第24卷第2期 重庆交通学院学报 2005年4月 Vol.24 No.2 JOURNAL OF CHONGOING JIAOTONG UNIVERSITY Apr.,2005 复变边界元法在解析函数齐次Riemann 边值问题求解中的应用 冯春 (重庆交通学院数学与应用数学研究所，重庆400074) 摘要：利用复变边界元方法，对解析函数齐次an边值问题进行了求解.得到了其标准解的近似解，并给出了相 应误差估计 关键词：复变边界元：解析函数：Rimn边值问题 中图分类号：017511文献标识码：A文章编号：1001716X(2005)02-015803 1问题的提出 在边界T上选取m个节点z,z2,m且折线 设D表示复平面上有界的N十1连通区域，其 下的每个顶点都取作节点，这些节点将「分成了m 边界T是由光滑的lordan闭曲线o,,,所 段T=9={zlz=1-s)巧+，0≤ 围成，，，…，在6的内部，以Do表示以 s≤1，称为一个2一节点边界元，作线性插值基 为边界的无界区域D表示以为边界的有界区域 函数N(1)使其满足N(zk)=,并在每个节点z (I=1,2,,N),记D=D0十D1十…+Dw不 处给定节点值)=1,2，，m),然后作线性插值 妨设z=0∈D,那么，解析函数的齐次Riemann边 M(称G()为一次试探函 值问题（称为问题Ra)具有如下形式的标准解 函数G()= =1 X(z ) 数，关于G(t)我们有下面的定理： ea/1Iz）z∈D 定理11)G(t)在T上连续且一致连续：2) X(z)= 2 kem()2∈D (1) G(t)∈G(),这里=P(z,其中9(t)∈ C():3)对「上的任何连续函数P(t)∈Cu(T), 这里 如果节点值%=P(3),那么 we)=V2a-∫血G2d (2) 1z |G(t)-P(t)≤M(队，DP)8 (4) Ⅱ(z）=(z-z1)(z-z2)1(z-2N)w(3) 这里0=ma杂.|Fl 其中，关于及k,的意义请参见文献3引，实际应 证明1)是显然的：3)显然很容易从2)推出， 用中，由于G(t)的复杂性，式(2)的积分是很难计 在此只需证明2)就可以了.实际上，我们只需证明 算的，因此，我们需要一种近似计算积分式(2)的方 对每一个=1,2，m)有G1(t)∈C()就 法 可以了 下面我们将用复变边界元方法(Complex 因为当1∈写时，G)=西+二亚(1- Variable Boundary Element Method一CV BEM)来求标 2升1一写 2i),所以对1，t2∈，如果注意到P(t)∈C(, 准解X(z)的近似解X(z),因为总可以用折线来逼 近曲线，为简单计，以下不妨设D是有界的单连通 则有： 区域，z=0∈D,区域D的边界T是闭折线. G(t1)-G(t2) wt1一w lt1-t2≤ Z1一2i 2 复变边界元法的应用 M(, 1一互 |t1-t2≤M'(4,TP) 2.1建立试探函数 收稿日期：20040329 ?199作煮简介e滑n春I93&充四南充市☆刷教授丰要从事微分方程理论的死究ved. http://www.cnki.net第 24 卷 第 2 期 重 庆 交 通 学 院 学 报 2005 年 4 月 Vo1.24 No.2 JOURNAL OF CHONGQING JIAOTONG UNIVERSITY Apr., 2005 复变边界元法在解析函数齐次 Riemann 边值问题求解中的应用 冯 春 (重庆交通学院 数学与应用数学研究所, 重庆 400074) 摘要 :利用复变边界元方法, 对解析函数齐次 Riemann 边值问题进行了求解, 得到了其标准解的近似解, 并给出了相 应误差估计. 关 键 词:复变边界元;解析函数;Riemann 边值问题 中图分类号:O175.11 文献标识码:A 文章编号:1001-716X(2005)02-0158-03 1 问题的提出 设D +表示复平面上有界的 N +1 连通区域, 其 边界 Γ是由光滑的 Jordan 闭曲线 Γ0 , Γ1 , … , ΓN 所 围成, Γ1 , Γ2 , … , ΓN 在 Γ0 的内部 , 以 D0 表示以 Γ0 为边界的无界区域, Dj 表示以 Γj 为边界的有界区域 (j =1 , 2 , …, N), 记D -=D0 +D1 +…… +DN , 不 妨设z =0 ∈ D + ,那么, 解析函数的齐次 Riemann 边 值问题(称为问题 R0)具有如下形式的标准解 X(z): X(z)= e w(z) / II(z) z ∈ D + z -k e w(z) z ∈ D - (1) 这里 w(z)=1/2 πi ·∫Γ In(t -k II(t)G(t)) t -z dt (2) II(z)=(z -z 1) k 1(z -z 2) k 2 …(z -zN) k N (3) 其中, 关于 zj 及k , kj 的意义请参见文献[ 3] ,实际应 用中 ,由于 G(t)的复杂性 , 式(2)的积分是很难计 算的, 因此 ,我们需要一种近似计算积分式(2)的方 法. 下面 我 们 将 用 复 变 边 界 元 方 法 (Complex Variable Boundary Element Method —CVBEM)来求标 准解 X(z)的近似解 X (z),因为总可以用折线来逼 近曲线,为简单计,以下不妨设 D + 是有界的单连通 区域 ,z =0 ∈ D +,区域 D +的边界 Γ是闭折线 . 2 复变边界元法的应用 2.1 建立试探函数 在边界 Γ上选取m 个节点z 1 ,z 2 , …, zm ,且折线 Γ的每个顶点都取作节点, 这些节点将 Γ分成了m 段 Γj , Γ=∪ m j =1 Γj , Γj ={z |z =(1 -s)zj +szj+1 , 0 ≤ s ≤1}, 称 Γj 为一个2 -节点边界元 ,作线性插值基 函数 Nj(t)使其满足 Nj(z k)= δjk ,并在每个节点 zj 处给定节点值 w j(j =1 , 2 , …, m),然后作线性插值 函数 G1(t)= ∑ m j =1 Nj(t)w j , 称 G1(t)为一次试探函 数 ,关于 G1(t)我们有下面的定理 : 定理 1 1)G1(t)在 Γ上连续且一致连续;2) G1(t)∈ Gμ(Γ), 这里 w j = φ(zj), 其中 φ(t)∈ Cμ(Γ);3)对 Γ上的任何连续函数 φ(t)∈ Cμ(Γ), 如果节点值 w j = φ(zj),那么 |G1(t)-φ(t)|≤M1(μ, Γ, φ)δμ (4) 这里 δ=ma x 1 ≤j≤m |Γj |. 证明 1)是显然的;3)显然很容易从 2)推出, 在此只需证明 2)就可以了.实际上, 我们只需证明 对每一个 Γj(j =1 , 2 , … , m)有 G1(t)∈ Cμ(Γj)就 可以了 . 因为当 t ∈ Γj 时, G1(t)=w j + w j+1 -w j zj+1 -zj (t - zj),所以对 t1 , t 2 ∈ Γj ,如果注意到 φ(t)∈ Cμ(Γ), 则有: |G1(t1)-G2(t 2)|≤ w j+1 -w j zj+1 -zj |t 1 -t 2|≤ M′1(μ, Γ, φ) zj+1 -zj zj+1 -zj μ |t 1 -t 2|≤M′1(μ, Γ, φ) 收稿日期:2004-03-29 作者简介:冯 春(1963 -), 女, 四川南充市人, 副教授, 主要从事微分方程理论的研究