刚塑性有限元解题法的改进及在轧制中的应用

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.04.009 北京钢铁学院学报 第9卷第4期 Journal of Beijing University Vol,9 No.4 1987年10月 of Iron and Steel Technology 0ct.1987 刚塑性有限元解题法的改进 及在轧制中的应用 硕卓 贺毓辛 (压力加工系) 摘 要 本文对刚塑性有限元的初速度场及收敛性进行了专门的研究和改进。用于解决 轧制工程问题，计算精度较高、CPU时间铰少，它是一种可靠的理论分析方法. 关键词：刚塑性有限元法，轧制，初速度场，收敛性 Improvement on the Rigid-Plastic Finite Element Method and Its Application in Rolling Engineering Gu Zhuo He Yuxin Abstract Rigid-plastic Finite Element Method RFEM)is non-lincar,so it is necessary to give a good initial velocity field and to ensure for evaluation. Ori K.I.proposed "function G"to determine the initial velocity field, but he didn't make a through analysis,Newton-Raphson method is gene- rally used in RFEM,but it has some drawbacks: 1 it is possible to deverge during itterating;and 2 )the step is difficult to determine,so that the calculating time is increased. In order to overcome the drawbacks above mentioned,we advanced a new 1986-06一02收 57

冲 第 卷第 期 年 月 北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 。 卜 刚塑性有限元解题法的改进 及在轧制中的应用 硕卓 贺毓辛 压力加工系 户 摘 要 本文对刚塑性有限元的初速度场及收敛性进行了专门的研究和改进 用于解决 轧制工程问题 ， 计算精度较高 ， 时间较少 ， 它是一种可靠的理论分析方法 关镇词 刚塑性有限元法 ， 轧制 ， 初速度场 ， 收敛性 一 目 “ “ 万 ‘劣 ” 一 一 ， 。 。 “ ， ， 一 ， 多 ， ， ， 一 一 一玫稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．04．009

method-penality method of function G and carried on a detail analysis, As iteration method the Gill-Murrary mothod (improved Newton method) is used instead of Newton-Raphson method and the linear search is made by 0.618 method, The RFEM program is worked out for calculating parameters of pla- stic working processes.The calculating results obtained in studying roll- ing process coincide with the:expefimentar data.The'research shows cle- arly that the improved RFEM method is satisfactory for analysing plastic working problems. Key words:rigid-plastic finite element method,rolling,initial velo- city field,convergence. 前 言 近年来，随着电子计算机的普及，许多计算方法已引入到塑性加工中来，1973年小 林史郎(1)推出了刚塑性有限元的矩阵表达式，这个方法已在塑性加工中有了许多运用， 如计算轧制压力、力矩〔2,3)，以简化的三维单元模拟钢锭的动态轧制4)等。 刚塑性有限元法以虚功原理为基础，能量做泛函，速度“为未知量，即： 中()=Svoedy-∫srTi4:ds (1) 式中σ、e分别为等效应力和等效应变速率，V为体积，T为已知边界的应力，5r与“分 别为已知应力边界的表面与速度。 第(1)式中各项的物理意义为：第一项表示变形能，第二项是外力所做的功。以 其为基本式，引入体积不变约束条件求最小值而得到问题的真实解。因引入体积不变条 件的方法不同有三种不同的刚塑性有限元法：Lagrange乘子法、罚函数法、可压缩法。 这几种方法在使用中都存在着一些问题和困难：泛函④与引入的体积不变约束都是非线 性的，进行优化求最小值时必须迭代求解。减少迭代次数和时间需要给出一个较好的初 速度场，为了保证计算的可靠性，必须采用有严格数学证明的方法。虽然上述两个问题 已有一些解决方法，但在使用中，由于塑性加工问题大多是3维问题，用刚塑性有限元 法求解单元多、节点多。这些方法求解难以收敛，机时长且不可靠，特别是轧制问题， 边界较复杂，在实际中很少用于？维问题。为了将有限元法广泛应用于塑性加工，必须 解决这些问题。 本文专门对刚塑性有限元的初速度场及收敛性进行了研究和改进，用改进后的方法 编制了程序对高件轧制的3维变形进行了模拟，对平辊薄件轧制（平面问题）进行了计 算。 1初速度场的设定 森谦一郎(5)等对可压缩材料的刚塑性有限元法提出了以G函数求初速度场的方法， 58

一 。 一 一 以 飞旋 一 圣 ， ‘ 誉 ‘ 奋 几 补 ’ ‘ 电 ， ‘ 一 ， ， ， 月 舌 近年来 ， 随着 电子 计算机的 普及 ， 许多计算方法 己 引入 到塑 性加工 中来 ， 年小 林史郎巾 推出 了刚 塑 性有限元 的矩 阵表达 式 ， 这 个方法 已在 塑 性加工 中有 了许多运用 ， 如计算轧制压 力 、 力矩〔 “ ， 〕 ， 以 简化的三维单元模拟钢锭 的动态轧制 印等 。 刚塑性有限元法以 虚功 原理 为基础 ， 能 量做泛 函 ， 速 度 为未知 量 ， 即 巾 厂 一 ， 式 中石 、 秘别为等效应 力 和等效应 变速率 ， 为体积 ， 云为 已知 边 界的应力 ， 与。 分 别为 已知应力边界的表 面与速 度 。 第 式中各项的物理意义 为 第一项表示 变形 能 ， 第二项是 外力所 做的功 。 以 其为基本式 ， 引人体积 不变约束条件求 最小值而得到 问题 的真实解 。 因引入体积 不 变条 件的方法不 同有三种 不 同的刚塑 性 有限元法 乘子法 、 罚 函数法 、 可压缩法 。 这几种方法在使用 中都存在着 一些 问题 和 困难 泛 函中与引人的体积 不 变约 束都是非线 性的 ， 进 行优 化求 最小值时必须迭 代求 解 。 减 少迭代次 数和时 间需 要给 出一 个较好 的初 速度场， 为 了保证 计算的可靠性 ， 必须采用 有严格数学证 明的方法 。 虽然上述 两个问题 已 有一些解决方法 ， 但在使用 中 ， 由于塑性加工 问题大 多是 维问题 ， 用刚塑性有限元 法 求解单元 多 、 节 点多 。 这些方法 求解难以收敛 ， 机时长且不可靠 ， 特别是轧制问题 ， 边界较复杂 ， 在实际 中很少用于 维问题 。 为 了将有限元法 广泛应用 于塑 性加工 ， 必须 解决这 些问题 。 本文专门对刚 塑性 有限元的 初速 度场及 收 敛性进 行 了研究 和改进 ， 用改进后的方法 编制 了程序对高件轧制 的 维变形进 行 了模拟 ， 对平辊 薄件轧制 平面 问题 进 行 了计 算 。 初速度场的设定 森谦一 郎〔 〕 等对可压 缩材料 的刚塑 性有限 元 法提 出 了以 函数求初速 度场 的方法

所设G函数的形式为 M M2 M3 G= ∑(oeV)2+∑（x·Vu·s)2±∑(T::)2 (2) n11 n=1 m=1 式中：x为摩擦边界的摩擦力，△v为工件与工具的相对速度。v:为表面节点速度。M1 为总单元数，M2为有摩擦力的单元数，M3为有外力的表面单元数。正负号视T::值而 定，若T::>0为负，反之为正。 认为G函数中各项是泛函： Φ=vvedV+ .r…adg-Jw. (8) 中各项的平方和，使G为最小的速度场接近于使泛函中最小的速度场。设立的G函数是 一个二次函数，用Newton法求解，只须一次计算即可求得G的最小值。白光润r6)等用 有限元计算三维问题时也应用了G函数。但是，从森等所设的G函数可看出，在每个单 元中，将o、ε视为常量时才能运用。这与大多数实际问题不相符。另外，对G函数在实 际中运用时，什么条件下能得到接近真实解的初速度场，设有进行深入的讨论。 本文采用的是罚函数法，设泛函为 o-∫oay+∫s.r…ads-∫s,Tids+%(∫vdr）° 式中M是一个大的正数，称为罚函数因子，εv为体积应变速率。 在森谦一郎G函数的基础上，我们提出了罚函数的G函数。设： o=g小a)'+三(…a)广±三不ao） (6) 式中的σ、ε等均为速度的函数，这样G函数就带有普遍性。为了使(5)式对任意节点 的等参单元均能使用，本文以矩阵推导使用公式。 设}=〔B)《a,〔K)=〔B)〔B,{R}=∫T(N)d, {Q}=∫va〔B)rds(C}d,则e=(号{u}〔K){u})古 式中：〔B〕为应变矩阵；{“}为节点速度列阵，{C}为常数矩阵，在三维问题时为 (1,1,1,0,0,0)T,〔N)为形函数。 为求解轧制问题，设座标如图1所示。山图可知： {△v}=(wx-vcos0,vy,vz+vin0)T。 式中：vx、,、vz为轧件与轧辊接触面上某点的三个速度分量，v为轧辊线速度，为该 点的夹角。 59

所设 函数的形式为 斌 一 － 一 － 一 艺 厂 “ 艺 · · 士 艺 一 一 卜 式 中 为摩擦边 界的摩擦力 ， △ 为工 件与工具 的相 对速度 。 。 ，为表面 节 点速 度 。 为总单元 数 为有摩擦力的单元数， 为有外力的表面单元 数 。 正负 号视 ，值而 定 ， 若 为负 ， 反 之为正 。 认 为 函数中各项是 泛 函 ， 声 犷 丘二 △·‘一 。 了一 ‘ · 中各项的平方和 ， 使 为最小 的速度场接近 于使泛 函中 最小的速度场 。 设立 的 函数 是 一个二次 函数 ， 用 法求 解 ， 只须一次计算即可求得 的最小值 。 白光润卿 等 用 有限元计算三维问题 时也应用 了 函数 。 但是 ， 从森等所设的 函数可看 出 ， 在每 个 单 元 中 ， 将 、 。 视为常量 时才能运 用 。 这与大 多数实际问题 不相符 。 另外 ， 对 函 数在实 际 中运用 时 ， 什 么 条件下能得到接近 真实解的初速度场 ， 没 有进行深 入的讨论 。 本文采 用 的是 罚函数法 ， 设泛 函 为 ， 丁 ‘ 昆 丁二 △· ‘一 。 厂一 ‘ · 一养 一 二 · ‘ 厂 式 中 是 一 个大的正 数 ， 称 为 罚函数因子 。 为体积应变速率 。 在森谦 一 郎 函数的基础上 ， 我们提 出了罚 函数的 函数 。 、， 、 ‘ 、少 崖丁 几 ￡ 厂 、 “ 瞥 ， 少 十 ， 雇 ‘ 二 · 。 艺 ” 留二二 “ … ‘别卜七、 一 、 艺 诊留二二 汽 、 二 · 厂 式 中的 、 石等均 为速度的 函数 ， 这 样 函数就带有普遍性 。 为 了使 式对任意节点 的 等参单元 均能 使用 ， 本文以 矩阵推导 使用公式 。 设 八卜 〔 。 〕 、 · ， ， 〔 、 卜 〔 〕 〔 。 〕 ， 、 卜 丁 。 式 〔 、 〕 ‘ 一 ， 丁 〔 〕 · · 一 贝。奋已 ， 、 ， 、 气 百 戈“ ， ‘ 八 ’‘ 了 ， 式 中 〔 〕 为应 变矩 阵， 。 为 节点速度 列阵 为常 数矩阵 ， 在三 维问题时为 ， ， ， ， ， 〔 〕 为形 函数 。 为求 解轧制 问题 ， 设 座标如 图 所示 。 山图可知 一 ， 。 ， ， 。 式 中 、 。 ， 、 为轧件与轧辊接触 面 上某 点的 三 个速 度分 量， 。 为轧辊线速度， 为该 点的夹 角

图1计算的座标示意图 Fig.1 Schematie drawing of coordinate used in calculating 又设：{vo}=(-ucos9,0,si0)T,从有限元的基本公式可知：{△v}= 〔N){“}-{vo},这样，（5)式可表示为： G-((号(K)业) +三(s《a如ao)) M3 ±2{u}T{R}{R}T{w} 1T世压 +之，g{u)r(Q}{Q)r{u} + (6) 而(6)式的平方项在积分号内，不是二次函数，必须进一步简化。先以高斯积分法公 式引人(6)式再简化得： G=空(o空空支{u}tK){u}1J1HHiH) m=1 i=1j=1R=1 +竖2空名(N){u}-{})r n=1i=1j-1 M3 (〔N){u}-{oo})lJ2I2HH;±Σ{u}r{R}{R}T{u} 有12g】 M{ur1QiQ'w} +Σ m=1 2Vm (7) 式中：|J21,IJaI分别表示2阶与3阶雅可比行列式的值，H,H,Hx为高斯 积分的加权系数，1为高斯点数。 这样，G为{}的一个2次函数，在给定边界条件下一次即可求得最小值，得到初 速度场。 60

川月 图 计算的座标示意图 。 匕 一 又 设 。 。 一 。 ， ， ， 从 有限元 的基本公 式 可知 〔 〕 一 二 ， 。 。 ， 这 样 ， 式可 表示 为 丁沪 令 ‘ · ’ · 崖 丁 · 〔 、 〕 厦 一艺 、 一牙 犷 、 △。 △。 毛 艺 一 粤二 二一犷芬一 艺 厂 夏 夏 而 式的平方项在积分号 内 ， 不是 二次 函数 ， 必须进一步简化 。 先以 高斯积分 法公 式引人 式再简化得 艺 艺 艺 艺 蚤 〔 〕 。 食 贾 畏 万 艺 〔 〕 一 。 · 〔 〕 “ 一 。 。 贾 爹士 艺 “ 卜 “ 里、 艺 几 脚 丁 艺 式 中 ， 分别表示 阶与 阶雅可 比 行列式的值， 。 ， ， 为高 斯 积分 的加权系数 ， 为 高斯点数 。 这样 ， 为 。 的 一 不 次 函数 ， 在给定边界条件下 一次 即 可求得最小 值 ， 得 到 初 速度场

如果就这样给出初速度场，并不一定能够得到理想的接近真实解的结果。本文对G 函数进行了分析：G函数在公式中引人了体积不变条件作为约束，计算中令速度场满足 应变速率和速度的关系及边界条件，基本上得到的是一个运动许可的速度场：采用了有 限元的基本方法分割单元，变形体内各点连续。用G函数的目的是求初速度场，得到的 结果与给出的边界条件有关。如果给出速度边界条件，得到的速度场一般较好，如果给 出的应力边界或混合边界条件，虽然初速度场满足边界应力，但不满足应力与应变速率 的关系，这时的初速度场不一定满足边界的真实速度。又由于连续性，内部的速度场也 不一定接近真实速度场。实际的计算中证实了这个问题。 因此，在使用G函数时，尽可能给出速度边界条件。如果遇到应力边界条件和混合 边界条件，可根据实际问题，假设一个近似真实速度场的速度边界条件，代人求初速度 场，在随后的迭代中再精确满足真实应力边界或混合边界。 2收敛性的讨论 刚塑性有限元法求最小值的过程属于最优化技术中的非线性规划问题一等式约束 问题，即求解： minΦ(a) WEE 满足约束条件：ev1(a)=0 j=1,2,,M1。将约束条件引入泛函后， 变为无约束优化问题。在求最小值的过程中，常用Newton法进行迭代。这种方法的思 路是将中(4)用一个二次函数甲（山）来逼近。如果4：为中(4)极小点的一个近似点， 将中(4)在4K处做Taylor展开，且略去高于二次的项，得： 西()=p()=中(4k)+(#-)△(.) +女（4-)△2中(）(-) (8) 式中：△中(ux)为中(u)在4x点的梯度函数，V20(4:)为中(4)在u点的二阶导 数矩阵一Hessian矩阵，可以得知V2中(x)是对称矩阵。 取p(4)的极小点作为中(4)极小点的一个近似点4K+1,对(8)式必有： 7pk（4k)=0 (9) 从(8)式得： Vpk(.)=V中(k)+V2中(.）(a-) 代入（日）式： -=-〔v2中(4）〕-1v西() (10) 设： P.=-〔V2Φ(k)〕17φ(4.) 1) 61

卜 如果就这样给出初速度场 ， 并不一 定能够得到理想的接近真实解的结果 。 本文对 函数进行 了分析 函 数在公式 中引人 了体积不 变条件作为约束 ， 计算中令速度场满足 应 变速率 和速度的关 系及边 界条件 ， 基本上得到的是 一 个运动许可的速度场， 采用 了有 限元的基本方法分割单元 ， 变形 体内各点连续 。 用 函 数的 目的是 求初速度场 ， 得到 的 结果与给 出的边界条件有关 。 如果给 出速度边 界条件 ， 得到的速度场一般较好 如果给 出的应力边界或混合边界条件 ， 虽然初速度场满 足 边 界应力 ， 但不满 足 应力与应变速率 的关 系 ， 这时的初速 度场不 一 定满 足边 界的真实速 度 。 又 由于连续性 ， 内部的速度场也 不一 定接近 真实速度场 。 实际 的计算 中证实 了这个问题 。 因此 ， 在使用 函数时 ， 尽 可能给 出速度边 界条件 。 如果遇 到应 力边界条件和混 合 边界条件 ， 可根 据实际问题 ， 假设 一 个近 似真实速度场 的速度边界条件 ， 代 人求初速度 场 ， 在 随后 的迭 代 中再精确满 足 真实应力边界或混合边 界 。 收敛性的讨论 刚 塑性有限元法求 最小 值的过 程属于 最优 化技术 中的非线性规划 问题－ 等式约 束 问题 ， 即求 解 中 “ 〔 满 足 约 束条件 “ ， ， ” 一 ， 。 将约 束条件引 人泛 函 后 ， 变为无约 束优 化问题 。 在求最小 值的过 程 中 ， 常用 法进 行迭代 。 这种 方法 的 思 路是 将中 “ 用一 个二次 函数甲 来逼近 。 如果“ 为巾 极小 点的一个近 似 点 ， 将中 在“ 处 做 展开 ， 且略去 高于二次 的项 ， 得 中 自 甲 巾 “ 、 一 ， △少 、 于 一 。 △“ 中 、 一 式中 △中 “ 为巾 “ 在“ 点的梯度 函数， “ 少 七 为必 。 在 “ ， 点的 二 阶 导 数矩阵－ 矩阵 ， 可以得知 “ 巾 是 对称矩阵 。 取甲、 “ 的极小 点作为巾 “ 极小 点的一 个近似 点。 ‘ ， ， 对 式必 有 、 、声矛、 从 式得 甲 、 代 人 式 甲 。 “ ， 中 ， “ 中 一 ， “ 一 “ 七 一 〔 “ 巾 “ 〕 一 中 “ 。 设 尸 〔 少 ‘ 〕 一 巾 “ ‘

用Newton法迭代时： +1=+n户 (12) 式中：P为搜索方向，η为步长因子(0中(u,),迭代不收敛。 (3)选取步长因子门时应进行一维搜索，但有限元公式复杂，搜索很难进行，往 往凭经验给值。对于一个新问题，门很难寻找，儒需要花费很多时间。 这些问题是刚塑性有限元法的最大缺点，使得这种方法花费时间多而收效少。特别 对单元、节点多的计算更是如此。方法的不可靠性极大的限制了刚塑性有限元法的使 用。为此，本文对刚塑性有限元法引入改进的Newton法一一强迫正定法来改进收敛 性。 无约束最优化方法具有以下定理： 若目标函数f(x)的二阶Hessian矩阵Gk正定且梯度g:÷0,则由方程 GPx=-gx (13) 确定唯一的方向P,且这个方向是下降的。 证明如下：在定理条件下，方程(13)有且有唯一的一个解即P,=-G,9。令 x=云+nP=京-nGg: 用Taylor)展开式： f(x)=f(x)-+0(n2) (14) 知G正定，且， >0 当（14)式中的n取得充分小时，有f(x)<∫(x),证明了P=-G:'g是一个下 降方向。 强迫正定法的思路是当式(14)的G:不正定时，强令它改换一一个正定的矩阵M, 由方程 MP.=-g (15) 确定搜索方向。无约束优化方法可以证明这样的搜索方向所得到的序列x,收敛〔？)。 在式(15)中，M.=G。+D。其中D:为一对角矩阵，只要选取D对角线上的元 62

用 法迭代时 一 一 刀、 尸 式 中 尸为搜索 方向 ， 刀为步长因子 ” 《 ， 角标 表示 第 次 。 将 、 ， 作 为第 庵 次的初值代 入 ， 反 复迭代直至 收 敛为止 。 这就是 法的 基本方法 ， 这种方法 如果初速度场给 的较好 ， 收敛速度快 。 但它 存在以下 问题 若 〔 “ 必 “ 七 〕 一 ‘ 不存在 ， 无法求 出尸 、 ， 计算不能进 行 。 〔 巾 〕 一 ‘ 不正 定 ， 这 时求 出尸 、 的方 向不一 定为下降方向 ， 有 时 反 而使巾 寸 ， 中 瓜 ， 迭代不 收敛 。 选取步长因子刀时应进行一维搜索 ， 但有限元公式复杂 ， 搜索很难进行 ， 往 往 凭经 验给刀值 。 对于一个新问题 ， 时良难 寻找 ， 需 要花费很多时 间 。 这 些问题是刚 塑性有限元法的最大缺 点 ， 使得这种方法花 费时 间多而 收效少 。 特别 对单元 、 节点多的计算更是 如此 。 方法的不可靠性极大 的限制 了刚 塑性有限 元 法 的 使 用 。 为此 ， 本文对刚塑性有限元法 引人 改进 的 法－ 强迫正 定法 来 改 进 收 敛 性 。 无约束最优化方法具有以下 定理 若 目标函数 戈 的二 阶 “ ” “ 矩 阵 、 正 定且梯度 、 畴 ， 则 由方程 尸、 一 、 确 定唯一的方向尸、 ， 且这 个方 向是下降的 。 证 明如下 在 定理 条件下 ， 方程 有且有唯一 的一个解即尸、 一 、 一 ‘ 、 。 令 胜 用 展 开式 ” 、 七 一 月 一 夕、 蕊 且 ， 知 、 正 定 ， 二 、 一 月 夕、 · ‘ 一 ’ 、 月“ 、 · 石 ‘ 、 当 式中的月取得充分小 时 ， 有 、 降 方向 。 ， 证 明 了尸 、 一 石‘ 、 是一 个下 强迫正 定法 的思 路是 当式 的 ，不正 定时 ， 张令它 改换一 个正 定的矩阵 ，， 由方程 、 ‘ 一 ， 确 定搜索 方 向 。 无约 束优 化方法 可以证 明这 样的搜索 方 向所得到 的序列 、 收 敛〔 〕 。 在 式 中 ， 、 ， 十 。 其 中 ， 为一对 角矩 阵 ， 只要选 取 、 对 角线 上 的元

素适当，总可保证M正定c)。在计算中，对M.的选取采用了强迫正定的Colesky分 解。 刚塑性有限元法引入这种方法迭代，具有以下的优点： （1）每次选代都朝着下降方向，保证泛函功中(+1)<中(4。)。 (2)步长因子门容易选定。定理指出：只要n充分小，总可保证目标函数下降， 而我们又知道，原来的速度矢量“.加上一个增量之后才可能下降，门：在(0.1)之间，可 以两边向中间进行搜索。对有限元这类复杂问题快速的确定可以大大减少计算时间。 本文采用了0.618法进行搜索。 3改进后的刚塑性有限元法的实际运用 对塑性加工问题用这种方法进行了计算。 用8节点等参单元，对高件轧制从咬人到轧制建成过程进行了3维模拟8)，得到了 轧制过程中轧件的几何外形，求出了稳定轧制时的应力应变场、总轧制力等。在本院 中320两辊轧机上进行了试验，对计算结果进行了验证。试验材料用铝，应力应变关系 为： 0=2.28+15.12×(e-0.002)0·282 kg/mm2 计算及试验的工艺参数见表1。 表1高件轧制模拟工艺参数 Table 1 Rolling parameters of thick rolled-piece used in calculating H(mm) h(mm) %() B(mm) D(mm) I(m▣) 1/h v(m▣/) 29.9 26.7 10.7 40.8 170 16.15 0,564 89 计算的外形为：轧件头部在轧向呈双 鼓形而在宽向呈单鼓形，稳定轧制时 轧件宽向呈双鼓形。图2是实际轧件 的照片，可看出宽向计算结果与实验 结果定性一致。图3是稳定轧制时轧 件宽向尺寸，可看出计算结果与实测 图2：轧件宽向形状：·)头部：b)稳态时 定量上基本一致。图4是计算的等效 Fig.2 Contour of rolled piece a)front end, 应变速率场，图5是云纹试验结果。 b)steady state 从两图可看出计算与实验的变形区定性一致。表2是高件轧制的部分计算与实测结果比 较，可看出轧制力、变形与实测一致。 63

素适 当 ， 总可保证 、 正定〔 〕 。 在计算中 ， 对 、 的选取采用 了强迫正 定的 分 解 。 刚塑性 有限元法 引人这种方法迭代 ， 具 有以下 的优 点 每 次迭代都 朝着下降方 向 ， 保证泛 函功巾 。 十 中 。 、 。 步长因子” ，容易选 定 。 定理 指 出 只要刀 充分小 ， 总 可 保证 目标函 数下 降， 而 我们 又知 道 ， 原来的速度矢量“ ‘ 加上 一 个增量 之后 才可 能下降 ， ” 、 在 之 间 ， 可 以两边 向中间进 行搜索 。 对有限元这类复杂问题快速的确 定介、 可 以大大减 少计算时 间 。 本文采用 了 。 法进行搜索 。 改进后 的刚塑性有 限元 法的实际运 用 对塑性 加工 问题用这种 方法进 行 了计算 。 用 节点等参单元 ， 对 高件轧制从咬 人到轧制建 成过 程进行 了 维模拟〔 “ 〕 ， 得到 了 轧制过 程 中轧 件 的几 何外形 ， 求 出 了稳 定轧制 时的应 力应 变场 、 总轧制 力等 。 在 本 院 币 。 两辊轧机王进 行 了试验 ， 对计算结果进 行 了验证 。 试 验材料用铝 ， 应 力 应 变关 系 为 “ 一 。 ’ “ 加 计算及试验的工 艺参数 见表 。 表 高 件 轧 制 模 拟 工 艺 参 数 一 。 、 半 也 二 计算的外形 为 轧件头部在轧 向呈双 鼓形而在宽 向呈单鼓形 稳 定轧制时 轧 件宽 向呈双鼓 形 。 图 是 实际轧 件 的照 片 ， 可看 出宽 向计算结果 与实验 结果 定性一 致 。 图 是稳 定轧制时轧 件宽 向尺寸 ， 可看出计算结果与实测 定量上 基本一 致 。 图 是 计算的 等效 应 变速率 场， 图 是 云纹试验结 果 。 图 轧件宽向形状 · 头部 ‘ 稳态时 玉 ， 从两图可看 出计算与实验的 变形 区定性一 致 。 表 是 高件轧制的部分计算与实测结果比 较 ， 可 看 出轧制 力 、 变形 与实测 一 致

---Calculated --Mesured 13.35 0.83 10.05t 6,78 0.4 3.35= 1.2 0 12 19.8 20 Y 28.41533X Entrance Exit 图3稳定轧制时宽向尺寸 图高件轧制时等效应变速率图（阴影处为刚性区） Fig.3 Width of rolled-piece along Fig.4 Isopleth of effective strain-rate of thick the thickness in steady state rolled-piece 从以上比较可知：刚塑 性有限元法是一种很好模拟 3维轧制变形的方法。 用4节点等参单元计算 了平辊的同步与异步轧制 (平面问题)，求出了应力、 应变速率场，得到了轧制 力、单位压力和流体静压力 的分布，用计算结果对变形 图5高件变形云纹试验图（图中明暗交替的区城是已变形区）。 机理进行了分析。在本院4 Fig.5 Moire pattern of thick rolled-piece 辊轧机上进行实验验证，计算与试验的工艺参数见表3，结果比较见表4。从表4可知计算 结果与实测的一致。 表2高件轧制模拟计算结果的比较 Table 2 Comparison of theoretic and experimental values of thick rolled-piece Roll force,t Max.width iu steady state,mm Max.width of front end,mm Cale. Meas. Error Calc. Meas. Error Calc. Meas. Error 6.295 7.0111.38% 41.2 40.85 0.87% 41,6 41.30.721% 用本法计算了上述两类问题，计算结果令人满意，而每次计算必然收敛，保证了刚 塑性有限元法成为塑性加工中的一种可靠算法，计算速度也大大提高，如薄件轧制问 题，用4节点等参单元，总单元49个，总节点65个，在M150计算机上，采用双精度， CPU时间20~30min即可收敛。 64

才 一 一 别 。 三 五 ， 舀门︺︸一决，”， 图 稳定轧制时宽向尺寸 ‘ 。 五 一 ‘ 图 高件轧制时等效应变速率图 阴影处为刚性区 一 一 从以上 比较可知 刚塑 性 有限元法 是 一种很好模 拟 维轧制变形的方法 。 用 节点等参单元 计算 了平辊 的 同步 与 异 步 轧 制 平面问题 ， 求 出 了应力 、 应 变速率场 ， 得 到 了 轧 制 力 、 单位压 力 和流体静压力 的分布 ， 用计算结果对变形 机理进行 了分析 。 在本院 图 高件变形云纹试验图 图中明暗交替的区域是 已变形 区 。 一 辊轧机上进 行实验验证 ， 计算与试验的工 艺参数见表 ， 结果 比较见表 。 从表 可知 计算 结果与实测 的一致 。 表 高件轧制模拟计算结果的 比较 一 ， ， 吕 ， ， 压 一 。 二 书 。 ， 多 多 用本法计算 了上述 两类问题 ， 计算结 果令 人满意 ， 而每 次 计算必然 收敛 ， 保证 了刚 塑性 有限元法 成为塑性加工 中的一种 可 靠算法 ， 计算速度也大 大 提高 ， 如 薄 件轧 制 问 题 ， 用 节点等参单元 ， 总 单元 个 ， 总 节点 个 ， 在 计算机上 ， 采 用双 精 度 ， 时间 即可 收 敛

表3平辊薄件轧制时有限元计算与试验工艺参数 Table 3 Rolling paramcters used during calculating by FEM Samp!o 0 ED A △h Remar上a (血m) (mm) (mm) (mm》 (mm) (Calculate) =(%) 14● 110 1.25 1.09 0.16 0.23 12.8 NR 15◆ 110 / 1.25 0.87 0.38 .0.2 30.4 NR 28● 130/95 109.781.3684 1.25 1.12 0.13 0.23 10.4 AR 9● 130/95109.781.368」1.250.8650.385 0.2 30.8 AR 6● 120/105 112 1.1431.25 1.08 0.17 0.23 13.6 AR 1◆ 120/105 112 1.143 1.25 0.87 0.38 0.2 30.4 AR Equivaleut diameter=2D1.D2,(D1+D2)3 A-ARs rate diameter 表4平辊轧制薄件的有限元计算和实验结果比较 Table 4 Comparison of theoretic and experimental values Samples 140 15◆ 28● 9● 80 1° Rolling Calculated 8.110 13.93 5.891 10.834 7.177 13.636 load Moasured 9.449 15.582 5.714 12.376 8.512 13.759 EITOT() 14.2 10.5 2.6 12.5 15.7 0.89 Bend Calculaed 1 Down Down Up Straight direction Experimental Down Down Up Straight 4结 论 (1)本文推出了可用任意节点的罚函数刚塑性有限元法的G函数预先给出初速度 场。这种初速度场是运动许可场，求解过程中为了得到接近真实解的初速度场，最好给 出速度边界条件。 (2)刚塑性有限元法中应用了强迫正定的Newton法做收敛方法，可以保证方法 的可常性，加快收敛速度。 (3)改进的刚塑性有限元法是一种可靠的理论分析方法。计算精度，高对平面、 3维问题均可运用，适应性广。 参考文献 〔1〕小林史郎任：塑性之加工，153(1973)，770 2 )Li,G-J,S.Kobagash:J.Engr.Ind..1982),55 3 Shima,S.:Proc.4th.Inf.Conf.,Tokyo,1980),82 〔4)二阶堂英幸任力：塑性之加工，268(1983)，486 〔5)森谦一郎任：塑性加工，231（1980)，593 〔6〕白光润：轧钢理论文集（二），轧钢学术委员会，(1983)，5 〔7)邓乃扬：无约束最优化计算方法，科学出版社，(1980) 〔8)顾卓、贺毓辛：轧钢，1(1985) 〔9)顾卓：北京钢铁学院研究生论文，北京钢院，1985.5。 65

表 平辊薄件轧制时有限元 计算与 试验工 艺参数 二 一 口 △ 过 △ 一 一 ‘ ， 。 二 。 … 遥 舀山‘古心 ，舀。通甘‘，人 气 · ， 十 一 ， 。 也 飞 表 平辊轧制薄件的有限元 计算和 实验结果 比较 卜 ， 另 》 。 鑫 。 口 。 弓 。 飞 。 。 毛 。 。 ， 。 口 一 五 一 卜 目 结 论 本文推出 了可 用任意节点的 罚函 数刚 塑性 有限元法 的 函 数预先给 出初速 度 场 。 这 种初速度场是 运 动 许可场 ， 求 解过 程 中为了得到接近 真实解的初速度场 ， 最好给 出速度边 界条件 。 刚 塑 性 有限元法 中应 用 了强 迫正 定的 法 做收敛方法 ， 可 以保证 方 法 的可靠性 ， 加快 收 敛速度 。 改进 的刚 塑性 有限元法 是 一 种可靠的理 论分 析方法 。 计算精度 ， 高对平面 、 维问题均可 运 用 ， 适 应性广 。 参 考 文 献 〔 〕 小林史 郎 王力 、 塑性 己加工 ， ， 〔 〕 。 一 ， 。 ， 〔 〕 ， ， ， ， ， 〔 〕 二 阶 堂英幸 玉力 、 塑 性 之加工 ， ， 〔 〕 森谦一 郎 王力 、 塑性 己加工 ， 一 ， 〔 〕 白光润 轧钢理论 文集 二 ， 轧钢学 术委 员会 ， ， 〔 〕 邓 乃扬 无约 束最优 化计算方 法 ， 科学 出版社 ， 。 〔 〕 顾卓 、 贺毓辛 轧钢 ， 〔 〕 顾 卓 北京钢铁 学院研究生论 文 ， 北京钢院 ，