第2期 冯春：复变边界元法在解析函数齐次Riemann边值问题求解中的应用 159 1t1-2r 成立，从而有 由G(t)在T上的连续性和有界性知，G(t) e)-we)长J G(D-IGDL ldt ∈C(D,定理1证毕. It-z 2.2构造逼近函数 前面我们引入了试探函数，现在利用它来构造 单连通折线域上问题R。的标准解X(z)的近似解， 称下面的函数 M(G)d 2d( wi(z)=1/2iG(1)/(1-1)·dh (5) 工k,G)6≤M(4,k,G) 定理2证毕. 为H1-逼近函数，这是一个柯西型积分，当to∈ 从上面的证明可以看出，z越靠近边界，常数 时.i(o)=1/2πiG(1)/(1-to)·d山在主值 M将变得越大，但并不影响收敛性，当z∈「时，一 的意义下存在，它很容易积分出来.为此，不妨设和 般说来，1(z)=w(z)不成立. ∈，那么有以下2种情况发生： 令 ①to是一个节点，比方说to=z1: ea)z∈Dt X(z)= (11) ②to是的一个内点. 、zee)z∈D 若①发生，那么 并将X(z)作为标准解X(z)的近似解那么由 wi1(z1)=/2πi·[w2-mm十w1ln|(z2一 定理2立即可得下面的定理， 2em-z)+月 3 误差估计 (6) 定理3 设-袋I月则对z∈Dz年 其中 C有mX1(z)=X(z,且有估计式 5=币升1一%防十[(z1一)/(z升1一z1)·wt1一 (z1-+1)/(zt1-z1)·mln(+1-z1)/(z-z1) |X1(z)-X(z)M46 (12) 这里M4与z,只，k,T和G(t)有关 (7) 称函数e(z)=w(z)一w(z)为用(z)逼近w(z) 若②发生，那么 的误差函数，它反映了w(z)对w(z)的近似程度： i(to)=1/2πi[w2-w1+[(t0-z1)/(z2 e(z)在边界「附近的行为，则反映了近似解的稳定 z1)·w2-(t0-z2)/(z2-z1)w]ln(z2-t0)/(z1 性，又因为(z)是构造X(z)的关键性函数，因而 -o+2月 (8) e(z)也是X(z)的各种指标的反映.关于e(z)的详 =2 细讨论，请参见文献，本文在此不再赘述这里， 其中，如式(7)，上述结果详见文献. 我们只给出结论：当增加节点时，误差函数e(z)在 有了以上的准备，就可以来求X(z)在D±内的 边界「附近的上界不会增大，也就是说通过增加 近似解了，对于D+是单连通的折线域，式(2)将变 节点的办法，有可能提高复变边界元方法(CVBEM) 为 的效率。 we)=V2m·J,4ch (9) t-z 参考文献： 在试探函数里，给定节点值%=ln[G(z】, I Brebbia C A.Orszag S A.The complex variable boundary el 那么有 ement method J.Lecture Nates in Ergineering 1984 (9): 定理2对ò=哭1写↓有 202-210. w1(z)-w(z)长M2(z,,k,DG)z∈ [1 Stein E M.奇异积分和函数的可微性M.北京：北京大 D产，z任T (10) 学出版社.1986. 证明 令4表示与z的最短距离，d= [3 闻国椿.共形映照与边值问题[M.北京：高等教育出 版社.1985. 4,并注意到G()∈C(,因而定理1 路见可.解析函数边值问题M训.上海：上海科技出版 社.1987. ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net|t 1 -t2 |μ 由 G1(t)在 Γ上的连续性和有界性知, G1(t) ∈ Cμ(Γ), 定理 1 证毕 . 2.2 构造逼近函数 前面我们引入了试探函数, 现在利用它来构造 单连通折线域上问题 R0 的标准解 X(z)的近似解 , 称下面的函数 w 1(z)=1/2πi ·∫Γ G1(t)/(t -1)· dt (5) 为H1-逼近函数, 这是一个柯西型积分 ,当 t 0 ∈ Γ时, w 1(t 0)=1/2 πi ·∫Γ G1(t)/(t -t 0)·dt 在主值 的意义下存在, 它很容易积分出来.为此 , 不妨设 t0 ∈ Γ1 , 那么有以下 2 种情况发生: ①t 0 是一个节点, 比方说 t0 =z 1 ; ②t 0 是 Γ1 的一个内点 . 若 ①发生 ,那么 w 1(z1)=1/2 πi · [ w 2 -w m +w 1ln |(z 2 - z 1)/(zm -z 1)|+ ∑ m-1 j =2 Ij] (6) 其中 Ij =w j+1 -w j +[ (z 1 -zj)/(zj+1 -z 1)·w j+1 - (z 1 -zj+1)/(zj+1 -z 1)·w j] ln(zj+1 -z 1)/(zj -z 1) (7) 若 ②发生 ,那么 w 1(t 0)=1/2πi ·[ w 2 -w 1 +[ (t0 -z 1)/(z 2 - z 1)·w 2 -(t0 -z 2)/(z 2 -z1)·w 1] ln|(z 2 -t 0)/(z1 -t 0)|+ ∑ m-1 j =2 Ij] (8) 其中 , Ij 如式(7),上述结果详见文献[ 1] . 有了以上的准备,就可以来求 X(z)在 D ±内的 近似解了 ,对于 D +是单连通的折线域 , 式(2)将变 为 w(z)=1/2 πi ·∫Γ ln[ t -k G(t)] t -z dt (9) 在试探函数里 ,给定节点值w j =ln[ z -k j G(zj)] , 那么有 定理 2 对 δ= max 1 ≤j ≤m|Γj |,有 |w 1(z)-w(z)|≤M2(z , μ, k , Γ, G)δ μ z ∈ D ±,z Γ (10) 证明 令 dj 表示 Γj 与 z 的最短距离, d = max 1 ≤j≤m dj ,并注意到 ln[ t -kG(t)] ∈ Cμ(Γ),因而定理1 成立,从而有 |w 1(z)-w(z)|≤ 1 2π∫Γ G1(t)-ln[ t -k G(t)] |t -z | |dt |≤ 1 2 π M1(μ, Γ, k , G)δ μ∑ m j =1∫Γj |dt | |t -z |≤1/2 π· M1(μ, Γ, k , G)δ μ∑ m j=1 |Γj |/dj ≤|Γ/2πd |M1(μ, Γ, k , G)δ μ ≤M3(μ, Γ, k , G)δ μ 定理2 证毕. 从上面的证明可以看出, z 越靠近边界, 常数 M2 将变得越大 ,但并不影响收敛性,当 z ∈ Γ时 ,一 般说来 , limδ※0 w 1(z)=w(z)不成立. 令 X (z)= e w 1(z) z ∈ D + z -k e w 1 (z) z ∈ D - (11) 并将 X (z)作为标准解 X(z)的近似解,那么由 定理2 立即可得下面的定理. 3 误差估计 定理3 设 δ= max 1 ≤j ≤m|Γj |,则对z ∈ D ±, z Γ,有limδ※0 X 1(z)=X(z),且有估计式 |X 1(z)-X(z)|≤M4δ μ (12) 这里 M4 与 z , μ, k , Γ和G(t)有关. 称函数 e(z)=w(z)-w (z)为用 w (z)逼近 w(z) 的误差函数 , 它反映了 w (z)对 w(z)的近似程度; e(z)在边界 Γ附近的行为 ,则反映了近似解的稳定 性 ,又因为 w (z)是构造 X (z)的关键性函数, 因而 e(z)也是X (z)的各种指标的反映.关于 e(z)的详 细讨论 ,请参见文献[ 1] , 本文在此不再赘述, 这里, 我们只给出结论:当增加节点时 ,误差函数 e(z)在 边界 Γ附近的上界不会增大 , 也就是说, 通过增加 节点的办法 , 有可能提高复变边界元方法(CVBEM) 的效率 . 参考文献: [ 1] Brebbia C A, Orszag S A.The complex variable boundary el￾ement method[ J] .Lecture Notes in Engineering , 1984, (9): 202-210. [ 2] Stein E M.奇异积分和函数的可微性[ M] .北京:北京大 学出版社, 1986. [ 3] 闻国椿.共形映照与边值问题[ M] .北京:高等教育出 版社, 1985 . [ 4] 路见可.解析函数边值问题[ M] .上海:上海科技出版 社, 1987 . 第 2 期 冯 春 :复变边界元法在解析函数齐次 Riemann 边值问题求解中的应用 159