李静等：介孔二氧化硅球形孔内近场辐射换热 ·1065· (倏逝波)两个部分函”.它可用以添加了脉动电流 数也需考虑非局部效应，即介电函数不仅是角频率的 密度为源项的麦克斯韦方程组来描述解释。通过涨落 函数，同时也是空间位置的函数.由于介孔在2m以 耗散理论和并矢格林函数来计算坡印亭矢量，得到球 上，故而本文考虑孔径大于1m的情况，不需考虑量 形孔内的近场辐射换热. 子效应，物质的相对介电常数￡，只是跟角频率ω相关 根据电磁波理论，在各向同性、非磁性的电介质 的函数e1(),可以根据光学常数手册中的数据计算 中，热辐射传递满足的麦克斯韦方程组可表述为 得到网 、aH V×E=-a 介质内部的涨落电流可以用涨落耗散理论 (1) (fluctuation-dissipation theorem,FDT)进行描述.它与 aE V×H=8o8+j 物质的温度T和介电常数e相关.假设ε为标量（各 向同性)，可得的涨落电流密度的空间关联函数网为 式中，6，为相对介电常数，8为真空介电常数，4为真 空磁导率，j为波动电流密度.再根据定解条件的确 f(p,w)j°p,w〉= 立，便可得到脉动电磁场E和H,进而可以求得频域 i (a(p). 单色坡印亭矢量，即球形孔内单色辐射热流： (7) Sn(w)〉=ReE。(o)xH。(o)〉. (2) 式中，j(p,o)为在p点处产生的涨落电流密度其频率 其中，*表示复数共轭，ω为电磁波的角频率. 为0的分量，6为狄拉克函数.O表示系综平均. 以脉动电流密度作为源项，通过麦克斯韦方程组 根据式(2)~式(7)，得到球形孔内辐射热流量， 可以得到 单位为W: T×V×E-kE=iauj. (3) 其中，K1为基材二氧化硅内的波矢，K=ω/c1=√E, s={oono k。,K。=ω/c,c为介质二氧化硅内的光速，c为真空中 iwlm(s） 的光速 G(pp',w)× 2(e,7p-1) 运用并矢格林函数G(p,p',w),由此产生的电场 和磁场分别为 c2(ea7-1）J dp'dθ'dp'dw. (8) E,pao）=∬G(p-pwj,pwdp, 其近场辐射热流为g=S/A,单位为W·m2:A为近场 √2m 辐射作用面积.进而得到近场辐射换热的当量导热系 V xG(p.p,ojn。po)dp: 数，单位为WmK: kA-A7 (9) (4) 式中，G(p,po)为点p处的脉动电流源j与点p处 其中△T=T,-T2 的电场强度E的空间转化函数，可通过非均匀球面亥 1.3介孔二氧化硅的有效导热系数 姆霍斯方程进行求解.它必须满足在真空/SO2界面 针对图2所示的孔隙几何模型，介孔二氧化硅的 (p=r）上的边界条件V×G(p,p',w)=iKG(p,p, 有效导热系数由二氧化硅导热系数（壳壁导热系数） w),可以表述为 k、受限空气的导热系数k,以及球形孔内近场辐射的 G(pp,o)=eie-1_ 当量导热系数k所组成 豆a.+Ip(m0A（pcp. Zeng模型o-0是假设气体为理想气体时在纳米 孔隙内的导热系数k,如下所示： (5) 其中反射系数为 7[w-6N, 8 -Cx j(Kr）+i☑巧n(Kor） L,=h(K)+izZh(ko） (6) k.97SNome m,A.+ (10) 其中，j。和h”分别为第一类和第三类球贝塞尔函数， 其中y=Cp/Cv,C为气体的定压比热，C,为气体的定 .=√层+.=√层+，A0✉ 容比热，N。=N/b,N。为空气的分子数密度，A,为 介孔二氧化硅壁面表面积，V为介孔材料的表观体 =jn(x)+iy.(x),Z=√1/e式(5)的右侧第一项为 积，m,为空气分子的质量，N为材料内的空气分子数， 界面上的入射场，第二项为散射场.当孔径小于1m d为空气分子的直径.由文献B2]可知，单个空气分 时，涨落耗散理论不再适用，需考虑量子效应.介电函 子的质量和直径分别为4.648×1026kg和李 静等: 介孔二氧化硅球形孔内近场辐射换热 ( 倏逝波) 两个部分［26 － 27］． 它可用以添加了脉动电流 密度为源项的麦克斯韦方程组来描述解释． 通过涨落 耗散理论和并矢格林函数来计算坡印亭矢量，得到球 形孔内的近场辐射换热． 根据电磁波理论，在各向同性、非磁性的电介质 中，热辐射传递满足的麦克斯韦方程组可表述为 Δ × E = － μ0 H t ， Δ × H = ε0ε1 E t { + j． ( 1) 式中，ε1为相对介电常数，ε0为真空介电常数，μ0为真 空磁导率，j 为波动电流密度． 再根据定解条件的确 立，便可得到脉动电磁场 E 和 H，进而可以求得频域 单色坡印亭矢量，即球形孔内单色辐射热流: 〈Sρ ( ω) 〉= Ｒe〈Eθ ( ω) × H* φ ( ω) 〉． ( 2) 其中，* 表示复数共轭，ω 为电磁波的角频率． 以脉动电流密度作为源项，通过麦克斯韦方程组 可以得到 Δ × Δ × E － κ2 1E = iωμ0 j． ( 3) 其中，κ1 为基材二氧化硅内的波矢，κ1 = ω/ c1 = 槡ε1 κ0，κ0 = ω/ c，c1为介质二氧化硅内的光速，c 为真空中 的光速． 运用并矢格林函数 G( ρ，ρ'，ω) ，由此产生的电场 和磁场分别为 Eθ ( ρ，ω) = ω2 μ0 槡2π ρ' G( ρ，ρ'，ω) jθ ( ρ'，ω) d3 ρ'， Hφ( ρ，ω) = 1 槡2π ρ' Δ × G( ρ，ρ'，ω) jρ，θ ( ρ'，ω) d3 ρ      '． ( 4) 式中，G( ρ，ρ'，ω) 为点 ρ'处的脉动电流源 j 与点 ρ 处 的电场强度 E 的空间转化函数，可通过非均匀球面亥 姆霍斯方程进行求解． 它必须满足在真空/ SiO2 界面 ( ρ = r) 上的边界条件 Δ × G( ρ，ρ'，ω) = iκ0G( ρ，ρ'， ω) ，可以表述为 G( ρ，ρ'，ω) = eiκ0 |ρ － ρ'| － ∑ ∞ n =0 ΠS ( n) ( 2n + 1) i n + 1Pn ( cos θ) h( 1) n ( κ0 ρ) h( 1) n ( κ0 ρ') ． ( 5) 其中反射系数为 Πn = j'n ( κ0 r) + iZjn ( κ0 r) h'n ( 1) ( κ0 r) + iZh( 1) n ( κ0 r) ． ( 6) 其中，jn 和 h( 1) n 分别为第一类和第三类球贝塞尔函数， jn ( x) = π 槡2x Jn + 1 2 ( x) ，yn ( x) = π 槡2x Yn + 1 2 ( x) ，h( 1) n ( x) = jn ( x) + iyn ( x) ，Z = 1 槡 /ε1 ． 式( 5) 的右侧第一项为 界面上的入射场，第二项为散射场． 当孔径小于 1 nm 时，涨落耗散理论不再适用，需考虑量子效应． 介电函 数也需考虑非局部效应，即介电函数不仅是角频率的 函数，同时也是空间位置的函数． 由于介孔在 2 nm 以 上，故而本文考虑孔径大于 1 nm 的情况，不需考虑量 子效应，物质的相对介电常数 ε1只是跟角频率 ω 相关 的函数 ε1 ( ω) ，可以根据光学常数手册中的数据计算 得到［28］． 介质内部的涨落电流可以用涨落耗散理论 ( fluctuation-dissipation theorem，FDT) 进行描述． 它与 物质的温度 T 和介电常数 ε 相关． 假设 ε 为标量( 各 向同性) ，可得的涨落电流密度的空间关联函数［29］为 〈j( ρ，ω) j * ( ρ'，ω') 〉= 1 槡2πc 2 h － ω ( e h － ω/kBT － 1) Im ( ε1 ( ω) ) δ( ρ － ρ') δ( ω － ω') ． ( 7) 式中，j( ρ，ω) 为在 ρ 点处产生的涨落电流密度其频率 为 ω 的分量，δ 为狄拉克函数． 〈〉表示系综平均． 根据式( 2) ～ 式( 7) ，得到球形孔内辐射热流量， 单位为 W: S = ∫ ∞ 0 iκ0ω2 μ0 ( 2π) 3 2 ∫ π 0 ∫ π 0 ∫ r +t { r G( ρ，ρ'，ω)· G* ( ρ，ρ'，ω) [ × h － ωIm ( ε1 ) c 2 ( e h － ω/kBT( ρ'，θ') － 1) － h － ωIm ( ε1 ) c 2 ( e h － ω/kBT2 － 1 ] } ) dρ'dθ'dφ'dω． ( 8) 其近场辐射热流为 q = S / A，单位为 W·m － 2 ; A 为近场 辐射作用面积． 进而得到近场辐射换热的当量导热系 数，单位为 W·m － 1·K － 1 : kr = S A·ΔT d． ( 9) 其中 ΔT = T1 － T2 ． 1. 3 介孔二氧化硅的有效导热系数 针对图 2 所示的孔隙几何模型，介孔二氧化硅的 有效导热系数由二氧化硅导热系数( 壳壁导热系数) kS、受限空气的导热系数 kg以及球形孔内近场辐射的 当量导热系数 kr所组成． Zeng 模型［30 － 31］是假设气体为理想气体时在纳米 孔隙内的导热系数 kg，如下所示: kg = 9γ － 5 8 Ng0mg 8kB T 槡πmg [ 4 V － 1 6 πNgd3 g ] As + 2槡πNgd2 g CV ． ( 10) 其中 γ = CP /CV，CP为气体的定压比热，CV为气体的定 容比热，Ng0 = Ng / V，Ng0为空气的分子数密度，As为 介孔二氧化硅壁面表面积，V 为介孔材料的表观体 积，mg为空气分子的质量，Ng为材料内的空气分子数， dg为空气分子的直径． 由文献［32］可知，单个空气分 子 的 质 量 和 直 径 分 别 为 4. 648 × 10 － 26 kg 和 · 5601 ·