一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制

D0I:10.13374.issn1001-053x.2012.03.018 第34卷第3期 北京科技大学学报 Vol.34 No.3 2012年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2012 一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 赵建利回王京魏伟 北京科技大学国家高效轧制工程研究中心，北京100083 ☒通信作者，E-mail:jianli791026@yahoo.com.cm 摘要针对一类具有下三角结构的单输入单输出不确定非线性系统，研究其稳定控制问题.提出一种结构简单、收敛速度 可控以及抗扰性能良好的基于Backstepping方法的串级主动补偿控制策略，实现了闭环系统的渐近稳定控制.为解决闭环系 统中不确定非线性未知问题，设计一种新的观测器，使得这种观测器能够实时跟踪闭环系统的不确定非线性.通过引入奇异 扰动性理论，给出了闭环系统稳定性分析.仿真实验结果验证了该控制方法的有效性. 关键词非线性系统：渐近稳定；观测器：奇异摄动系统：串级控制 分类号TP273 Cascade control with active compensation for a class of uncertain nonlinear system ZHAO Jian-i,WANG Jing,WEI Wei National Engineering Research Center of Advanced Rolling,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:jianli791026@yahoo.com.cn ABSTRACT Stability control for a class of single-input single-output(SISO)uncertain nonlinear system with lower triangular struc- ture was studied.Cascade control with active compensation based on the backstepping approach was proposed.The designed controller, with the characteristics of simple structure,controlled convergence rate and good robustness,achieves the asymptotic stability of a closed-oop system.To solve the uncertainty of the closed-loop system,a new observer was designed to track the uncertainty in time. The stability of the closed-loop system is proved by introducing the singular perturbation theory.Simulation results show the effective- ness of the control method. KEY WORDS nonlinear systems;asymptotic stability:observers:singularly perturbed systems:cascade control 不确定非线性系统的控制一直为人们所关注， 统的稳定控制问题，文献7]研究了电驱无人驾驶 特别是Kanellakopoulos等于1991年提出Backstep- 直升机的稳定控制问题.但是，这些方法要求系统 ping方法实现参数纯反馈(PPF)、参数严格反馈 不确定非线性满足某些己知性条件，当这些条件不 (PsF)系统的自适应控制后，Backstepping方法成 满足时，应用Backstepping方法便失去了效力.为了 为人们研究不确定非线性系统控制问题的重要 解决这一问题，并且使Backstepping方法能够应用 工具- 于更加广泛的不确定非线性仿射系统，与其他方法 目前，针对不确定非线性系统的控制问题，人们 相结合是常用的方法.为此，文献8]引入PI观测 利用Backstepping方法，已取得一系列研究成果.其 器，保证电液执行机构跟踪误差具有很好的逼近特 中，文献B9]研究了不确定非线性仿射系统的控 性；文献9]引入模糊逻辑，设计了模糊观测器，保 制问题，文献00-12]研究了不确定非线性非仿射 证了闭环系统的全局一致渐近稳定及有界性.在研 系统的控制问题.在研究不确定非线性仿射系统的 究不确定非线性非仿射系统的控制问题中，文 控制问题中，文献[6]研究了不确定非线性延迟系 献10-11]针对不确定非线性满足有界性的系统， 收稿日期：2011-02-04 基金项目：国家高技术研究发展计划资助项目(2009AA04Z163)

第 34 卷 第 3 期 2012 年 3 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 3 Mar． 2012 一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 赵建利 王 京 魏 伟 北京科技大学国家高效轧制工程研究中心，北京 100083 通信作者，E-mail: jianli791026@ yahoo． com． cn 摘 要 针对一类具有下三角结构的单输入单输出不确定非线性系统，研究其稳定控制问题． 提出一种结构简单、收敛速度 可控以及抗扰性能良好的基于 Backstepping 方法的串级主动补偿控制策略，实现了闭环系统的渐近稳定控制． 为解决闭环系 统中不确定非线性未知问题，设计一种新的观测器，使得这种观测器能够实时跟踪闭环系统的不确定非线性． 通过引入奇异 扰动性理论，给出了闭环系统稳定性分析． 仿真实验结果验证了该控制方法的有效性． 关键词 非线性系统; 渐近稳定; 观测器; 奇异摄动系统; 串级控制 分类号 TP273 Cascade control with active compensation for a class of uncertain nonlinear system ZHAO Jian-li ，WANG Jing，WEI Wei National Engineering Research Center of Advanced Rolling，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: jianli791026@ yahoo． com． cn ABSTRACT Stability control for a class of single-input single-output ( SISO) uncertain nonlinear system with lower triangular struc￾ture was studied． Cascade control with active compensation based on the backstepping approach was proposed． The designed controller， with the characteristics of simple structure，controlled convergence rate and good robustness，achieves the asymptotic stability of a closed-loop system． To solve the uncertainty of the closed-loop system，a new observer was designed to track the uncertainty in time． The stability of the closed-loop system is proved by introducing the singular perturbation theory． Simulation results show the effective￾ness of the control method． KEY WORDS nonlinear systems; asymptotic stability; observers; singularly perturbed systems; cascade control 收稿日期: 2011--02--04 基金项目: 国家高技术研究发展计划资助项目( 2009AA04Z163) 不确定非线性系统的控制一直为人们所关注， 特别是 Kanellakopoulos 等于 1991 年提出 Backstep￾ping 方法实现参数纯反馈( PPF) 、参 数 严 格 反 馈 ( PSF) 系统的自适应控制后，Backstepping 方法成 为人们研究不确定非线性系统控制问题的重要 工具［1--2］． 目前，针对不确定非线性系统的控制问题，人们 利用 Backstepping 方法，已取得一系列研究成果． 其 中，文献［3--9］研究了不确定非线性仿射系统的控 制问题，文献［10--12］研究了不确定非线性非仿射 系统的控制问题． 在研究不确定非线性仿射系统的 控制问题中，文献［6］研究了不确定非线性延迟系 统的稳定控制问题，文献［7］研究了电驱无人驾驶 直升机的稳定控制问题． 但是，这些方法要求系统 不确定非线性满足某些已知性条件，当这些条件不 满足时，应用 Backstepping 方法便失去了效力． 为了 解决这一问题，并且使 Backstepping 方法能够应用 于更加广泛的不确定非线性仿射系统，与其他方法 相结合是常用的方法． 为此，文献［8］引入 PI 观测 器，保证电液执行机构跟踪误差具有很好的逼近特 性; 文献［9］引入模糊逻辑，设计了模糊观测器，保 证了闭环系统的全局一致渐近稳定及有界性． 在研 究不确定非线性非仿射系统的控制问题中，文 献［10--11］针对不确定非线性满足有界性的系统， DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.03.018

·356 北京科技大学学报 第34卷 通过设计不光滑或光滑的自适应控制律，实现其闭 首先，考虑第1个子系统x1=x2+f(x1,0).为 环系统的稳定控制：文献2]针对更为广泛的不确 了分析方便，令其跟踪给定=0，跟踪动态为 定非线性非仿射系统，通过增加幂次积分方法，实现 x1-0=x2+f(x1,0)-io (2) 其闭环系统的稳定控制. 值得注意的是，上述这些基于Backstepping方 定义)1=-o和之1=x1-uo,并把x2看作是跟踪 法，其控制律设计复杂，需要经过大量的数学推导过 系统(2)的虚拟控制输入1，并令山1为 程，使得该方法的实用性大大降低。因此，对于不确 41=-k11-71 (3) 定非线性系统，设计一种结构简单、参数调节方便、 式中，k,>0.此时，跟踪系统(2)的闭环运动方程为 鲁棒性能良好且易于调节的控制器是十分必要的. 1=-k121, (4) 于是，本文针对一类具有下三角结构的不确定非线 实现渐近稳定控制 性系统，研究其稳定控制问题.首先，针对这类不确 其次，考虑第2个子系统x2=x3+2(x1,x2,), 定非线性系统，提出一种结构简单、收敛速度可控和 并把山1作为它的跟踪给定，则跟踪动态为 抗扰性能良好的基于Backstepping方法的串级 主动补偿控制策略，实现了闭环系统的渐近稳定控 x2-山1=x3+f(x1,x2,0)-1 (5) 制.其次，设计一种新的观测器，解决了系统不确定 定义2=2-立1和2=x2-山1，并把x看作跟踪系 非线性未知问题.最后，结合奇异扰动性理论，给出 统(5)的虚拟控制输入u2,并令山2为 闭环系统的稳定性分析.通过实例仿真，结果验证 山2=-k222-72 (6) 了该控制方法的有效性 式中，k2>0.此时，跟踪系统(5)的闭环运动方程为 1串级主动补偿控制策略的实现 22=-k222, (7) 实现渐近稳定控制.依次类推，考虑第i个子系统 1.1问题描述及研究内容 x:=x:+1+f(i=2,3,…,n-1),使其跟踪给定4：-1， 考虑如下具有下三角结构的单输入单输出不确 则跟踪动态为 定非线性系统 龙：-i:-1=x+1+f-u- (8) x1=x2+f(x1,0), 定义：=f-:-1和=x:-山-1，并把x+1看作是虚 x2=x3+f5(x1,x2,0, 拟控制输入u,并令u:为 (1) 山：=-k-门 (9) 元n-1=xn+fn-1(x1x2,…,xa-10）, 式中，k:>0.此时，跟踪系统(8)的闭环运动方程为 xn=fn(x1,x2,…,xn,0)）+g(x）山. 2:=-k, (10) 式中，x=(x1x2,…,x)T∈R”为系统状态；u∈R为 实现渐近稳定控制 系统控制输入：f(i=1,2,…,n)为由系统未建模动 最后，考虑第n个子系统x。=fn+g(x)u,使其 态和时变参数引起的不确定非线性：0∈OCR'为 跟踪给定山。-1，跟踪动态方程为 系统不确定参数，⊙为己知紧集；g(x)为己知光滑 xn-in-1=g(x）u+f-i。- (11) 函数，且对于x,g(x)≠0. 定义刀n=fn-in-1和zn=xn-un-1,并令u为 假设1系统状态x可测 u=（-k2n-nn）/g(x). (12) 假设2不确定非线性函数f满足：(1) 式中，k。>0.此时，跟踪系统(11)的闭环运动方 Lipschitzi连续且f(0,a)=0;（2)直到二阶偏导数 程为 有界. 2n=-kn2n’ (13) 研究系统(1)稳定控制问题，即通过设计控制 实现渐近稳定控制 输入“，使系统(1)在非零初始状态条件下，渐近收 由上述实现过程，参考文献]，可得系统(1) 敛至平衡点x=0. 基于Backstepping方法串级主动补偿控制策略的结 1.2控制算法设计 构图如图1所示，图中C1,C2,…,C。为上述各跟踪 考虑系统(1)，为了实现其渐近稳定控制，提出 子系统的控制器.同时，为了保证闭环系统具有良 了一种基于Backstepping方法的串级主动补偿控制 好的稳定性，可根据系统的响应要求调节k:(i=1, 策略，具体实现过程如下 2,…,n),使系统(1)状态x渐近收敛至零

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 通过设计不光滑或光滑的自适应控制律，实现其闭 环系统的稳定控制; 文献［12］针对更为广泛的不确 定非线性非仿射系统，通过增加幂次积分方法，实现 其闭环系统的稳定控制． 值得注意的是，上述这些基于 Backstepping 方 法，其控制律设计复杂，需要经过大量的数学推导过 程，使得该方法的实用性大大降低． 因此，对于不确 定非线性系统，设计一种结构简单、参数调节方便、 鲁棒性能良好且易于调节的控制器是十分必要的． 于是，本文针对一类具有下三角结构的不确定非线 性系统，研究其稳定控制问题． 首先，针对这类不确 定非线性系统，提出一种结构简单、收敛速度可控和 抗扰性能良好的基于 Backstepping 方法的串级［13］ 主动补偿控制策略，实现了闭环系统的渐近稳定控 制． 其次，设计一种新的观测器，解决了系统不确定 非线性未知问题． 最后，结合奇异扰动性理论，给出 闭环系统的稳定性分析． 通过实例仿真，结果验证 了该控制方法的有效性． 1 串级主动补偿控制策略的实现 1. 1 问题描述及研究内容 考虑如下具有下三角结构的单输入单输出不确 定非线性系统 x · 1 = x2 + f1 ( x1，θ) ， x · 2 = x3 + f2 ( x1，x2，θ) ，  x · n － 1 = xn + fn － 1 ( x1，x2，…，xn － 1，θ) ， x · n = fn ( x1，x2，…，xn，θ) + g( x)          u． ( 1) 式中，x = ( x1，x2，…，xn ) T ∈Rn 为系统状态; u∈R 为 系统控制输入; fi ( i = 1，2，…，n) 为由系统未建模动 态和时变参数引起的不确定非线性; θ∈ΘRl 为 系统不确定参数，Θ 为已知紧集; g( x) 为已知光滑 函数，且对于x，g( x) ≠0． 假设 1 系统状态 x 可测． 假设 2 不确定非线性函数 fi 满 足: ( 1 ) Lipschitz连续且 fi ( 0，θ) = 0; ( 2) 直到二阶偏导数 有界． 研究系统( 1) 稳定控制问题，即通过设计控制 输入 u，使系统( 1) 在非零初始状态条件下，渐近收 敛至平衡点 x = 0． 1. 2 控制算法设计 考虑系统( 1) ，为了实现其渐近稳定控制，提出 了一种基于 Backstepping 方法的串级主动补偿控制 策略，具体实现过程如下． 首先，考虑第 1 个子系统 x · 1 = x2 + f1 ( x1，θ) ． 为 了分析方便，令其跟踪给定 u0 = 0，跟踪动态为 x · 1 － u · 0 = x2 + f1 ( x1，θ) － u · 0 ． ( 2) 定义 η1 = f1 － u · 0 和 z1 = x1 － u0，并把 x2 看作是跟踪 系统( 2) 的虚拟控制输入 u1，并令 u1 为 u1 = － k1 z1 － η1 ． ( 3) 式中，k1 ＞ 0． 此时，跟踪系统( 2) 的闭环运动方程为 z · 1 = － k1 z1， ( 4) 实现渐近稳定控制． 其次，考虑第2 个子系统 x · 2 = x3 + f2 ( x1，x2，θ) ， 并把 u1 作为它的跟踪给定，则跟踪动态为 x · 2 － u · 1 = x3 + f2 ( x1，x2，θ) － u · 1 ． ( 5) 定义 η2 = f2 － u · 1 和 z2 = x2 － u1，并把 x3 看作跟踪系 统( 5) 的虚拟控制输入 u2，并令 u2 为 u2 = － k2 z2 － η2 ． ( 6) 式中，k2 ＞ 0． 此时，跟踪系统( 5) 的闭环运动方程为 z · 2 = － k2 z2， ( 7) 实现渐近稳定控制． 依次类推，考虑第 i 个子系统 x · i = xi + 1 + fi ( i = 2，3，…，n － 1) ，使其跟踪给定 ui － 1， 则跟踪动态为 x · i － u · i － 1 = xi + 1 + fi － u · i － 1 ． ( 8) 定义 ηi = fi － u · i － 1和 zi = xi － ui － 1，并把 xi + 1看作是虚 拟控制输入 ui，并令 ui 为 ui = － kizi － ηi ． ( 9) 式中，ki ＞ 0． 此时，跟踪系统( 8) 的闭环运动方程为 z · i = － kizi， ( 10) 实现渐近稳定控制． 最后，考虑第 n 个子系统 x · n = fn + g( x) u，使其 跟踪给定 un － 1，跟踪动态方程为 x · n － u · n － 1 = g( x) u + fn － u · n － 1 ． ( 11) 定义 ηn = fn － u · n － 1和 zn = xn － un － 1，并令 u 为 u = ( － kn zn － ηn ) /g( x) ． ( 12) 式中，kn ＞ 0． 此时，跟踪系统( 11) 的闭环运动方 程为 z · n = － kn zn， ( 13) 实现渐近稳定控制． 由上述实现过程，参考文献［1］，可得系统( 1) 基于 Backstepping 方法串级主动补偿控制策略的结 构图如图 1 所示，图中 C1，C2，…，Cn 为上述各跟踪 子系统的控制器． 同时，为了保证闭环系统具有良 好的稳定性，可根据系统的响应要求调节 ki ( i = 1， 2，…，n) ，使系统( 1) 状态 x 渐近收敛至零． ·356·

第3期 赵建利等：一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 ·357· 4=0 被控对象 (plants) 图1基于Backstepping方法的串级主动补偿控制结构图 Fig.1 Structure chart of cascade control with active compensation based on the backstepping approach 同时，由上述具体实现过程可知，采用基于 g 1.3观测器设计 Backstepping方法的串级主动补偿控制策略，系统 考虑跟踪系统(14)，针对其第i个子系统 (1)跟踪系统状态方程为 2:=u:+7 (19) [21=u1+71’ 式中，i=1,2,…,n-1.类似误差微分，令n:的估计 22=山2+2， 值7满足 (14) 7:=（a1e2)(:-u-7) (20) 之。-1=山-1+刃-1 由于：未知，可知式(19)无法实现.根据文献 i=g(x)u+m, 03],定义w:为 并且在控制律 ,=（e2/a:)7:-2 (21) :=-ka-n:(i=1,2,,n-1), (15) 对w:求导，得式(20)的可实现形式为 u=（-kn之n-nn）/g(x) (16) 「t:=-u-(a/e2)(e:+z）, (22) 作用下，闭环系统为 li:=（a/e2)(w:+z) z1=-k, 式中，a:>0,8>0,且s满足E1;w:(0)=-:(0), 2=-k22 7:(0)=0;4:为由：构成的具有动态主动补偿 (17) 特性的反馈控制律(15)，即 2-1=-k-1-1 u=-k-7 (23) in=-knzn 同理，针对第n个子系统n=g(x)u+)n,类似 式中，z=(a,2,…,z)T为跟踪系统状态（或跟踪 误差微分，令)n的估计值7。满足 误差向量)；)=(n1,2,…,n。)T为跟踪系统不确定 (a/g)(i.-g(x)u'-). (24) 非线性.由假设1及上述推导过程可知，状态z满 定义0。为 足可测性条件. 0n=（e2/an）in-zn (25) 在闭环系统(17)中，由于各闭环子系统渐近稳 对0。求导，得式(24)的可实现形式为 定，可得闭环系统(17)渐近稳定，即 [w=-g(x)u'-(a/82)(w +z), (26) limz:=0(i=1,2,…,n) (18) 1+30 n=(a/s2)(w+2). 当1→0时，x1→0.根据假设2，可得此时f→0， 式中，。>0，wn(0)=-zn(0),7n(0)=0;u为由 山10.进一步，当20时，可得x20.依次类推， z。7。构成的具有动态主动补偿特性的反馈控制律 可得x3,x4,…,x。0,即系统(1)实现了渐近稳定控 (16),即 制.但是，由于f未知，导致跟踪系统(14)中n:不 u=（-kn2n-n)/g(x). (27) 可测，从而使得式(15)和(16)所示控制律无法实 由式(22)和(26)可以看出，当ε非常小时，观 现。为此，针对跟踪系统(14)，设计了一种新的观测 测器反馈增益a,/e2(i=1,2,…,n)非常大.这种观 器，利用可测量：对其第i个子系统中未知量：进 测器的优点为：(1)给闭环系统稳定性分析带来方 行实时估计.然后，利用估计值：，构建具有动态补 便；(2)使得其估计值跟踪上闭环系统不确定非线 偿特性的反馈控制律(15)和(16)，使得跟踪系统 性所需时间是O(ε）. (14)实现渐近稳定控制，即系统(1)实现渐近稳定 1.4闭环系统稳定性分析 控制. 在控制律(23)和(27)作用下，跟踪系统(14)

第 3 期 赵建利等: 一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 图 1 基于 Backstepping 方法的串级主动补偿控制结构图 Fig． 1 Structure chart of cascade control with active compensation based on the backstepping approach 同 时，由上述具体实现过程可知，采 用 基 于 Backstepping 方法的串级主动补偿控制策略，系统 ( 1) 跟踪系统状态方程为 z · 1 = u1 + η1， z · 2 = u2 + η2，  z · n － 1 = un － 1 + ηn － 1， z · n = g( x) u + ηn          ， ( 14) 并且在控制律 ui = － kizi － ηi ( i = 1，2，…，n － 1) ， ( 15) u = ( － kn zn － ηn ) /g( x) ( 16) 作用下，闭环系统为 z · 1 = － k1 z1， z · 2 = － k2 z2，  z · n － 1 = － kn － 1 zn － 1， z · n = － kn zn          ． ( 17) 式中，z = ( z1，z2，…，zn ) T 为跟踪系统状态( 或跟踪 误差向量) ; η = ( η1，η2，…，ηn ) T 为跟踪系统不确定 非线性． 由假设 1 及上述推导过程可知，状态 z 满 足可测性条件． 在闭环系统( 17) 中，由于各闭环子系统渐近稳 定，可得闭环系统( 17) 渐近稳定，即 lim t→∞ zi = 0 ( i = 1，2，…，n) ． ( 18) 当 z1 →0 时，x1 →0． 根据假设 2，可得此时 f1 →0， u1→0． 进一步，当 z2→0 时，可得 x2→0． 依次类推， 可得 x3，x4，…，xn→0，即系统( 1) 实现了渐近稳定控 制． 但是，由于 fi 未知，导致跟踪系统( 14) 中 ηi 不 可测，从而使得式( 15) 和( 16) 所示控制律无法实 现． 为此，针对跟踪系统( 14) ，设计了一种新的观测 器，利用可测量 zi 对其第 i 个子系统中未知量 ηi 进 行实时估计． 然后，利用估计值 η^ i，构建具有动态补 偿特性的反馈控制律( 15) 和( 16) ，使得跟踪系统 ( 14) 实现渐近稳定控制，即系统( 1) 实现渐近稳定 控制． 1. 3 观测器设计 考虑跟踪系统( 14) ，针对其第 i 个子系统 z · i = ui + ηi ． ( 19) 式中，i = 1，2，…，n － 1． 类似误差微分，令 ηi 的估计 值 η^ i 满足 η^ · i = ( αi /ε2 ) ( z · i － u* i － η^ i ) ． ( 20) 由于 z · i 未 知，可 知 式 ( 19 ) 无 法 实 现． 根 据 文 献 ［13］，定义 wi 为 wi = ( ε2 /αi ) η^ i － zi ． ( 21) 对 wi 求导，得式( 20) 的可实现形式为 w · i = － u* i － ( αi /ε2 ) ( wi + zi ) ， η^ i = ( αi /ε2 ) ( wi + zi { ) ． ( 22) 式中，αi ＞ 0，ε ＞ 0，且 ε 满足 ε1; wi ( 0) = － zi ( 0) ， η^ i ( 0) = 0; u* i 为由 zi、η^ i 构成的具有动态主动补偿 特性的反馈控制律( 15) ，即 u* i = － kizi － η^ i ． ( 23) 同理，针对第 n 个子系统 z · n = g( x) u + ηn，类似 误差微分，令 ηn 的估计值 η^ n 满足 η^ · n = ( αn /ε2 ) ( z · n － g( x) u* － η^ n ) ． ( 24) 定义 wn 为 wn = ( ε2 /αn ) η^ n － zn ． ( 25) 对 wn 求导，得式( 24) 的可实现形式为 w · n = － g( x) u* － ( αn /ε2 ) ( wn + zn ) ， η^ n = ( αn /ε2 ) ( wn + zn { ) ． ( 26) 式中，αn ＞ 0，wn ( 0) = － zn ( 0) ，η^ n ( 0) = 0; u* 为由 zn、η^ n 构成的具有动态主动补偿特性的反馈控制律 ( 16) ，即 u* = ( － kn zn － η^ n ) /g( x) ． ( 27) 由式( 22) 和( 26) 可以看出，当 ε 非常小时，观 测器反馈增益 αi /ε2 ( i = 1，2，…，n) 非常大． 这种观 测器的优点为: ( 1) 给闭环系统稳定性分析带来方 便; ( 2) 使得其估计值跟踪上闭环系统不确定非线 性所需时间是 O( ε) ． 1. 4 闭环系统稳定性分析 在控制律( 23) 和( 27) 作用下，跟踪系统( 14) ·357·

·358· 北京科技大学学报 第34卷 变为 (16)所示控制律u:及u的最大绝对值.另外，由控 [1=-k1+71-71, 制律u、u定义及假设2可知，闭环系统(31)中刀是 2=-k22+2-72 有界的.在此基础上，给出闭环系统的稳定性分析. (28) 定理1考虑跟踪系统(14)，在控制律(23)和 -1=-k--+n-1-a-1 (27)作用下，其跟踪闭环系统(32)，存在非常小正 i=-knzn+nn-nm 常数81，使得εt). (43) m,sgn(u:）,luI≥m 即t>t1时，W(δ(t))是O(e).此时，根据Lyapunov (33) 函数W(δ(t))定义，可得‖δ(t)‖满足 1u1t1) (44) u'=Sat(u)= m"sgn(w*),1u1≥m. 是O(e),其中c3=√c·这里，范数I6(t)‖是指向 式中，m:和m分别为系统(1)稳定域内式(15)和 量6(t)的2-范数.同时，根据8=)-7，由式(44)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 变为 z · 1 = － k1 z1 + η1 － η^ 1， z · 2 = － k2 z2 + η2 － η^ 2，  z · n － 1 = － kn － 1 zn － 1 + ηn － 1 － η^ n － 1， z · n = － kn zn + ηn － η^ n          ． ( 28) 定义 观 测 误 差 为 δ = ( δ1，δ2，…，δn ) T ，δi = ηi － η^ i ( i = 1，2，…，n) ，则系统( 28) 可描述为 z · = Az + δ． ( 29) 同时，由式( 21) 和( 25) 可得 ε2 δ · 1 = － α1 δ1 + ε2 η · 1， ε2 δ · 2 = － α2 δ2 + ε2 η · 2，  ε2 δ · n － 1 = － αn － 1 δn － 1 + ε2 η · n － 1， ε2 δ · n = － αn δn + ε2 η · n          ． ( 30) 即 ε2 δ · = A'δ + ε2 η ·． ( 31) 由式( 29) 和( 31) 可得，跟踪系统( 14) 在控制律 ( 23) 和( 27) 作用下，其闭环系统状态方程为 z · = Az + δ， ε2 δ · = A'δ + ε2 η { ·． ( 32) 式中，n × n 矩阵 A = diag{ － k1，－ k2，…，－ kn } 、n × n 矩阵 A' = diag{ － α1，－ α2，…，－ αn } 、η = ( η1，η2， …，ηn ) T ． 由闭环系统( 32) 可以看出，当 ε 非常小时，闭 环系统( 32) 是一个标准的奇异扰动系统，为此采用 奇异扰动性理论分析其稳定性． 同时，当 ε 非常小 时，观测器( 22) 和( 26) 的反馈增益很大． 根据文献 ［14--15］，较大的反馈增益，可能导致闭环系统( 32) 出现脉冲峰值现象，破坏闭环系统的稳定性． 这一 脉冲峰值现象是由控制律 u* 及 ui ( i = 1，2，…， n － 1) 瞬间非常大直接产生． 于是，采用饱和函数 Sat(·) 对控制律 u* 及 u* i 进行处理，使得在脉冲峰 值现象发生时系统( 1) 状态 x 仍然处于可稳定范围 内，进而消除对闭环系统稳定性的影响． 处理后，控 制律 ui 及 u* 变为 u* i = Sat( u* i ) = u* i ， | u* i | ＜ mi ; mi ·sgn( u* i ) ， | u* i |≥mi { ． ( 33) u* = Sat( u) = u* ， | u* | ＜ m; m·sgn( u* ) ， | u* { |≥m． ( 34) 式中，mi 和 m 分别为系统( 1) 稳定域内式( 15) 和 ( 16) 所示控制律 ui 及 u 的最大绝对值． 另外，由控 制律 ui、u 定义及假设 2 可知，闭环系统( 31) 中 η · 是 有界的． 在此基础上，给出闭环系统的稳定性分析． 定理 1 考虑跟踪系统( 14) ，在控制律( 23) 和 ( 27) 作用下，其跟踪闭环系统( 32) ，存在非常小正 常数 ε1，使得 ε ＜ ε1 时，观测器( 22) 和( 26) 在很短 时间内跟踪上闭环系统( 32) 不确定性 η． 证明 根据奇异扰动性理论［14］，当 ε = 0 时，方 程 A'δ = 0 有唯一根 δ = 0，则闭环系统( 32) 的降阶 系统( 慢速系统) 为 z · = Az． ( 35) 边界层系统( 快速系统) 为 ζ · = A'ζ． ( 36) 式中，ζ = dδ /dτ，τ = t /ε2 ． 针对边界层系统( 36) ，根据 Lyapunov 特征值判 据［16］，由矩阵 A'定义，可得边界层系统 ζ · = A'ζ 指 数稳定． 进一步，由 Lyapunov 判据［16］可知，边界层 系统( 36) 存在连续正定 Lyapunov 函数 W( δ( t) ) = δT δ． 沿闭环系统( 32) 对函数 W( δ( t) ) 进行求导， 可得 W · = － ( 2 /ε2 )·‖δT A'δ‖2 + 2δT η ·． ( 37) 令 α = max{ αi ( i = 1，2，…，n) } ，根据 η · 的有界性，定 义 k0 = sup{ ‖η ·‖} ，则式( 37) 可化为 W · ≤ － ( 2α/ε2 )·‖δT δ‖2 + 2δT η ·≤ － ( 2α/ε2 ) W + 2k0 槡W． ( 38) 令 c1 = 4k 2 0 /α2 ，则当 W( δ( t) ) ≥c1ε4 时，式( 38) 可 变为 W · ≤ － ( α/ε2 ) W． ( 39) 选择 闭 环 系 统 ( 32 ) 初 始 时 刻 为 t0，并 令 c2 = W( δ( t0 ) ) ，c2 为 一 正 常 数，则 当 c2 ≥ c1ε4 时，由 式( 39) 可得，闭环系统( 32) 存在时间常数 τε = － ( ε2 /α) ln( c1ε4 /c2 ) ， ( 40) 使得 W( δ( t) ) 满足 W( δ( t) ) ≤c1 e － ( α/ε2) t ，t∈( t0，t1］， ( 41) W( δ( t1 ) ) ≤c1ε4 ． ( 42) 式中，t1 = t0 + τε ． 由于 W( δ( t) ) = c1ε4 时，式( 39) 仍然成立且 W · ＜ 0，则由式( 42) 可得 W( δ( t) ) ＜ c1ε4 ( t ＞ t1 ) ． ( 43) 即 t ＞ t1 时，W( δ( t) ) 是 O( ε) ． 此时，根据 Lyapunov 函数 W( δ( t) ) 定义，可得‖δ( t) ‖满足 ‖δ( t) ‖≤c3ε2 ( t ＞ t1 ) ( 44) 是 O( ε) ，其中 c3 = 槡c1 ． 这里，范数‖δ( t) ‖是指向 量 δ( t) 的 2-范数． 同时，根据 δ = η － η^，由式( 44) ·358·

第3期 赵建利等：一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 ·359· 可得，当t>t1时，m-7是0(s).另外，由式(40)可 2仿真实验 以看出，T。也是0（ε）.因此，存在非常小正常数 61,当et1时，式(45)可变为 通过对图2(a)和(c)的比较可以看出，采用本 V≤-2k6V+2c3e2√F. (46) 文提出的串级主动补偿控制方法，其控制效果优于 文献4)中所采用的控制方法 令c4=4c/(k6)2,当t>t1且V(z(t))≥c4s4时， 2.2实例2 式(46)可变为 考虑如下二阶系统 V≤-kV (47) 七1=2+1e, 可以看出，这种情况下，Lyapunov函数V(z(t)) (51) 元2=u+x1(1+x) 具有单调递减特性且满足V<0.同时，也可以看 式中：x=(x,x2)T∈R2为系统可测状态；u∈R为 出，当V(z(t))≥ce,函数V(z(t))满足 控制输入：0=(0,0，)T∈R2为系统未知参数向量. limv=cae (48) 采用本文提出的串级主动补偿控制方法，进行 是O(e).此时，根据Lyapunov函数V(z(t))定义， 仿真.系统仿真参数选取如下：系统状态初始值选 可得 取为x(0)=(1,-3)T:系统未知参数选取为0，= lim llz(t)=cse. (49) 1,02=2;观测器及控制器参数选取为a1=5,2=5, 8=0.025,k,=4,k2=4.仿真结果如图3所示. 即当t→x时，‖z(t)‖也是O(ε)，其中c=√c4 2.3实例3 这里，范数‖z(t)‖是指向量z的2范数. 考虑如下二阶系统1 由定理1及上述分析过程可得，集合D={(z, rx1=2+x1(gi(t)sin(10t)+g2(t)), 6)1‖z‖≤cse2,‖6‖≤c3e2}为闭环系统(32)的 (52) 全局渐近收敛域，且可以通过调节参数ε，实现集合 2=u+x(gs (t)cos(31)). D任意小.因此，存在非常小正常数s,当ε<ε< y=x (53) 81时，闭环系统(32)实现渐近稳定控制.由假设2 式中：x=(x1,x2)T∈R为系统可测状态；u∈R为控 中不确定非线性函数f(i=1,2,…,n)的Lipschitz 制输入，y∈R为系统可测输出；g1(t)、g2(t)和 连续性，可得此时系统(1)实现渐近稳定控制.定 g;(t)为系统不确定性. 理2证毕. 采用本文提出的串级主动补偿控制方法，利用

第 3 期 赵建利等: 一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 可得，当 t ＞ t1 时，η － η^ 是 O( ε) ． 另外，由式( 40) 可 以看出，τε 也是 O( ε) ． 因此，存在非常小正常数 ε1，当 ε ＜ ε1 时，观测器( 22) 和( 26) 在很短时间内 跟踪上闭环系统( 32) 中未知非线性 η． 在这里，τε 不仅是奇异扰动系统( 32) 脉冲峰值时间常数的估 计值，也是观测器跟踪上闭环系统( 32) 中未知非线 性 η 所需时间的估计值． 定理 1 证毕． 定理 2 在定理 1 基础上，跟踪闭环系统( 32) 存在非常小正常数 ε* ，使得 ε ＜ ε* 时，跟踪闭环系 统( 32) 实现渐近稳定，即系统( 1) 实现渐近稳定 控制． 证明 考虑降阶系统( 35) ，根据 Lyapunov 特征 值判据［16］，由矩阵 A 定义，可得降阶系统( 35) 指数 稳定． 进一步，由 Lyapunov 判据［16］可知，降阶系统 ( 35) 存在连续正定 Lyapunov 函数 V( z( t) ) = z T z． 类似定理 1 推导过程，沿闭环系统( 32) 对 V( z( t) ) 求导，得 V · = － 2‖z T Az‖ + 2z T δ． ( 45) 令 k' 0 = max{ ki ( i = 1，2，…，n) } ，由式( 44) 可 得，当 t ＞ t1 时，式( 45) 可变为 V · ≤ － 2k' 0V + 2c3ε2 槡V． ( 46) 令 c4 = 4c 2 3 /( k' 0 ) 2 ，当 t ＞ t1 且 V( z( t) ) ≥c4ε4 时， 式( 46) 可变为 V · ≤ － k' 0V． ( 47) 可以看出，这种情况下，Lyapunov 函数 V( z( t) ) 具有单调递减特性且满足 V · ＜ 0． 同时，也可以看 出，当 V( z( t1 ) ) ≥c4ε4 ，函数 V( z( t) ) 满足 lim t→∞ V = c4ε4 ( 48) 是 O( ε) ． 此时，根据 Lyapunov 函数 V( z( t) ) 定义， 可得 lim t→∞‖z( t) ‖ = c5ε2 ． ( 49) 即当 t→∞ 时，‖z( t) ‖也是 O( ε) ，其中 c5 = 槡c4 ． 这里，范数‖z( t) ‖是指向量 z 的 2-范数． 由定理 1 及上述分析过程可得，集合 D = { ( z， δ) |‖z‖≤c5ε2 ，‖δ‖≤c3ε2 } 为闭环系统( 32) 的 全局渐近收敛域，且可以通过调节参数 ε，实现集合 D 任意小． 因此，存在非常小正常数 ε* ，当ε ＜ ε* ＜ ε1 时，闭环系统( 32) 实现渐近稳定控制． 由假设 2 中不确定非线性函数 fi ( i = 1，2，…，n) 的 Lipschitz 连续性，可得此时系统( 1) 实现渐近稳定控制． 定 理 2证毕． 2 仿真实验 2. 1 实例 1 考虑如下二阶系统［1，4］ x · 1 = x2 + θ1 x 3 1 － 3x1， x · 2 = x1 + θ2 { u． ( 50) 式中: x = ( x1，x2 ) T ∈R2 为系统可测状态; u∈R 为 控制输入; θ = ( θ1，θ2 ) T ∈R2 为系统未知参数向量． 在系统( 50) 中，由于参数 θ2 未知，使得控制 u 无法确切得到，于是取其估计值为 ^ θ2 = 2，则此时系 统不确定非线性为 f1 = θ1 x 3 1 － 3x1，f2 = x1 + ( θ2 － ^ θ2 ) u． 采用本文提出的串级主动补偿控制方法进行仿 真，系统仿真参数选取如下: 系统状态初始值选取为 x( 0) = ( 1，2 ) T ; 系统未知参数向量选取为 θ = ( 1. 952，1. 952) T ; 观测器及控制器参数选取为 α1 = 5，α2 = 10，ε = 0. 05，k1 = 4，k2 = 4． 仿 真 结 果 如 图 2( a) 和( b) 所示． 在系统不确定参数相同条件 下，采用文献［4］中 Evolutional Robust Control 控制 方法进行仿真，结果如图 2( c) 和( d) 所示． 通过对图 2( a) 和( c) 的比较可以看出，采用本 文提出的串级主动补偿控制方法，其控制效果优于 文献［4］中所采用的控制方法． 2. 2 实例 2 考虑如下二阶系统［1，3］ x · 1 = x2 + x1 e θ1x2 1， x · 2 = u + x1 ( 1 + x 2 2 ) { θ2 ． ( 51) 式中: x = ( x1，x2 ) T ∈R2 为系统可测状态; u∈R 为 控制输入; θ = ( θ1，θ2 ) T ∈R2 为系统未知参数向量． 采用本文提出的串级主动补偿控制方法，进行 仿真． 系统仿真参数选取如下: 系统状态初始值选 取为 x( 0) = ( 1，－ 3) T ; 系统未知参数选取为 θ1 = 1，θ2 = 2; 观测器及控制器参数选取为 α1 = 5，α2 = 5， ε = 0. 025，k1 = 4，k2 = 4． 仿真结果如图 3 所示． 2. 3 实例 3 考虑如下二阶系统［1，5］ x · 1 = x2 + x1 ( g* 1 ( t) sin( 10t) + g* 2 ( t) ) ， x · 2 = u + x1 ( g* 3 { ( t) cos( 3t) ) ． ( 52) y = x1 ( 53) 式中: x = ( x1，x2 ) T ∈R2 为系统可测状态; u∈R 为控 制输入，y∈R 为系统可测输出; g* 1 ( t) 、g* 2 ( t) 和 g* 3 ( t) 为系统不确定性． 采用本文提出的串级主动补偿控制方法，利用 ·359·

·360· 北京科技大学学报 第34卷 15 a 2 10 0 -5 -10 -15 时间s 时间s 2.5 (e) 2.0h 15 -2 1.0 0.5 0.5 2 4 5 时间s 时间/s 图2闭环系统仿真曲线.(a)串级控制状态x响应曲线：(b)串级控制律：()文献④]鲁棒控制状态x响应曲线：()文献]鲁 棒控制律u Fig.2 Simulation curves of the closed-oop system:(a)response curve of state x based on cascade control:(b)cascade control law u based on cascade control:(c)response curve of state x based on robust control in Ref.](d)control law u based on robust control in Ref.[4] 0 2 0 0 -100 -150 2 3 0 2 3 4 时间 时间 图3串级控制闭环系统仿真曲线.(a)状态x响应曲线：(b)控制律u Fig.3 Simulation curves of the closed-oop system based on cascade control:(a)response curve of state x:(b)cascade control law u 与文献5]相同的系统参数，即g(t)=1,g2(t)= sin(t).系统仿真参数选取如下：观测器及控制器参 2+sin(0.1t),g(d)=2,系统状态初始值为x(0)= 数选取为1=5,2=5,6=0.025，k1=4,k2=4.仿 (0,0)T,进行仿真，使系统输出y跟踪系统给定ya= 真结果如图4所示 4 0.03r b 2 0.15 0.02 0.15 0.20 0.01 -20 0 -0.01 5 10 0 5 10 时间s 时间 时间/s 图4闭环系统仿真曲线.(a)给定ya及输出y变化曲线：(b)跟踪误差e变化曲线：(c)串级控制律Ⅲ Fig.4 Simulation curves of the closed-oop system:(a)given ya and output y:(b)tracking error e:(c)cascade control law u

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 图 2 闭环系统仿真曲线 . ( a) 串级控制状态 x 响应曲线; ( b) 串级控制律 u; ( c) 文献［4］鲁棒控制状态 x 响应曲线; ( d) 文献［4］鲁 棒控制律 u Fig． 2 Simulation curves of the closed-loop system: ( a) response curve of state x based on cascade control; ( b) cascade control law u based on cascade control; ( c) response curve of state x based on robust control in Ref．［4］; ( d) control law u based on robust control in Ref．［4］ 图 3 串级控制闭环系统仿真曲线 . ( a) 状态 x 响应曲线; ( b) 控制律 u Fig． 3 Simulation curves of the closed-loop system based on cascade control: ( a) response curve of state x; ( b) cascade control law u 与文献［5］相同的系统参数，即 g* 1 ( t) = 1，g* 2 ( t) = 2 + sin( 0. 1t) ，g* 3 ( t) = 2，系统状态初始值为x( 0) = ( 0，0) T ，进行仿真，使系统输出 y 跟踪系统给定yd = sin( t) ． 系统仿真参数选取如下: 观测器及控制器参 数选取为 α1 = 5，α2 = 5，ε = 0. 025，k1 = 4，k2 = 4． 仿 真结果如图 4 所示． 图 4 闭环系统仿真曲线 . ( a) 给定 yd 及输出 y 变化曲线; ( b) 跟踪误差 e 变化曲线; ( c) 串级控制律 u Fig． 4 Simulation curves of the closed-loop system: ( a) given yd and output y; ( b) tracking error e; ( c) cascade control law u ·360·

第3期 赵建利等：一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 ·361· 3结论 [5]Zhang Y P,Fidan B.loannou P A.Backstepping control of linear time-varying systems with known and unknown parameters.IEEE (1)针对一类具有下三角结构的不确定非线性 Trans Autom Control,2003,48 (11)1908 [6]Hua CC,Feng G,Guan X P.Robust controller design of a class 系统研究其稳定控制问题，提出了一种基于Back- of nonlinear time delay systems via backstepping method.Automat- stepping方法的串级主动补偿控制策略，实现了闭环 ica,2008,44(2):567 系统的渐近稳定控制。设计了观测器，解决了系统 [7]Yang J H,Hsu W C.Adaptive backstepping control for electrically 不确定非线性未知问题.引入奇异扰动性理论，给 driven unmanned helicopter.Control Eng Pract,2009,17(8): 出了闭环系统的稳定性分析.通过对三个对象的仿 903 真，结果均验证了该控制方法的有效性。 [8]Nakkarat P,Kuntanapreeda S.Observer-based backstepping force control of an electrohydraulic actuator.Control Eng Pract,2009, (2)由于各串级控制器中均包含着观测器，它 17(8):895 能实时估计并补偿跟踪系统的不确定非线性，因此 9]Yu J P,Chen B,Yu HS,et al.Adaptive fuzzy tracking control for 减少了对对象精确数学模型的依赖，增强了控制系 the chaotic permanent magnet synchronous motor drive system via 统的抗扰能力，使得即使系统存在不确定性，受控系 backstepping.Nonlinear Anal Real World Appl,2011,12 (1): 统也能保持良好的动态特性.另外，与传统Back- 671 [10]Lin W,Qian C J.Adaptive control of nonlinearly parameterized stepping方法相比，本文设计的控制方法，其结构简 systems:a nonsmooth feedback framework.IEEE Trans Autom 单，便于调节. Control,2002,47(5):757 [11]Lin W,Qian C J.Adaptive control of nonlinearly parameterized 参考文献 systems:the smooth feedback case.IEEE Trans Autom Control, [Wei W.Cascade and Active Disturbance Compensation Control of 2002,47(8):1249 Nonlinear Systems [Dissertation].Beijing:University of Science [12]Sun Z Y.Liu Y G.Adaptive state-feedback stabilization for a and Technology Beijing,2010:11 class of high-order nonlinear uncertain systems.Automatica, (魏伟.非线性系统串级控制与主动补偿应用研究[学位论 2007,43(10):1772 文].北京：北京科技大学，2010：11) [13]Alvarez-Ramirez J,Suarez R,Morales A.Cascade control of a Wei W,Li D H,Wang J.Robust control for a class of uncertain class of uncertain nonlinear systems:a backstepping approach. nonlinear systems:a cascade approach.J Tsinghua Unir Sci Tech- Chem Eng Sci,2000,55(16):3209 nol,2010,50(4):493 [14]Khali H K.Nonlinear Systems.Beijing:Electronic Industry (魏伟，李东海，王京.一类非线性不确定系统的串级鲁棒控 Press,2007 制.清华大学学报：自然科学版，2010,50(4)：493) [15]Khali H K.High-gain observers in nonlinear feedback control/ B3]Ye X D.Global adaptive control of nonlinearly parametrized sys- International Conference on Control,Automation and Systems,Se- tems.IEEE Trans Autom Control,2003,48(1):169 oul,2008 xlvii [4]Liu X,Jiang J P.Evolutional robust control for nonlinear uncer- [16]Zheng DZ.Linear System Theory.Beijing:Tsinghua University tain systems /The 30th Annual conference of IEEE Industrial Pre5s,2002 Electronics Society.Busan,2004:2792 (郑大钟.线性系统理论.北京：清华大学出版社，2002)

第 3 期 赵建利等: 一类不确定非线性系统的串级主动补偿控制 3 结论 ( 1) 针对一类具有下三角结构的不确定非线性 系统研究其稳定控制问题，提出了一种基于 Back￾stepping 方法的串级主动补偿控制策略，实现了闭环 系统的渐近稳定控制． 设计了观测器，解决了系统 不确定非线性未知问题． 引入奇异扰动性理论，给 出了闭环系统的稳定性分析． 通过对三个对象的仿 真，结果均验证了该控制方法的有效性． ( 2) 由于各串级控制器中均包含着观测器，它 能实时估计并补偿跟踪系统的不确定非线性，因此 减少了对对象精确数学模型的依赖，增强了控制系 统的抗扰能力，使得即使系统存在不确定性，受控系 统也能保持良好的动态特性． 另外，与传统 Back￾stepping 方法相比，本文设计的控制方法，其结构简 单，便于调节． 参 考 文 献 ［1］ Wei W． Cascade and Active Disturbance Compensation Control of Nonlinear Systems ［Dissertation］． Beijing: University of Science and Technology Beijing，2010: 11 ( 魏伟． 非线性系统串级控制与主动补偿应用研究［学位论 文］． 北京: 北京科技大学，2010: 11) ［2］ Wei W，Li D H，Wang J． Robust control for a class of uncertain nonlinear systems: a cascade approach． J Tsinghua Univ Sci Tech￾nol，2010，50( 4) : 493 ( 魏伟，李东海，王京． 一类非线性不确定系统的串级鲁棒控 制． 清华大学学报: 自然科学版，2010，50( 4) : 493) ［3］ Ye X D． Global adaptive control of nonlinearly parametrized sys￾tems． IEEE Trans Autom Control，2003，48( 1) : 169 ［4］ Liu X，Jiang J P． Evolutional robust control for nonlinear uncer￾tain systems / / The 30th Annual conference of IEEE Industrial Electronics Society． Busan，2004: 2792 ［5］ Zhang Y P，Fidan B，Ioannou P A． Backstepping control of linear time-varying systems with known and unknown parameters． IEEE Trans Autom Control，2003，48( 11) : 1908 ［6］ Hua C C，Feng G，Guan X P． Robust controller design of a class of nonlinear time delay systems via backstepping method． Automat￾ica，2008，44( 2) : 567 ［7］ Yang J H，Hsu W C． Adaptive backstepping control for electrically driven unmanned helicopter． Control Eng Pract，2009，17 ( 8) : 903 ［8］ Nakkarat P，Kuntanapreeda S． Observer-based backstepping force control of an electrohydraulic actuator． Control Eng Pract，2009， 17( 8) : 895 ［9］ Yu J P，Chen B，Yu H S，et al． Adaptive fuzzy tracking control for the chaotic permanent magnet synchronous motor drive system via backstepping． Nonlinear Anal Real World Appl，2011，12 ( 1 ) : 671 ［10］ Lin W，Qian C J． Adaptive control of nonlinearly parameterized systems: a nonsmooth feedback framework． IEEE Trans Autom Control，2002，47( 5) : 757 ［11］ Lin W，Qian C J． Adaptive control of nonlinearly parameterized systems: the smooth feedback case． IEEE Trans Autom Control， 2002，47( 8) : 1249 ［12］ Sun Z Y，Liu Y G． Adaptive state-feedback stabilization for a class of high-order nonlinear uncertain systems． Automatica， 2007，43( 10) : 1772 ［13］ Alvarez-Ramírez J，Suarez R，Morales A． Cascade control of a class of uncertain nonlinear systems: a backstepping approach． Chem Eng Sci，2000，55( 16) : 3209 ［14］ Khali H K． Nonlinear Systems． Beijing: Electronic Industry Press，2007 ［15］ Khali H K． High-gain observers in nonlinear feedback control / / International Conference on Control，Automation and Systems，Se￾oul，2008: xlvii ［16］ Zheng D Z． Linear System Theory． Beijing: Tsinghua University Press，2002 ( 郑大钟． 线性系统理论． 北京: 清华大学出版社，2002) ·361·