多变量系统自校正调节器

、D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.02.028 北京钢铁学院学报 1982年第2期 多变量系统自校正调节器 工业自动化教研室舒迪前刘立 摘 要 本文讨论了一类多变量系统自校正调节器的最优控制律及控制器参数辨识中的 有关问题，给出了类似于单变量系统最小方差控制律的一种算法，便于计算，并具 有较为简洁的形式。用此算法计算了两个实例的最小方差控制律，并与计算机仿真 果进行了比较。 一、引 言 对于线性多变量系统在随机干扰下最优调节器的设计问题，已提出了许多方法，其中主 要的有在随机噪声干扰时考虑二次型性能指标的最优控制问题(LQG问题)，但是使用这些 方法时必须已知被控系统的数学模型及噪声的统计特性，由于其算法复杂，计算工作量大， 因此实际应用受到限制，而且在实际生产过程中被控系统的模型或噪声特性会随着时间的推 移而缓慢变化，因此应用上述方法，进行实时计算来完成在线控制，实现起来有一定的困 难。 近几年来提出的自校正调节器〔1,2)和自校正控制器〔3)，为解决线性系统在随机干扰下 最优调节器的设计和控制问题，提供了一种简单可行的方法，它是根据被控系统输入和输出 的实测数据，用在线递推的辨识方法，例如最小二乘法来辨识系统在随机干扰下的模型参 数，在线校正调节器的参数，以适应系统的动态特性和环境干扰的变化，力求使被控系统达 到予期的指标，例如使输出的方差为最小，或轨线的最优跟踪等。 单变量系统的自校正调节器，已有许多作者进行过研究，并在许多工业部门中得到了应 用，如造纸机、矿石粉摔机、混凝土搅拌器、三十多万吨超级油轮的自动驾驶仪、醋酸蒸发 器等。 对于多变量系统的自校正调节器及其应用，则讨论得较少些，L.Keviczky〔4)及 ULF Borison(5)等人曾做了不少工作，但应用所提供的方法计算最小方差控制律时，或 者直接进行数值计算存在一些困难，或者要另外构造一组多项式矩阵又有些过烦，本文给出 一种计算多变量自校正调节器最小方差控制律的算法，它是单变量系统最小方差控制律算法 的一种推广形式〔1)。 65

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 多 变 量 系 统 自 校 正 调 节 器 工 业 自动化教研 室 舒 迪前 刘 立 摘 要 本 文讨论 了一类多变量 系 统 自校正 调节器 的最 优控制律及控 制器 参数辨识 中的 有关问题 ， 给 出了类似于 单变量 系统最 小方 差控制律的一种算法 ， 便于 计算 ， 并具 有较为简洁 的形 式 。 用 此 算法计算了两个实例 的最小方差控制律 ， 并与计算机仿真 果 进行 了比 较 。 日 选 、 甘 「 对于 线性多变量系 统在 随机干扰下最优调 节器 的设计 问题 ， 已提 出了许多方法 ， 其 中主 要 的有在随机噪声干扰 时考虑二次型性能指标的最 优控制 问题 问题 ， 但是使用这些 方法时 必须 巳知被控系 统的数学模型 及噪声 的统计特性 ， 由于其 算法复杂 ， 计算工 作 大 ， 因此 实际应用 受 到 限制， 而且 在实际生产过程 中被控系 统的模型 或噪声特性会随着 时间的推 移而缓慢变化 ， 因此 应用 上述方法 ， 进行实时计算 来完成在 线控制 ， 实现起 来有一定的 困 难 。 近 几年来提出的 自校正 调节器 〔 ， 〕和 自校正控 制 器 〕 ， 为解决线性系统在 随机干扰 下 最优调节器的设计和控制 问题 ， 提供 了一种简单可行的方 法 ， 它是根据被控 系统输入 和 输出 的实测数据 ， 用 在线递推 的辨 识 方 法 ， 例 如 最 小二乘法来辨 识系统在 随机干 扰下的模型 参 数 ， 在线校正调 节器 的 参数 ， 以 适应 系 统的动态特性和环 境干扰 的变化 ， 力求使被控系 统达 到予期的指标 ， 例 如使 输出的方差为最小 ， 或轨线 的最优跟踪等 。 单变量 系统的 自校正 调 节器 ， 已有许多作者进行过研究 ， 并在许多工业部门中得到了应 用 ， 如造纸机 、 矿石粉摔机 、 混凝土 搅拌器 、 三 十多万吨超级 油轮 的 自动驾驶仪 、 醋酸蒸发 器 等 。 对于多变 量系 统 的 自 校正 调 节器 及 其应用 ， 则讨论 得较少些 ， 〕 及 〔 〕等人 曾做了不 少工作 ， 但应用 所提供 的方 法计算最小方差控制律时 ， 或 者直 接进行数值 计算存在一些 困难 ， 或者要 另外构造一组多项式矩阵又有些过烦 ， 本文给 出 一种计 算多变量 自校 正 调 节器 最 小方 差控制律 的算法 ， 它是单变量 系统最小方差控制律算法 的一种推广形式〔 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．02．028

二、多变量系统的最小方差控制 对于单变量系统的自校正调节器，Astròm〔1)需给出过计算最小方差控制律的算法， 他所采用的数学模型为 1. a(Z-)y(k)=Z-4b(Z-i)u(k)+c(Z-)e(k) (1) 式中y(k)为输出量，u(蓝)为输入控制量，{(k)}为随机干扰，为一白噪声序 列，(d一1)为系统的滞后时间，Z~为向后移算子。 a(Z-)=1+a1Z-+…+aZ-m b(Z-)=b。+b,Z-1+…+bnZ-n c(Z-i)=1+cZ-1+...+cnZ-n 当给定值为零时，已经证明最小方差控制律为 g(Z-) u(k)=-花y(k) (2) 这里 f(Z-1)=1+f,Z-1+…+fn+d-1Z-a+a-1) g(Z-)=g。+g1Z-1+…+gm-1Z-a+1 对于多变量系统自校正调节器最小方差控制律的计算，至今尚无类似于(2)式的简洁 表示式，本文将给出一种类似于(2)式的计算多变量系统最小方差控制律的算法。 设被控系统的输入输出模型方程可用下列具有干扰噪声的差分方程ARMAX来描述 A(Z-1)y(k)=Z-dB(Z-1)u(k)+C(Z-1)e(k) (3) y(k)为一P维输出向量 u(k)为一P维输入控制向量 {e(k)}为一均值为零，方差Cov{e(k),e(j)}=R8k,的P维白声序列 d-1为系统滞后时间 A(Z-1),B(Z-1),C(Z-1)均为向后移算子Z-'的P×P维多项式矩阵 A(Z-1)=I+AZ-1+...+AnZ-m B(Z-1)=B。+B,Z-1+…+BZ-n,B为非奇异阵 C(Z-1)=I+C:Z-1+.+CpZ-m 或写成 A(E)=I+A,5+…+Am5n B(E)=B。+B,号+…+Bnξa C(E)=I+C,5+…+Cnm 这里要求detB(E)及detC()的所有零点 、 均在单位圆外，是为了能保证当系统的参数波动 (Z-' 时，闭环系统仍能稳定的工作所必须的。系统的框 图如图1所示。 Z"B以Z 为了确定最小方差控制律，首先将(3)式改 图1 写成下列形式 y(k)=(I-A(Z-))y(k)+B(Z-)u(k-d)+C(Z-)e(k) 66

二 、 多变量 系统 的最 小方 差控制 对于 单变量系统的 自校正调节器 ， 人 〔 〕 需给 出过计算最小方差控制律的算法 他所采用 的数学模型为 一 ‘ 一 一 ’ 一 ‘ 式 中 七 为输出里 ， 。 ‘幻 为 输 人 控 制量 ， 为随机 干扰 列 ， 一 为系统的滞后 时间 ， 一 ‘ 为向后 移算子 。 一 ‘ 份 一 一 ’ … 。 一 ” 一 ’ 。 ， 一 ’ … 。 一 一 ‘ 一 ‘ … 一 当给定值为零时 ， 已经证 明最 小方差控 制律为 为一 白噪 声序 、 儿卜 产、 、 ﹃ ‘ 一 ‘ 、声、 、才 一 花二 ‘ 这 里 一 ’ 一 ‘ … 。 一 一 。 十 一 ‘ 一 ’ 。 一 ’ … 卜 一 一 十 ’ 对于多变量系 统 自校正调 节器 最小方差控制律的计算 ， 至 今 尚无 类似于 式 的简洁 表示式 ， 木文将给 出一种类似于 式 的计算多变量 系统最小方差控 制律 的算法 。 设被控系统的输入 输出模型 方程可用 下列 具有干扰噪声 的 差分方程 人 来 描述 一 二 二 一 一 一 ‘ 为一 维 输出向量 为一 户维 输入控制 向量 王 为一 均值为零 ， 方差 ， 乙 ，的 维 白噪声序 列 一 为系统滞后 时间 一 ， ， 一 ‘ ， 一 ‘ 均为向后移算子 一 ‘ 的 欠 维 多项式矩阵 一 ‘ 一 一 ， … 一。 一 ， 。 ， 一 ， … 。 一 ， 。 为非奇异 阵 一 ‘ 一 … 。 一 或写成 七 息 … 。 七 “ 七 。 七 … 。 乙 “ 七 二 七 … 这里要求 毛 及 毛 的所有零点 均在单位 圆外 ， 是为 了能 保证 当系 统 的 参数 波动 时 ， 闭环系统仍能稳定的工 作所必须 的 。 系统的框 图如 图 所示 。 为 了确定最 小方差控制律 ， 首先 将 式改 写成下列 形 式 一 一 ， 〕 一 ， 一 一 ‘ 尽争

上式表明：y(k)的任一分量i(i=1,2…,P)是由y(k-1),…y(k-n)和u(k-d), …u(k-d-1),…,u(k-d-n)的j(j=1,2,…,P)分量及噪声等所组成的，当u(k- d),…改变时，y(k)也随之而变，我们的目的就是要适当的选取“(k)，使得下列性能指 标为最小 V=minE(y(k+d)-y:)TQ(y(k+d)-y:)} (4) u(k) 式中Q为半正定律，y,为所要求的输出量的参考向量，由此而得到的最优控制律就是最小方差 控制。 最小方差控制的解析形式的解，也就是说最优控制的输入“(k),可以用直到目前为止 的输出观测向量y(k)、y(k一1)、…及输入向量u(k-1),u(k-2)、…来表示，下 面我们来推导多变量系统的最小方差控制律。 当系统的参数已知时，被控系统在k+d时刻的输出表示式可写成 y(k+d)=A-1(Z-1)B(Z-1)u(k)+A-1(Z-)C(Z-1)e(k+d)(5) 为了把上式中右边的第二项随机噪声部分分解为独立于及依赖于直到当前时刻为止的观 测值的两部分，引入下列分解式： C(Z-1)F(Z-1)=A(Z-1)G1(Z-1)F(Z-1)+Z-B(Z-1) (6) 这里 F(Z-1)=F。+F,Z-1+…+FmZm G-1(Z-=1+G1Z-1+…+Ga-1Z-4+1 (7) 利用(6)式，则(5)式可以改写成下列形式 y(k+d)=A-1(Z-)B(Z-1)u(k)+G-1(Z-)e(k+d) +A-1(Z-1)B(Z-)F-1(Z-1)e(k) 再应用（3)及(6)式，经过简单运算后，上式可写成 y(k+d)=A-1(Z-1)B(Z-1)F-1(Z-)C-1(Z-)A(Z-)y(k)+G1(Z-) C-(Z-1)B(Z-1)u(k)+G1(Z-)e(k+d) (8) 上式中的第三项是e(k+1),e(k+2),…,e(k+d)的线性组合，是不能预测的，具有 零均值的高斯独立随机序列，且与所有的y(k),y(k-1),…,u(k一1)，u(k一2)，…相互 独立，又设最优输出的估计值为y(k+d/k),则由输出误差平方和为最小的性能指标 (4)式有 V=minE{〔G1(Z-1)e(k+d)+A-(Z-1)B(Z-1)F-1(Z-)C-1(Z-1) u(k) A(Z-)y(k)+G1(Z-1)C-1(Z-)B(Z-)u(k)-y(k+d/k)T Q〔G(Z-1)e(k+d)+A-1(Z-)B(Z-1)F-1(Z-1)C-1(Z-1)A(Z-1) y(k)+G1(Z-1)C-1(Z-1)B(Z-1)u(k)-y(k+d/k)〕} minE(G-(Z-)e(k +d))TQ(G-i(Z-)e(k +d)) u(k) +〔A-1(Z-1)B(Z-1)F-1(Z-2)C-(Z-)A(Z-1)y(k)+G-1(Z-1) C-1(Z-1)B(Z-1)u(k)-y(k+d/k)TQ(A-1(Z-)B(Z-1)F-1(Z-) C-1(Z-1)A(Z-1)y(k)+G1(Z-1)C-1(Z-1)B(Z-1)u(k) -y(k+d/k))}≥E〔G1(Z-1)e(k+d)TQ〔G1(Z)e(k+d)) 67

上式表 明 的任一分量 ， … ， 是 由 一 ， … 一 和 一 ， … 一 一 ， … ， 一 一 的 二 ， ， … ， 分量 及噪声等所组成的 ， 当 一 ， … 改变时 ， 也 随之而变 ， 我们 的 目的就是要适 当的选取 ， 使得下列 性能 指 标为最 小 一 〕 〔 一 ， 〕 式 中 为半正定律 ， ，为所要求的输出量 的 参考 向量 ， 由此 而得到的最优控制律就是最小方差 控制 。 最 小方差控制 的解 析形式 的解 ， 也就 是说 最 优控 制 的输入 ， 可 以用直 到 目前为止 的输出观 测 向量 、 一 、 二 及输入 向量 一 ， 一 、 … 来表示 ， 下 面 我们来推导多变 量系 统的最小方 差控 制律 。 当系统的参数 巳知 时 ， 被控系 统在 时刻的输出表示式可写成 一 ‘ 一 ， 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 一 ， 为了把上式 中右边 的第二项 随机噪 声 部分分解为独立于 及依赖于直 到 当前时刻为止的观 测值 的两部分 ， 引入下列分解式 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 一 ‘ 一 ‘ 一 。 一 ， 这 里 一 ， 。 一 … ， 一 ’ 一 ‘ 一 盆 … 一 一 今 ’ 利用 式 ， 则 式可 以改 写成下列形式 一 ， 一 ， 一 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 二 一 皿 一 ’ 再应用 及 式 ， 经 过 简单运 算后 ， 上式可 写成 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ‘ 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ ‘ 一 ‘ 上式 中的第三 项是 ， ， … ， 的线性组合 ， 是 不能 预 测 的 ， 具有 零均值 的高斯 独立 随机序列 ， 且 与所有的 ， 一 ， … ， 一 ， 一 ， … 相 互 独立 ， 又设 最优 输出的估计值为 ， 则 由输 出误 差 平 方和 为最 小 的性 能 指标 ‘ 式有 笼〔 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ’ 一 ‘ 一 ’ 一 ， 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 一 〕 以子一 ‘ 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 ’ 一 几 一 ’ 一 ’ 一 ， 一 ， 一 一 一 ， 一 〕 〔 一 ， 一 ’ 〕 一 ， 一 ， 〕 〔 一 ， 一 ’ 一 ， 一 一 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 〕 〔 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 一 ‘ 一 ’ 一 ‘ 一 ’ 一 ’ 一 盈 一 ‘ 一 一 一 〕 〔 一 一 ， 〕 〔 ‘ 一 ‘ 〕

d-1 =trQR+∑trG,rQG,R (9) i=1 1 式中 G(Z-)=G-1(Z-1)=I+G1Z-1+…+Ga-1Z-4+1 因此输出的最优估计值为 分(k+d/k)=yr=A-1(Z-)B(Z-)F-(Z-)C-(Z-)A(Z-)y(k) +G-1(Z-1)C-1(Z-1)B(Z-1)u(k) 而最小方差控制律便为 u(k)=B-1(Z-1)C(Z-1)G(Z-1)yr-B-1(Z-1)C(Z-1)G(Z-) A-1(Z-1)B(Z-1)F-1(Z-1)C1(Z-1)A(Z-1)y(k) (10) 对(10)式应用(6)式进行简单运算后可化简为 u(k)=B-1(Z-1)C(Z-)G(Z-1)yr-F-1(Z-1)G(Z-1)y(k) (11) 对于恒值控制系统而言，输出参考值yr e(k) 可认为零，此时的最小方差控制律(11)式便 可写成下列形式： u(k) u(k)=-F-1(Z-1)G(Z-1)y(k) 或F(Z-1)u(k)=-G(Z-1)y(k)(12) 对照单变量系统的最小方差控制律(2) 式，可以看出：它们具有相同的形式，因此 (2)式是最小方差控制律在多变量系统中一 种更一般表示式，多变量系统的最小方差控制 图2 框图如图2所示。 三、自校正调节器 当被控过程为一定常系统但参数未知，或者系统的参数随着过程的进行发生缓慢变化 时，这时要对过程进行控制，就必须先辨识系统的参数，然后再设计控制器进行控制。但自 校正调节器则把参数辨识与过程控制两者结合起来，它采用适当选择模型的形式和结构，应 用递推最小二乘法直接在线辨识控制器的参数，然后根据一 定等价原理用估计参数代替系统真实参数，进行在线控制， 被控过程 如此反复进行，以实现输出的最小方差控制。自校正调节器 u 的框图如图3所示，它由两部分组成：参数估值器和控制 器。 控制器 自校正调节器的基本算法，是把被控过程模型(3) 式写成予报模型(8)式的形式，这样就可以省去在每一 参数估值品 步递推计算中都要重复应用分解式（6)去计算最小方差 控制律的缺点，而直接从辨识中可得到控制器的参数，也就 图3 是说直接辨识控制器的参数，即可得到最优控制律了。设被 68

一 二 艺 己 ， 己 二 式中 一 ’ 一 ， 一 ， 一 ， … 一 一 ’ 因此 输出的最 优估计值为 产、 一 一 ， 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 ‘ 而最小方差控 制律便为 一 ’ 一 ， 一 几 一 ‘ 一 一 ‘ 一 ’ 一 ， 一 ’ 一 一 ， 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 对 式应用 式进行简单运算后可 化简为 一 ， 一 一 ， 一 ’ 一 一 ‘ 一 ‘ 一 ’ 对于 恒值控制系统而言 ， 输出参 考值 可认为零 ， 此 时的最小方差控 制律 式便 可写成下列形式 一 一 ， 一 ， ‘ ’ 或 ‘ 一 ， 一 一 ， 对照单变量 系 统的最小方差控制律 式 ， 可以看出 它 们具 有相 同 的形式 ， 因此 式是最 小方差控 制律在多变量系 统中一 种 更一般表示式 ， 多变量系 统 的最 小方差控 制 框图如图 所示 。 一 ’ 图 三 、 自校正 调节器 当被控 过程为一定常系 统但 参数未 知 ， 或者系统 的 参数随着过 程 的进 行发生 缓 慢变 化 时 ， 这时要对过程进行控制 ， 就 必须先辨识系 统 的 参数 ， 然后再设 计控制器进行控制 。 但 自 校正 调节器 则把参数辨识 与过程控制 两者结 合起来 ， 它采用 适 当选择模型 的形式 和结 构 ， 应 用 递推最小二乘法直 接在线辨识控制器 的 参数 ， 然后根据一 定 等价原理用 估计参数代替 系统真实参数 ， 进行在线控 制 ， 如此反 复进行 ， 以实现输出的最 小方差控制 。 自校正 调节器 的框图如 图 所示 ， 它由两 部分组成 参数 估值 器 和 控制 器 。 自校正 调 节 器 的基 本算法 ， 是 把 被控 过 程模型 式 写 成予报模型 式 的 形式 ， 这样就可 以 省去 在每一 步递推 计算 中 都要重 复应用 分解式 去计 算最小方 差 控 制律 的缺点 ， 而直 接从辨识 中可得 到控 制器 的参数 ， 也就 是说直接辨识控 制器 的参数 ， 即可得到最 优控制律 了 。 设 被 被打艺生下呈 图

控过程（3)式的棋型可用下式表示： y(k+d)+A*(Z-1)y(k)=B*(Z-1)u(k)+e(k+d) (13) 上式中{ε(k)}是最小二乘估计的残差，当残差序列{e(k)}相互独立，且与随入序 列{u(k)}相互独立时，则最小二乘估计是无偏估计，反之当残差序列《(k}互相关时，' 最小二乘估计是有偏的，而A*(Z~1),B*(Z-1)是P×P维多项式矩阵，由下式给出： A*(Z-1)=A0*+A,*Z-1+…+An“Z-n B*(Z-1)=B。*+B*Z-1+…+Bm*Z-m (14) 仿照(8)式最小方差控制律为 B*(Z-1)u(k)=A*(Z-1)y(k) u(k)=B。*-1〔A*(Z-1)y(k)-B,u(k-1)-B,*u(k-2)-… B*u(k-m)) (15) 这里控制器的参数可直接由输入输出数据，应用递推最小二乘算法在线辨识获得，用估 计参数A。*,A*,…A。*,B,,…,B*直接代入即可。 利用递推最小二乘算法对多变量系统进行参数估计时，一般把系统分解为一个个子系统 来进行，即每一次估计一个子系统的参数向量日，(i=1,2…,p),每个向量，的估计，则 根据下列最小二乘准则进行： N Vw0,)=∑，) (16) k=1 取上式的最小值，就可以得到参数的最小二乘估计。需要指出的是：由于闭环系统的可 辨识性要求，裙要先固定一个系数阵，然后再辨识，一般令B。普不参加辨识，其大小可根据 经验与实验选取，以能保证估计的参数收歙为准。 多变量系统的递推最小二乘估计算法如下，设自校正调节器的参数矩阵 0r。(0,02,…0,)T =（A*,A*,…An*,B,*,…Bm*) 已知的输出及输入向量为 pr(k-d)△〔-yT(k-d),…,-yT(k-d-n),uT(k-d-1),…, uT(k-d-n)) 用递推最小二乘法在线辨识自校正调节器每一个子系统参数的计算公式可归纳如下， ,(k)=0,(k-1)+K(k)〔y,(k)-0,T(k-1)p(k-d)-B。()u(k-d) (17) K(k)=P(k-1)o(k-d)(+(k-d)P(k-1)o(k-d))- (18) P(k)=--(P(k-1)-P(k-1)(k-d)(X+9T(k-d)P(k-1) (k-d)]-T(k-d)P(k-1) 或 P(k)=-(I-K(k)T(k-d)}P(k-1) (19) 式中入为渐消记忆因子，初始条件可取 P(0)=YI, Y》1 p(0)=0 69

控过程 》 式的棋型可用下式表示 井 一 ， 璐 一 ， 。 七 上式中 。 卜是最小二乘估 计的残差 ， 当残 差 序列 毛。 卜相 互独立 ， 且与随入 序 列 相互独立时 ，了则最 小二乘估计是无 偏估计， 反之 当残差序列 《 。 互相关时 最 小二乘估计是有偏 的 ， 而 气 一 ’ ， 伙 一 ’ 是 维 多项 式矩阵 ， 由下式给 出 一 ， 。 补 一 一 ’ … 。 朴 一 一 ， 。 朴 朴 一 ， … 。 朴 一 仿照 式最 小方 差 控制律为 朴 一 ， 补 一 ’ 。 一 补 一 一 势 一 一 补 一 一 … 一 二 一 〕 这里控 制器 的参数可直 接 由输入 输出数据 ， 应用 递推最小二乘算法在线辨识获得 ， 用 估 计参数 。 赞 ， 气 … 气 气 一 ， 沪直 接代入 即可 。 利用 递推 最 小二 乘算法对多变量系 统进 行参数估计时 ， 丫般把系统分解为一个个子系统 来进行 ， 即每一次估 计一个子系统的参数向量 ‘ ， 二 ， ， 每个向 的估计 ， 则 根 据下列 最小二 乘准则进行 《 ， ‘ 丁丁 一 乙 “ “ 七 ， 取 上式的最小值 ， 就可 以得到参数的最小二乘估计 。 需要指 出的是 由于 闭环系统 的可 辨 识性要求 ， 需要 先 固定一个系数阵 ， 然后再辨识 ， 一般令 。 补 不 参加辨识 ， 其大小可根 据 经验 与实验选取 ， 以能保证 估计 的参数收欲为准 。 多变量 系统 的递推最 小二乘估计 算法如下 ， 设 自校正 调节器 的参数矩 阵 。 ， … 。 朴 ， ， … 。 气 气 … 长 已知的输 出及输入 向量为 甲 一 立 〔 一 一 ， … ， 一 一 一 ， 一 一 ， … ， 一 一 用 递推最 小二 乘法在线辨识 自校正调节器 每一个子系统参数 的计算公 式可归 纳如下 盯 犷卜 〔 ‘ 一 献 卜 甲 卜 一 。 《 ‘ 》 。 卜 〕 一 甲 一 〔 入 甲 一 一 甲 一 〕 一 ， 一 奈 一 卜 一 甲 一 〔 入 甲· 一 一 甲 一 〕 一 ’ 甲 一 一 或 式 中 一 资 一 、 一 ， 一 ， 一 入为渐 消 记忆 因子 ， 初 始条件可取 丫 ， 》 甲

从上述递推计算公式可看出：P维多变量系统的参数估计是分成p个子系统来进行的， 计算中均假定P(k)的初始条件相同，即对于所有的参数向量6，来说，其相应的增益向量 K(k)均相等，这样做可以有效的节约计算时间。将所估：计的参数代入调节器中，即得到 自校正调节器。 四、举 例 下面应用上面推出的多变量最小方差控制律的算法来计算两个实例，并给出仿真结果。 例1.设被控系统模型方程为 y(k)+A1y(k-1)=B。u(k-2)+e(k) 其中 A,÷/-0.1 0.5 B。=I,C=I 0.3-0.2 先确定F(Z-),G(Z-) 利用分解关系式(6) C(Z-1)F(Z-1)=A(Z-1)G1(Z-1)F(Z-1)+Z-B(Z-1) 有 F。+F:Z-1=(1+A1Z-)(1+G1Z-1)(F。+F,Z-1)+Z-B。 解得 g=(0,7-0.s) 0.2 4500 F。=-(A1G)-B。= /1900 \27006400 F=0 /1900 4500 F(Z-)=F。= \270064007 z--02-y=1+2-1+(090 ,-0.5}21 于是最小方差控制律 F(Z-)u(k)=-G(Z-)y(k) 将参数代入有 (8-(g88)小-w 0.7-0.5 上述控制律对应于下述模型方程 y(k+2)+A,y(k)=u(k)+B,*u(k-1)+e(k+2) 其自校正调节器方程为 (I+B,Z-1)u(k)=A,y(k) 70

从上述递推计算公式可看出 维多变量系统的参数估计是分成 个子系统来进行的 ， 计算中均假定 的 初始条件相 同 ， 即对于所有的 参数向量 ‘ 来说 ， 其相应 的 增益 向最 均相等 ， 这样做可 以有效的节约计算时间 。 将所估 计的参数 代入 调节 器 中 ， 即得 到 自校正 调节器 。 四 、 举 例 下面应用 上面推 出的多变量最小方差控制律 的算法来计算两个实例 ， 并给 出仿真结果 。 例 设被控 系统模型方程为 一 。 一 其 中 一 一 ， 。 二 ’ ， 一 ’ 先 确定 一 ， ， 一 ， 利用 分解关系式 一 ’ 一 ， 二 一 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 一 有 。 一 一 一 ， 一 ， 。 一 ， 一 ， 。 解得 ， 二 【、 一 一 。 一 一 ， “ 一 ” 。 一 、、 产 一 ， 一 一 ， 一 【 一 于是最小方差控制律 一 一 一 皿 将参数代入 有 一 一 卜 一 一 一 · ‘“ 一 ‘ ’ 、 一 几矛 、 上述控 制律对应于下述模型方程 价 份 一 其 自校正调节器方程为 一 ， 一

图中A1、B,即A◆、B: 1 1.0 0.5 a2 0.5 a:1 102030405060k : 102030405060 bit bit -0.5 0.5 (a)A,参数估计值 -1.0 h)B,参数估计值 -1.0 图4 J:(k) ",(k) 130140k f a(k t 特当 (k) 图5 71

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参数的最优值为 A- -0.64 045) 0.7-0.5 0.27-0.19/ B-( 0.2 仿真结果示于图4、5、6中，图4表明自校正调节器的参数是收歙于最优值的。 A,*= -0.64 0.499 0.2702-0.1899/ -（-0.297 0.6952-0.4951 0.1997 图5是自校正调节器输出的波动情况。图6是自校正调节器的损失函数 N V=∑yr(k)y(k) k=1 V: 600 500 400 300 2004 400 k 102030405060708090100110120130140 图6 例2.某一电加热炉的模型已通过离线辨识获得为 y(k)+A1y(k-1)+Aay(k-2)=B。u(k-2)+B:u(k-3)+e(k) 其中 -0.0693 -0.13517 -0.17917 -0.37926 A,= A:= \-0.02127 -0.33841 0.0056 -0.42197 0.35845 0.20995 0.09168 0.09971 B,= B1= 0.24694 0.23276 0.04533 0.09884 C=I y、y:为炉子上、下两端反映温度大小的输出电压， u1、“,为炉子上、下两端输入讯号电压 采样时间间隔为5分钟，采用自校正调节器进行在线控制，我们利用所给出的多变量系 统最小方差控制律算法进行了理论计算，并用此结果进行了仿真研究，所得结果示于图7、 8中。 控制律为 F(Z-1)u(k)=-G(Z-)y(k) 7?

、 ‘ 、 ︸︸ 勺曰岭， 一 八︸ ， 一 ‘、、夕 一 铃舀‘ 参数的最优值为 仿真结果示于图 ’ 一 中 ， 一 一 。 几了、、 一 图 表 明 自校正 调节器 的参数是收欲于 最 优值的 。 一 ， 民一 一 一 ，、了、 图 是 自校正 调 节器 输出的 波动情况 。 图 是 自校正调 节器 的损失函数 艺 ’ 哎臼介，‘ 八︸‘ 八八臼甘 ，‘ 介八甘 盛﹄ 左矿从厂而 而 而飞万万犷丽 百 。 一 一‘ 一一 图 例 某一 电加热炉的模型 已通过离线辨识 获得为 一 一 。 一 一 其 中 一 一 一 一 。 、、 一 、声万、 ﹃ 、、 一 一 了、 、 二 一 几了、了 二 耳 、 为炉子 上 、 下 两端反映温度大小的输出 电压多 、 为炉子 上 、 下 两端输入讯 号 电压 采样时间间隔为 分钟 ， 采用 自校正调 节器进行在线控制 ， 我们利用所给 出的多变量系 统最小方差控制律算法进行 了理论计算 ， 并用 此 结果 进行 了仿真研 究 ， 所得 结果 示于 图 、 中 。 控制律为 一 甲 一

由恒等式 C(Z-1)F(Z-1)=A(Z-)G1(Z-1)F(Z-1)+Z-tB(Z-1) 其中 F(Z-1)=F。+F,Z1+F,Z-2 G(Z-1)=I+G1Z1 代入有 I(F。+F,Z-1+F,Z-2)=(I+A,Z-1+A:Z-) (I+G,Z-)(F。+F,Z-1+F,Z-)+Z-2(B。+B,Z-1) 式中 G1(Z-)=I+G1Z-1 展开后解得： G1=-A,= /0.0693 0.13517 0.021270.33841 /0.86490.1219316、 F。=(A2-A1B1= 0.45350.43167 0.141120.0102 F,=(A2-A:)-1(B:-AAF）=（-0.0499 0.06776 F=-(A,2-A1A:A1F1=（ -0.000115-0.014686 0.0109 -0.017936 故有 0.0693 0.13517 G-1(Z)=G(Z-)=1+ Z-1 0.021270.33841/ /0.86490.1219316 0.141120.0102 F(Z-1)= )Z-i 0.45350.43167 0.06776 /-0.000115 -0.0144686 + 2-a 0.0109 -0.017936 此例中的最小方差控制律为 F(Z-1)u(k)=-G(Z-1)y(k) 通过运算后可解得如下控制律 0.86490.1219316 u(k)+ /0.493720.059）uk-1) 0.45350.43167 \0.134990.24375/ 0.0752-0.00802 x.0000M 小--(}， 0.018564 +~0.3384 0.13517 y(k-1) 0.02127-0.0693 73

由恒等式 一 ， 一 ’ 一 一 工 一 一 二 一户 一 主 其 中 一 一 ’ 。 一 ， 一 一 代入有 。 一 ‘ 一 一 ， 一 氏 一 ‘ 。 一 ‘ 一 一 ， 。 一 ， 式中 宁 ‘ 一 “ 展开后解得 截 一 。 一 一 一 ‘、了、 一 一 一 ‘ 一 。 、 一 。 一 一 一 、 一 一 念 一 一 ‘ 故有 二 ︸ 、、 、 一 ， 一 一 二 一 、、刀 八 甘︸ ，二斑 组任 口上 甘人‘ 自 甘一 ︸ 内二 月八甘‘ 丹乙八了 一 犷‘、 ‘ 、、 ‘ 一 ” 一 、、 一 一 、 。 义 。 。 。 一 。 · 。 此例 中的最小方差控制律为 一 ‘ 一 一 通 过运算后可解得如下控制律 · ‘ ， 一 、矛 、产 、 一 一 、户 一 一 一 、 一 一 · 一 ‘ 一 矛了

可改写成 1.3572 0.38337 u(k)= 1.42587 -2.71938 y)+( -0.46744 0.21 y(k-1) 0.5406 -0.38187 0.618325 0.01215v -0.1021 0.018 0.33689-0.57734 u(k-1)+( u(k-2) 0.1075245-0.061998 以上述控制律对应的模型方程为 y(k+2)+A:y(k)+A2*y(k-1)=B。*u(k)+B,*u(k~1) +B2*u(k-2)+e(k+2) 其调节器方程为 (B。*+B:*Z-1+B2"Z-2)u(k)=A:*y(k)±A2*y(k-1) g y:(k) m a(k) 图7 销 260 高 1o 60 20 0 动动布前的一0的前前000就 10 图8 74

由恒等式 一 ， 一 ’ 一 一 工 一 一 二 一户 一 主 其 中 一 一 ’ 。 一 ， 一 一 代入有 。 一 ‘ 一 一 ， 一 氏 一 ‘ 。 一 ‘ 一 一 ， 。 一 ， 式中 宁 ‘ 一 “ 展开后解得 截 一 。 一 一 一 ‘、了、 一 一 一 ‘ 一 。 、 一 。 一 一 一 、 一 一 念 一 一 ‘ 故有 二 ︸ 、、 、 一 ， 一 一 二 一 、、刀 八 甘︸ ，二斑 组任 口上 甘人‘ 自 甘一 ︸ 内二 月八甘‘ 丹乙八了 一 犷‘、 ‘ 、、 ‘ 一 ” 一 、、 一 一 、 。 义 。 。 。 一 。 · 。 此例 中的最小方差控制律为 一 ‘ 一 一 通 过运算后可解得如下控制律 · ‘ ， 一 、矛 、产 、 一 一 、户 一 一 一 、 一 一 · 一 ‘ 一 矛了