第3期 赵建利等：一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 ·357· 4=0 被控对象 (plants) 图1基于Backstepping方法的串级主动补偿控制结构图 Fig.1 Structure chart of cascade control with active compensation based on the backstepping approach 同时，由上述具体实现过程可知，采用基于 g 1.3观测器设计 Backstepping方法的串级主动补偿控制策略，系统 考虑跟踪系统(14)，针对其第i个子系统 (1)跟踪系统状态方程为 2:=u:+7 (19) [21=u1+71’ 式中，i=1,2,…,n-1.类似误差微分，令n:的估计 22=山2+2， 值7满足 (14) 7:=（a1e2)(:-u-7) (20) 之。-1=山-1+刃-1 由于：未知，可知式(19)无法实现.根据文献 i=g(x)u+m, 03],定义w:为 并且在控制律 ,=（e2/a:)7:-2 (21) :=-ka-n:(i=1,2,,n-1), (15) 对w:求导，得式(20)的可实现形式为 u=（-kn之n-nn）/g(x) (16) 「t:=-u-(a/e2)(e:+z）, (22) 作用下，闭环系统为 li:=（a/e2)(w:+z) z1=-k, 式中，a:>0,8>0,且s满足E1;w:(0)=-:(0), 2=-k22 7:(0)=0;4:为由：构成的具有动态主动补偿 (17) 特性的反馈控制律(15)，即 2-1=-k-1-1 u=-k-7 (23) in=-knzn 同理，针对第n个子系统n=g(x)u+)n,类似 式中，z=(a,2,…,z)T为跟踪系统状态（或跟踪 误差微分，令)n的估计值7。满足 误差向量)；)=(n1,2,…,n。)T为跟踪系统不确定 (a/g)(i.-g(x)u'-). (24) 非线性.由假设1及上述推导过程可知，状态z满 定义0。为 足可测性条件. 0n=（e2/an）in-zn (25) 在闭环系统(17)中，由于各闭环子系统渐近稳 对0。求导，得式(24)的可实现形式为 定，可得闭环系统(17)渐近稳定，即 [w=-g(x)u'-(a/82)(w +z), (26) limz:=0(i=1,2,…,n) (18) 1+30 n=(a/s2)(w+2). 当1→0时，x1→0.根据假设2，可得此时f→0， 式中，。>0，wn(0)=-zn(0),7n(0)=0;u为由 山10.进一步，当20时，可得x20.依次类推， z。7。构成的具有动态主动补偿特性的反馈控制律 可得x3,x4,…,x。0,即系统(1)实现了渐近稳定控 (16),即 制.但是，由于f未知，导致跟踪系统(14)中n:不 u=（-kn2n-n)/g(x). (27) 可测，从而使得式(15)和(16)所示控制律无法实 由式(22)和(26)可以看出，当ε非常小时，观 现。为此，针对跟踪系统(14)，设计了一种新的观测 测器反馈增益a,/e2(i=1,2,…,n)非常大.这种观 器，利用可测量：对其第i个子系统中未知量：进 测器的优点为：(1)给闭环系统稳定性分析带来方 行实时估计.然后，利用估计值：，构建具有动态补 便；(2)使得其估计值跟踪上闭环系统不确定非线 偿特性的反馈控制律(15)和(16)，使得跟踪系统 性所需时间是O(ε）. (14)实现渐近稳定控制，即系统(1)实现渐近稳定 1.4闭环系统稳定性分析 控制. 在控制律(23)和(27)作用下，跟踪系统(14)第 3 期 赵建利等: 一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 图 1 基于 Backstepping 方法的串级主动补偿控制结构图 Fig． 1 Structure chart of cascade control with active compensation based on the backstepping approach 同 时，由上述具体实现过程可知，采 用 基 于 Backstepping 方法的串级主动补偿控制策略，系统 ( 1) 跟踪系统状态方程为 z · 1 = u1 + η1， z · 2 = u2 + η2，  z · n － 1 = un － 1 + ηn － 1， z · n = g( x) u + ηn          ， ( 14) 并且在控制律 ui = － kizi － ηi ( i = 1，2，…，n － 1) ， ( 15) u = ( － kn zn － ηn ) /g( x) ( 16) 作用下，闭环系统为 z · 1 = － k1 z1， z · 2 = － k2 z2，  z · n － 1 = － kn － 1 zn － 1， z · n = － kn zn          ． ( 17) 式中，z = ( z1，z2，…，zn ) T 为跟踪系统状态( 或跟踪 误差向量) ; η = ( η1，η2，…，ηn ) T 为跟踪系统不确定 非线性． 由假设 1 及上述推导过程可知，状态 z 满 足可测性条件． 在闭环系统( 17) 中，由于各闭环子系统渐近稳 定，可得闭环系统( 17) 渐近稳定，即 lim t→∞ zi = 0 ( i = 1，2，…，n) ． ( 18) 当 z1 →0 时，x1 →0． 根据假设 2，可得此时 f1 →0， u1→0． 进一步，当 z2→0 时，可得 x2→0． 依次类推， 可得 x3，x4，…，xn→0，即系统( 1) 实现了渐近稳定控 制． 但是，由于 fi 未知，导致跟踪系统( 14) 中 ηi 不 可测，从而使得式( 15) 和( 16) 所示控制律无法实 现． 为此，针对跟踪系统( 14) ，设计了一种新的观测 器，利用可测量 zi 对其第 i 个子系统中未知量 ηi 进 行实时估计． 然后，利用估计值 η^ i，构建具有动态补 偿特性的反馈控制律( 15) 和( 16) ，使得跟踪系统 ( 14) 实现渐近稳定控制，即系统( 1) 实现渐近稳定 控制． 1. 3 观测器设计 考虑跟踪系统( 14) ，针对其第 i 个子系统 z · i = ui + ηi ． ( 19) 式中，i = 1，2，…，n － 1． 类似误差微分，令 ηi 的估计 值 η^ i 满足 η^ · i = ( αi /ε2 ) ( z · i － u* i － η^ i ) ． ( 20) 由于 z · i 未 知，可 知 式 ( 19 ) 无 法 实 现． 根 据 文 献 ［13］，定义 wi 为 wi = ( ε2 /αi ) η^ i － zi ． ( 21) 对 wi 求导，得式( 20) 的可实现形式为 w · i = － u* i － ( αi /ε2 ) ( wi + zi ) ， η^ i = ( αi /ε2 ) ( wi + zi { ) ． ( 22) 式中，αi ＞ 0，ε ＞ 0，且 ε 满足 ε1; wi ( 0) = － zi ( 0) ， η^ i ( 0) = 0; u* i 为由 zi、η^ i 构成的具有动态主动补偿 特性的反馈控制律( 15) ，即 u* i = － kizi － η^ i ． ( 23) 同理，针对第 n 个子系统 z · n = g( x) u + ηn，类似 误差微分，令 ηn 的估计值 η^ n 满足 η^ · n = ( αn /ε2 ) ( z · n － g( x) u* － η^ n ) ． ( 24) 定义 wn 为 wn = ( ε2 /αn ) η^ n － zn ． ( 25) 对 wn 求导，得式( 24) 的可实现形式为 w · n = － g( x) u* － ( αn /ε2 ) ( wn + zn ) ， η^ n = ( αn /ε2 ) ( wn + zn { ) ． ( 26) 式中，αn ＞ 0，wn ( 0) = － zn ( 0) ，η^ n ( 0) = 0; u* 为由 zn、η^ n 构成的具有动态主动补偿特性的反馈控制律 ( 16) ，即 u* = ( － kn zn － η^ n ) /g( x) ． ( 27) 由式( 22) 和( 26) 可以看出，当 ε 非常小时，观 测器反馈增益 αi /ε2 ( i = 1，2，…，n) 非常大． 这种观 测器的优点为: ( 1) 给闭环系统稳定性分析带来方 便; ( 2) 使得其估计值跟踪上闭环系统不确定非线 性所需时间是 O( ε) ． 1. 4 闭环系统稳定性分析 在控制律( 23) 和( 27) 作用下，跟踪系统( 14) ·357·