n j=1 e T j(t-τ2 (t) ) ej(t-τ2 (t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei≤ ∑ N2 i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ n j=1 1 2 γ 2 1je T jCN2C T N2ej+ ∑ n j=1 1 2 γ 2 2je T jDD Tej+ 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2 - 1 -τ · ( t) 2( 1 -ε1 ) · ∑ n j=1 e T j(t-τ1 (t) ) ej(t-τ1 (t) ) + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei+ 1 2 - 1 -τ · ( t) 2( 1 -ε2 ) · ∑ n j=1 e T j( t-τ2 ( t) ) ej( t-τ2 ( t) ), 式中, ei=( ei1, ei2, …, ein) T;ej =( e1j, e2j, …, eN2j) T; γ1j为 Γ1 的第 j个对角元素;γ2j为 Γ2 的第 j个对角元素, 1≤i≤N2, 1 ≤j≤n.由假设 2 可知, 1 2 ≤ 1 -τ · 1 (t) 2( 1 -ε1 ) , 1 2 ≤ 1 -τ · 2 (t) 2( 1 -ε2 ) , 并令 γj =max 1 2 γ 2 1j, 1 2 γ 2 2j , P=CN2 C T N2 +DD T , CN2表示 C的第 N2 个顺序子式, 则 V · ≤ ∑ N2 i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ n j=1 1 2 γ 2 1je T jCN2C T N2ej+ ∑ n j=1 1 2 γ 2 2je T jDD Tej+ 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei≤ ∑ N2 i=1 (L-k)‖ ei‖ 2 + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N2 i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N2 i=1 e T iei +γj∑ n j=1 e T jPej≤ e T L-k+ 1 2( 1 -ε1 ) + 1 2( 1 -ε2 ) + 1m ≤j a ≤xn ( γj)λmax( P) InN2 e=e TQe ( 8) 式中, e=(e T 1, e T 2, …, e T N2 ) T;Q= L-k+ 1 2( 1 -ε1 ) + 1 2( 1 -ε2 ) +1≤ m j≤ axN2 ( γj) λmax( P) InN2;λmax( P)为矩阵 P的最大特征值;InN2为 n×N2 维的单位阵 .因为总是可以找到足够大的 k使得 Q负定, 所以 V · ≤0.此时, 最大的不变集为 M={( e, k) ∈ R nN2 ×R N2:e= 0, k · =0}, 这里, k=( k1, k2, …, kN2 ) T.根据 LaSalle 不变原理, 从任意初始状态出发都有误差系统收敛到最大不变集 M, 也就意味着 lt※imei( t) =0, i=1, 2, …, N2, 即网络 ( 1)和 ( 2)获得同步 .证毕. 定理 1给出了具有一般形式的两个不同动态网络的同步控制准则.如果已知网络的拓扑结, 根据定理 1, 容易有如下推论 . 推论 1 如果网络 ( 1)和 ( 2)的节点数目相同, 用下面的控制器可使这两个网络实现同步 : ui=f( yi) -g( yi) +∑ N j=1 cijΓ1yj( t-τ1 ( t) ) - ∑ N j=1 dijΓ2xj(t-τ2 (t) ) -kiei ( 9) k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 10) 推论 2 如果网络 ( 1 )和 ( 2)具有相同的节点动态, 用下面的控制器可使这两个网络实现同步: ui =∑ N2 j=1 cijΓ1yj(t-τ1 (t) ) -∑ N1 j=1 dijΓ2xj(t-τ2 (t) ) + ∑ N1 j=N2 +1 cijΓ1xj( t-τ1 (t) ) -kiei ( 11) k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 12) · 1374·

第10期王健安等：具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步。1375 推论3如果网络(1)和(2)的节点数目相同 N 4d- 且具有相同的节点动态、拓扑结构、内部耦合矩阵和耦合时滞，用下面的简单控制器可使这两个网络实现同步： 1-(1(七1()9(-(9)- 2(1-e1)台 4=-k9k=5‖e川2 (13) )(t2()(-(9)+ 注1推论3亦可运用于两个网络的拓扑结构 2(1-2) 和内部耦合未知的情况. 下面讨论驱动响应网络的节点数目相同但拓扑结构未知的两个网络的同步问题.与推论1的不宫(-9Ⅱs+宫空 gI9(T(9)+ 同在于C和D是未知的.与推论3的不同在于不 NN 需要假设C=D而直接运用自适应技术估计C和白名 dS(七(9)- D进而设计控制器以获得同步. 1-(9时定理2如果网络(1)和(2)具有相同的节点 21-e,名 (+x,()(上(9)- 数目但拓扑结构未知，运用下面的自适应控制器可使这两个网络获得同步， 1-(9时 2(1-2)台 (:2()(-(9)十 4=)-9)+召 (1(9)- 21-E s2 ∑d奶Y()-9 (14) 余下的证明过程类似于定理1略. c=-h(-x1(9, 3数值仿真 d=h3(←x2(),k=5‖ell2(15) 例1假设驱动网络含有八个节点，其第个节式中，9(=(9一（方拥来估计9拥来估点动态是Lorenz混沌系统，即X=f(x)= 计5h和（长，i实y为任意的正常数. (X-,--XX-b战十)，当证明在控制器(14)的作用下的误差动态方 =10=8/3=28时，Lon孫统具有混沌吸引程为 N 子.响应网络含有5个节点，其第个节点动态是 9=f)-f)+会s-(9)+ Chm混沌系统即y=)=((￥一是，(S- 宫s(- 4)X十F-￥一b+),当4=35 )4I2X(-2(9)+ h=3S=28时，Chen系统具有混沌吸引子.假设氵49-)-5 C和D是己知的，且 (16) -5 11 0 0 11 1 式中，=-d=-d 1 -4 1 0 0 1 1 0 选择如下的Lyapunov-K rasovskip函数： 0 一4 1 0 1 0 2s宫+ 0 0 0 -2 1 C 0 0 1 1 0 -4 0 0 容号宫{4+ 1 0 0 0 -5 0 0 0 0 0 -3 0 1 1 1 1 21-62) ,)) (17) 将船式(16)求导，并将式(15代入得 D -2 2召+日古k-9k+ -3 1 1 0 0 -2

第 10期王健安等:具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步推论 3 如果网络 ( 1)和 ( 2)的节点数目相同且具有相同的节点动态、拓扑结构、内部耦合矩阵和耦合时滞, 用下面的简单控制器可使这两个网络实现同步: ui=-kiei, k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 13) 注 1 推论 3亦可运用于两个网络的拓扑结构和内部耦合未知的情况 . 下面讨论驱动 --响应网络的节点数目相同但拓扑结构未知的两个网络的同步问题 .与推论 1的不同在于 C和 D是未知的.与推论 3 的不同在于不需要假设 C=D而直接运用自适应技术估计 C和 D, 进而设计控制器以获得同步. 定理 2 如果网络 ( 1)和 ( 2)具有相同的节点数目但拓扑结构未知, 运用下面的自适应控制器可使这两个网络获得同步, ui=f(yi) -g(yi) +∑ N j=1 c ijΓ1 yj(t-τ1 (t) ) - ∑ N j=1 d ijΓ2 xj( t-τ2 ( t) ) -kiei ( 14) c · ij=-hije T iΓ1yj( t-τ1 ( t) ), d · ij=lije T iΓ2 xj( t-τ2 ( t) ), k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 15) 式中, ei( t) =yi(t) -xi( t), c ij用来估计 cij, d ij用来估计 dij, ri、hij和 lij( 1≤i, j≤N)为任意的正常数. 证明在控制器 ( 14)的作用下的误差动态方程为 e · i=f(yi) -f( xi) +∑ N j=1 cijΓ1 yj(t-τ1 (t) ) + ∑ N j=1 cijΓ1ej( t-τ1 ( t) ) -∑ N j=1 dijΓ2xj(t-τ2 (t) ) + ∑ N j=1 dijΓ2 ej( t-τ2 (t) ) -kiei ( 16) 式中, cij=c ij-cij, dij=d ij-dij. 选择如下的 Lyapunov--Krasovskii函数: V= 1 2 ∑ N i=1 e T iei+ 1 2 ∑ N i=1 1 ki ( ki-k) 2 + 1 2 ∑ N i=1 ∑ N j=1 1 hij c 2 ij+ 1 2 ∑ N i=1 ∑ N j=1 1 lij d 2 ij+ ∑ N2 i=1 1 2( 1 -ε1 ) ∫ t t-τ1 ( t) e T i(α) ei( α) dα+ 1 2( 1 -ε2 ) ∫ t t-τ2 ( t) e T i( β) ei( β)dβ ( 17) 将 V沿式 ( 16)求导, 并将式 ( 15)代入, 得 V · =∑ N i=1 e T ie · i+∑ N i=1 1 ki ( ki-k) k · i+ ∑ N i=1 ∑ N j=1 cijc · ij+∑ N i=1 ∑ N j=1 dijd · ij- 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T iei≤ ∑ N i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ N i=1 ∑ N j=1 e T icijΓ1 ej(t-τ1 ( t) ) + ∑ N i=1 ∑ N j=1 e T idijΓ2 ej(t-τ2 ( t) ) - 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T iei. 余下的证明过程类似于定理 1, 略 . 3 数值仿真例 1 假设驱动网络含有八个节点, 其第 i个节点动态是 Lorenz混沌系统, 即 x · i =f( xi) = ( a(xi1 -xi2 ), cxi1 -xi2 -xi1 xi3, -bxi3 +xi1xi2 ) T , 当 a=10, b=8/3, c=28 时, Lorenz系统具有混沌吸引子 .响应网络含有 5个节点, 其第 i个节点动态是 Chen混沌系统, 即 y · i=g( yi) =(a1 ( yi1 -yi2 ), ( c1 - a1 ) yi1 +c1 yi2 -yi1 yi3, -b1 yi3 +yi1 yi2 ) T , 当 a1 =35, b1 =3, c1 =28时, Chen系统具有混沌吸引子.假设 C和 D是已知的, 且 C= -5 1 1 0 0 1 1 1 1 -4 1 0 0 1 1 0 0 1 -4 1 0 1 0 1 0 0 0 -2 1 0 0 1 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 1 0 0 -5 0 0 0 1 0 1 0 1 -3 0 1 1 1 1 1 1 1 -7 , D= -1 0 0 0 1 1 -3 1 1 0 0 0 -2 1 1 1 0 1 -3 1 1 1 0 0 -2 . · 1375·