输入输出维数不等的多变量系统自校正控制器

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1985.03.021 北京钢铁学院学报 1985年第3期 输人输出维数不等的多变量系统 自校正控制器 自动控制数研宝 尹怡欣舒迪前 摘 要 本文讨论了输入输出维数不等的线性多变量系统自校正控制器的设计方法。 采用了对输出跟踪偏差量和控制输入量进行约束的二次型性能指标，最优控制律 将使这一性能指标取最小值。将最优控制律所满足的方程和辅助系统输出的最优 预报器有机地结合起来，得到适用于参数估计的方程，进而得到了自校正控制器 结构。应用这一控制器所得到的闭环系统，可以跟踪时变的参考信号，并且适用 于开环不稳定系统。 一、前 言 自从Astrom1)1973年首先提出单变量线性系统的自校正调节器(STR)以来，自校正 控制技术作为自适应控制的一个重要分支，获得了十分迅速的发展。从理论上，Clarke等 人提出了可以适用于非最小相位系统，并且可以跟踪时变参考信号的自校正控制器(2)。另 外还有一些作者也分别提出了极点配置，PID等各种形式的自校正控制算法。Borisson(3) 和Koivo(4则分别对多变量线性系统的STR和STC作了一些工作。Keviczky(5)和陈翰 馥c6)等人也各自提出了多变量系统的自校正控制算法。STR和STC在许多工业部门得到 了应用，如造纸机、混凝土搅拌机、油轮驾驶仪、精苯分馏塔、电加热炉等。 然而，多数文献都是针对输人输出维数相等的系统讨论的。但是，在实际工业过程中 还存在者更一般的、输入输出维数不等的系统。因此，针对这类情况，讨论自校正控制器 的应用是有着一定实际价值的。本文试图在这方面作一些探讨。 二、辅助输出的预报器结构 设线性离散时间多变量系统由下面的向量差分方程来描述： A(Z-1)y(k)=Z-B(Z-1)u(k)+C(Z-1)(k) (1) 78

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年 第 期 输入输出维数不等的多变量系统 自校正控制器 自动 控 制教研 室 尹 怡欣 舒迪 前 摘 要 本文 讨论 了输 入输 出维 数不 等 的 线 性 多变 量 系统 自校 正 控 制 器 的设 计方 法 。 米 用 了对输 出跟 踪 偏 差 量 和 控 制输 入 量 进行 约末 的 二 次型性 能指 标 ， 最 优 控制律 将 使这一 性 能指 标取 最 小 值 。 将 最 优 控 制 律所 满足 的 方 程 和 辅 助 系统 输 出的 最 优 预 报器 有机 地结 合 起 来 ， 得 到适 用 于 参 数估 计 的方 程 ， 进 而 得 到 了 自校 正 控 制器 结构 。 应 用 这 一 控 制器 所得 到 的闭环 系统 ， 可 以 跟踪 时变 的 参考信 号 ， 并且 适用 于 开环 不 稳定 系统 。 一 、 前 言 自从 〔 ‘ 〕 年首先提 出单 变量线 性 系统 的 自校正调 节器 以来 ， 自校正 控制 技术作为 自适 应控制 的一 个重要分支 ，获 得 了十分迅 速的发展 。 从理论上 ， 等 人提 出了可以适用 于非最小相位系统 ， 并且可 以跟踪时 变参考信号 的 自校正控制器〔 “ 〕 。 另 外还有一些 作者也分别 提 出了极点配置 ， 等各种形 式的 自校正控制算法 。 〕 和 〔 〕则分别对多变量线 性系统 的 和 作 了一些工作 。 〔 〕 和 陈 翰 馥〔 〕等人也各 自提 出了多变量 系统 的 自校正控制算法 。 和 在许多工 业部门 得 到 了应用 ， 如造纸 机 、 混凝土搅拌机 、 油轮驾驶仪 、 精苯分馏塔 、 电加 热炉等 。 然而 ， 多数文献都是针对输人 输 出维数相等的系统 讨论 的 。 但是 ， 在实 际工 业过程 中 还 存在着更一般的 、 输入输 出维数不等的系统 。 因此 ， 针对这类情况 ， 讨论 自校正控制器 的应用是有着一定实 际价值的 。 本文试 图在这 方面作一些 探讨 。 二 、 辅助输出的预 报器 结构 设线性离散时 间多变量系统 由下面的向量差分方程 来描述 一 一 一 一 息 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1985．03．021

其中，y(k)是p维输出向量，u(k)是q维输入控制向量，为保证输出可控性条件，限制P≤q, 并要求A(Z1),B(Z1)左互质；{(k)}为P维具有零均值和协方差陈R,的独立 同分布随机向量序列；Z1为单位时间延迟算子，即Z1y(k)=y(k-1);d-1为系统的 纯藩后时向，系数多项式阵A(Z),C(Z)∈R2,B(Z-)∈R,, PXq A(Z-1)=Ip+AZ-1+..+An.Z- B(Z-1)=Bo+BiZ-1+...BnZ- C(Z-1)=Ip +C1Z-1+.+CncZ-c 要求Bo是行满秩的，detC(Z1)的根在Z平面的单位圆内。 给定的性能指标为。 J=E{iP(Z-1)y(k+d)-R(Z-1)W(k)+Q'(Z-1)u(k)2) (2) 其中W(k)是P维参考信号向量，且可以是时变的；E{·}表示取数学期望；加权多项式 矩阵 R(Z,P(Z-)∈R2,Q(Z)∈R, P(Z1)=P0+P,Z-i+…+Pn,Z-apnp≤d-1 R(Z-1)=R0+R,Z-1+…+Rn,Z Q'(Z1)=Q'0+Q':Z-1+…+QnZ 要求P(Z1)稳定，P。非奇异。 定义辅助系统输出， (k)△P(Z1)y(k) (3) 引入多项式矩阵变换： A(Z-1)P(Z1)=P(Z1)A(Z1) C(Z-1)=P(Z-1)C(Z-1) (4) B(Z1)=P(Z1)B(Z1) 并满足detA(Z1)=detA(Z1),Ao=I。由多项式矩阵的伪交换定理11)可知，A(Z1), P(2-)∈R2X)是存在的，但是并不唯一。由于A=I,所以有P0=P, A(Z-1)=I+A]Z-1+.+An.Z- B(Z-1)=Bo+BiZ-1+..+Bns+npZ- (5) C(Z-1)=Co+CiZ-1+..+CncnpZ-+) C0=P0=P0 由此可以得到一个辅助系统（见附录A): A(Z-1)(k)=Z-dB(Z1)u(k)+C(Z~1)E(k) (6) 为得出由性能指标(2)式取极小值所确定的最优控制律，需要先求出辅助输出的最 优d步向前预报值°(k+d|k),这一预报值是(k),(k-1),yu(k),u(k一1)，… 79

其中 ， 是 维输 出向量 ， 是 维输入控制 向量 ， 为 保证 输 出可控性 条件 ， 限制 《 ， 并要求 一 ‘ ， 一 ‘ 左 互质 毛息 为 维具 有 零 均 值 和 协 方 差 陈 的 独 立 同分布随机 向量序列 一 ‘ 为单位时 间延迟 算子 ， 即 一 ’ 一 一 为 系 统 的 纯 滞 后 时 间 系数多项式 阵 一 ， ， 一 ， 。 妙 。 ， 一 ‘ 。 粼 ， ‘ 一 … 十 一 ” 一 一 一 … 、 一 “ “ 一 一 … 一 ” 要求 。 是行满 秩的 ， “ ‘ 的根在 平 面的 单位 圆内 。 给 定的性能指标 为 一 ‘ 一 一 ‘ 名 ‘ 一 廿 其中 是 维 参考信号 向量 ， 且 可以是 时变的 · 表示 取数学期望 加 权 多 项 式 矩 阵 一 ， 一 任 火 〔 一 〕 产 一 〔 〔 一 〕 一 一 … ， 一 ” 一 一 二 一 … ， 一 ’ 一 ‘ 产。 ‘ 一 一 、 … 。 一 吸 要 求 一 ‘ 稳定 ， 。 非奇异 。 定义辅助 系统输 出 吵 些 一 引入 多项式矩阵变换 一 一 一 一 一 二 一 一 … 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 并满 足 人 一 ‘ 一 ‘ ， 入。 二 。 由多项式矩阵的伪交换定理“ ‘ ，可知 ， 瓜 一 ， 民“ 一 ， 。 瑟厂 。 是存在 的 ， 但是并不唯一 。 由于兀。 一 ， ， 所以有，。 。 ， 一 一 二 一 十 ‘ ” · 一 ” 一 … 、 ， 一 ” 、 十 ” 护， 一 … ， 一 “ 十 ” 由此 可以得到 一个辅助 系统 见附录 ， 一 ‘ 砂 一 百一 一 ‘ 吸 一 ‘ 乙 为得 出由性能指标 式取极小值所确 定 的最优 控制 律 ， 需要先求 出辅助 输 出 的 最 优 步 向前 预 报值砂 ， 这一 预报值是 砂 ， 吵 一 ， …， ， 一

的函数。(k+d)的最优d步预器方程由下式给出（见附录B): (k+d1k)=C1(Z-1)[F(Z-1)B(Z-1)u(k)+G(Z-1)(k) (7) 负报误差为： (k+d)=(k+d)-°(k+d|k)=F(Z1)(k+d) (8) 利用(6)、(7)、(8)式，并使性能指标(2)式取最小值，就可以得出参数已知 时最优控制律ú(k)应满足的方程为（见附录C): BoT〔·(k+d|k)-R(Z1)W(k)〕+Q'TQ'(Z1)u(k)=0 (9) 由于B(Z1)不是方阵，且P≤q,所以一般地并不能象文献〔7〕那样简单地由(9)式 得出控制律的显式形式，继而直接用于自校正算法。那么，如何使(9)式所确定的控制律 u(k)能够用自校正算法来实现，是本文所要解决的一个问题。为此，我们先推导出基子 (7)式的闭环系统辅助输出的预报器模型，再由（9)式得出控制器的结构。 引入记号 C·(Z-1)=C(Z1)-C0 (10) 通常有C0-Po(见附录B)。方程(？)式可以写为 Co(k+d ]k)=F(Z-1)B(Z-1)u(k)+G(Z-1)(k)-C(Z-1)(k+dk) (11) 将(9)式变形为 (k+d k)=R(Z-1)W(k)-Q(Z-i)u(k) (12) 其中 Q(Z-1)=(BoB3)-1BoQo/TQ(Z-1) 注意，这里Q(Z)∈R2X,。 将(12)式代入(11)式，得 (k+d1k)=C01{〔F(Z-1)B(Z1)+C(Z1)Q(Z)〕u(k) +G(Z1)(k)-C(Z1)R(Z1)W(k)} (13) 从上式可以看出，由于应用了最优控制律(9)式，辅助输出的预报值不仅依赖于(k), (k1),,u(k),u(k-1),,而且还与参考信号W(k),W(k-1),…建立了直 接的关系。 定义 H(Z-)CF(Z-1)B(Z-1)+C(Z-1)Q(Z M(Z1)△Co1G(Z1) N(Z1)-C01C·(Z1)R(Z1) (14) 其中，HZ)ER2,MZ,NZ)∈R2, na=degH(Z1)=max〔n。+np+d-1,nc+np+ng] nm=degM(ZJ)=max〔n.-1,nc+np-1〕 n.=degN(Z-1)=nc+np+n. 80

的函数 。 功 千 的最优 步预器方程 由下式给 出 见附录 劝 一 ‘ 一 ‘ 〔 一 ‘ 爪 一 ‘ 一 ， 吵 〕 预报误差为 劝 劝 一 劝 二 一 ‘ 乞 利用 、 、 式 ， 并使性能 指标 式取最小值 ， 就可以得出参数已 知 时最优控制律州 应满足 的方程为 见附录 〔劝 一 一 ‘ 〕 。 了 ， 一 二 由于 一 ‘ 不是方 阵 ， 且 簇 ， 所以一般地并不能象文献 〔 〕 那 样简单地 由 式 得 出控制律的显式 形式 ， 继而直接 用于 自校正算法 。 那 么 ， 如何使 式所确 定的控制律 能够用 自校正算法 来实现 ， 是本文所要解决的一个 问题 。 为此 ， 我们先推 导 出 基 于 式的 闭环系统辅助输出的预 报器模型 ， 一 再由 式得 出控制器的结构 。 引人记 号 一 二 一 一 通常有 。 二 。 见附录 。 方程 式 可 以写 为 。 势 一 ‘ 一 ‘ 一 吵 一 一 ’ 吵 将 式变形 为 沪 一 ‘ 一 一 ‘ 一 二 。 吞 一 。 产 一 这里 一 ‘ 〔 〔 一 〕 注其意中 将 式代入 式 ， 得 功 ， 偏 一 ‘ 〔 一 ‘ 百 一 ‘ ， 一 ‘ 一 ‘ 〕 一 妙 一 一 一 从上式可 以看出 ， 由于应用 了最优控制律 式 ， 辅助输 出的 预报值不仅 依赖 于 砂 ， 功 一 ‘ ， …， ， 一 ， … ， 而 且还与参考信号 ， 一 ， … 建 立 了 直 接的关系 。 定义 一 立 会 。 一 〔 一 玉 艺 一 ’ 一 一 〕 一 △ 一 一 一 些 一 一 一 五 一 、 了 其中 ， 一 ‘ 〔 火 〔 一 〕 一 ， 一 〔 一 〕 、 二 一 二 〔 ， 、 ， 一十 一 ， 。 ， 。 〕 二 一 〔 一 ， 。 一 〕 。 一 主 二

这样，闭环系统辅助输出预报模型(13)式就可以写为 (k+d|k)=H(Z1)u(k)+M(Z1)(k)+N(Z1)W(k)=©p. (15) 其中 Θ=〔01,02，，0p〕tg(k+')p(nm*an+1)Xp =〔Ho,H,…,Hnh;Mo,M1,…,Mna;N1,N2,,Nn。〕T 7=[uT(k),uT(k-1),..,uT(k-n); 的T(k),中T(k-1),…,中T(k-nm)5 WT(k-1),WT(k-2),…,WT(k-na))1Xcq(na十1)十p(aa十n.+1) 当系统(1)式的结构参数为已知时（即，已知n,n,ne,d,P,q),则预报器模 型(15)式的结构参数n,n,n:就可以确定。在实际中，这些参数往往很难精确定出，因 此，通常是在辩识系统模型的基础上，通过仿其或实时控制来确定。 三、自校正控制器 前面求出了参数已知时，最优控制律所应满足的方程(9)式和辅助输出的最优予报器 (15)式。当系统参数未知或随时间缓变时，就需要用在线估计所得的参数来取代上面公 式中的已知参数。然而，如前所知，在应用(9)式和(15)式时，系统的结构参数应是 已知的。因此，以下均假定，系统的结构已被确定，从而预报器的结构（阶）也已知了。 由(8)式和(15)式可以得出 中(k)=⑥rpg-d+e(k) (16). 误差ε(k)和⊙？pκ-是不相关的。用多变量线性系统的递准参数估计算法对⊙作在线估 计，即可得到(Z1),f(Z1),(Z)。递推最小二乘法的公式如下： 6i(k)=-6i(k-1）+K(k)〔i(k)-0ir(k-1)pk-d〕 (17) 0i(k)∈RvX1 i=1,2,,p v=q(n:+1)+p(nm+n。+1) K(k)= PK-9K-d.— a+pR-oPx-1PK-d (18) K(k)为v×1维向量 Pk=1CPx-1-Px-g-9吸-PK-1一】 d a+pk-ePr-iPK-4 (19) 其中，α是指数遗忘因子，通常取值范0,9≤a≤1。 还可应用加平方根滤波的最小二乘递推算法在线估计参数，这种估计算法可以有汝地 克服由于计算机宇长限制引起的数值计算误差。一般来说，具有更好的精确性。平方根法 的公式如下： 0i(k)=i(k-1)+K(k)〔i(k)-0(k-1)pk-a) (20) i=1,2,,P K(k)=g/o3 K(k)为v×1维向量 (21) 81

这 样 ， 闭环 系统 辅助输 出预报模 型 式就可 以写为 势 ’ 一 ‘ 一 ‘ 价 一 ‘ 二 中 其 中 二 〔 ， ， … ， 口 。 〕 〔 。 。 ， 〕又 二 〔 ， ， … ， ， ， … ， 二 ， ， … ， 。 〕 切百 〔 ， 一 ， … ， 一 ， 劝 ， 功 一 ， … ， 势 一 。 一 ， 一 ， … ， 一 。 〕 义 〔 、 一 · 一 主 一 。 。 十 。 。 十 〕 当系统 式的结 构参数为 已知 时 即 ， 已知 ， 。 ， 。 ， ， ， ， 则 预报器模 型 式的结 构参数 ， 二 ， 就可 以确定 。 在 实际 中 ， 这些 参数往往很难精确定 出 ， 因 此 ， 通常是在 辩识 系统 模型 的从础上 ， 通过 仿真或实时控制来确定 。 三 、 自校正 控制器 前面求 出了参数 己知时 ， 最优控制律所应满 足 的方程 式和辅助 输出的最优予报 器 式 。 当系统 参数 未知 或随时 间缓 变时 ， 就 需要 用在线 估计所 得的 参数来取代上面公 式 中的 己知 参数 。 然而 ， 如前所知 ， 在 应用 式和 式时 ， 系统的结构参数 应 是 已知 的 。 因 此 ， 以下均 假定 ， 系统 的结 构 己被确定 ， 从而 预 报器的结构 阶 也 已知 了 。 由 式和 式可 以得 出 叻 切 十 。 误 差。 和 甲 是不相关的 。 用 多变量线 性系统 的递 推参数估计算法 对 作 在 线 估 计 ， 即可得到 一 ‘ ， 一 ‘ ， 一 ’ 。 递 推最小二 乘法 的 公式如下 八 一 〔 功 一 一 甲 一 〕 〔 ， ， … ， “ 、 二 。 甲 。 甲要 甲 一 、夕 ﹂ 一一一 一， 为 维 匀量 、 一 工 〔 ， ，切 甲泛 中盖 ‘ 一 、 甲 一 。 其 中 ， 是 指数遗忘因子 ， 通常取值范 围 簇 。 簇 。 还可 应用加 平方 根滤波 的最小二 乘递 推算法 在线 估计 参数 ， 这 种估计算法可 以 有效地 克服 由于计算机宇长限制引起 的数值计算误差 。 一 般 来说 ， 具 有更好 的精确性 。 平方根法 的公式如 下 色 二 卜 斗 〔 劝 一 一 切 一 。 〕 二 ， ， … ， 了 。 矛 为 、 又 维 向 量

g1 g11 g= g2 中 15 、g, 5v,1 h Gi i=j gi,1= (22) gi-1,i+hiGi) ij i=1,2,…,v j=1,2,…,i-1 -i G(ii) v a o i K-1 i=j GD)= (23) ,(Gi-h8i山L-) \√ao1 02:-1 ij i=1,2,gV j=1,2,,j-1 00=a (24) 10:2=02:-1+h: i=1,2,“,V i ti) (25) j=1 其中，(ij)表示矩阵的第i行，第j列号元素，(i)表示向量的第i个元素，a是指数遗忘因 子，取值范围0.95~1，一般取初值G0=cI,c是一个充分大的数。 用估计参数⊙可得(k+d!k)=@p,并代入方程式(9)式， Bot〔⑥rp.-R(Z1)W(k)〕+Q0Q'(Z-1)u(k)=0 (26) 注意到⑧的第一个子矩阵是在0=C10=P01PB0=Bo。所以，从(26)式中导出 u(k),便构成了最优自校正控制信号： u(k)=〔HHo+Q'Q'o〕1{〔〔R(Z)W(k)-©rp.') -Q'Q*(Z1)u(k)} (27) 其中©=〔直o,⑧·) pF=〔uT(k),pT〕 Q(Z1)=Q'(Z1)-Q'0 在(27)式中，Ho∈RX且p≤q,所以H。一般是奇异的。然而若适当地选择Q'o, 则可以使得〔宜。+Q'Q'。)为非奇异阵。当然，Q'(Z)将对闭环系统的动态响应 和稳定性产生一定的影响。 82

， 上 ‘子 一一 ‘ 、 ， 岌 ‘ ” 卜 ， 扮” ， “ ， 侧 留” 万了 ‘ ， 一 ， ，， 二 斗 “ ， 一 ， 七‘ 介卜 ， 一一 ，， 今 二 训 ， 一 二 二 之 ， 一 “ 丫了 了 二 其中 ， 表示矩 阵的第 行 ， 第 列号元素 ， 表示 向量的第 个元素， 是 指数遗忘因 子 ， 取值范围 一 ， 一般取初值 。 二 ， 是一 个充分大的数 。 六 入 用估计参数 可得 护 十 ，甲 ， ， 并代入方程式 式 〔 了 伊 一 一 〕 。 ‘ 尹 一 注意到 的第一 个子 矩 阵 是 。 一 ’ 。 。 ， 便构成 了最优 自校正控制信号 。 一 ， 。 百。 二 瓦 。 所 以 ， 从 式 中导 出 〔 认百认 。 、 ‘ 石 ‘ 。 〕 一 〔 白百〔 一 一 为 · ，甲 · 〕 一 石 产 ‘ 一 ‘ 其 中 〔 。 ， ， 〕 了 中百 〔 ，甲 百〕 ‘ 一 ‘ ’ 一 一 产 。 人 人 在 式 中 ， 。 〔 且 《 ， 所以 百 。 一般是奇异的 。 然而 若适 当地选 择 产 。 ， 则可以使得 〔 百 。 十 ‘ 石 ’ 。 〕 为非 奇异阵 。 当然 ， ‘ 一 ‘ 将对 闭环 系统的 动 态 响 应 和稳定性 产生 一定的影响

分析(27)式还可以看出，U.Borisson给出的多变量自校正调节器(3)是(27)式的 一个特例。事实上，取P(Z)=I,R(Z)=I,Q'(Z1)=O,且P=q,则方程（27) 式就可以变为 u(k)=Bo1〔W(k+d)-⑧rp'.) (28) W(k+d)=(k+d]k)=y*(k+d |k) (29) 这正是我们所熟知的最小方差自校正调节器的形式。 自校正控制器的设计、计算步骤如下： 0°，由已知的系统结构参数，确定最优予报器（15)式的结构（阶）。设定遗忘因子 和递推估计算法中的初始值。 1°，采入新的(k时刻)系统输出y(k)和参考信号W(k), 2°，计算辅助输出(k)=P(Z1)y(k),并由u(k-d),ur(k-d-1),…,T(k-d), pr(k-d-1),;WT(k-d),WT(k-d-1),…组成向量pK-a 3°，用递推最小二乘法(17)，(18)，(19)式，或平方根法(20)~(25)式估 计预报器模型（15)式的参数⑧(k), 4°，从⑧(k)中分离出日o(k)和⑧(k),并由(27)式计算新的控制信号u(k), 5°，置kk+1,转向1°。 四、实例仿真 例题设一两输出，三输入系统由下式给出 y(k)+A1y(k-1)=Bou(k-1)+(k)+C,(k-1) 其中 -0.9 0.51 1.00.750.5 A1= B0= 0.5 -0.21 （1.01.52,0 1-0.2 -0.4 C1= 0.2 -0.8 /0.10.0 E{5(k)}=0,E{E(k)5T(k)}=R,= 0.00.1 detA(Z1)=0的根是Z}=-16.576,Z}=0.8618,因此是一个开环不稳定系统。 选择加权多项式矩阵为 P(Z-1)=I2 np=0 R(Z1)=I2 n,=0 Q'(Z1)=0.1Is-0.113Z1 n=1 由所给系统的结构参数n,=1,n。=0,。=1,d=1和加权多项式阵的阶次np=0, n。=0,ng=1,可以计算出预报器模型的阶次为n。=2,n。=0,n。=1,即估计参数阵的 组成为⊙=〔Ho,H1,H2,Mo,N:)T。 83

分析 式还可 以看 出 ， 给 出的多变量 自校 正调 节器即是 式 的 一个 特例 。 事实上 ， 取 一 ‘ ， 一 ‘ 二 ， ‘ 一 ‘ ， 且 ， 则方程 式就可 以 变为 。 一 、 〔 十 一 ， ， 切 · 〕 即 二 势 这 正是 我们所 熟知 的最小方差 自校正调 节器的形式 。 自校正控制器 的设计 、 计算步骤如下 “ ， 由已知 的 系统结构参数 ， 确定最 优予报器 式的结构 阶 。 设定遗忘因子 和递 推估计算法 中的初始值 。 。 ， 采人新的 时刻 系统 输 出 和参考信号 “ ， 计 算辅助 输 出砂 一 ‘ ，并 由 一 ， 一 一 ， … ， 功 一 ， 切， 一 一 ， … 一 ， 丁 一 一 ， …组 成向量切‘ 一 。 ， 用递 推最小二 乘法 ， ， 式 ， 或平方根法 式估 计预报器模型 式的参数 ， 。 ， 从 中分 离 出介 。 和 ， 并 由 式计算新的控制信号。 ， “ ， 置 李 ， 转向 “ 。 四 、 实例仿真 例题 设一两输 出 ， 三输入系统 由下式给 出 一 二 一 七 ，色 一 其 中 一 。 。 。 。 。 。 一 。 。 。 一 。 。 一 。 一 。 ，确 、 一 七 ， 七 七 二 。 ’ 二 的根是 一 一 ， 一 二 ， 因此 是一个开环不稳定 系统 。 选择加 权 多项式矩 阵为 一 一 产 一 一 。 一 ‘ 。 二 由所给 系统 的结构参数 ， 、 二 ， 。 ， 二 和加 权 多项式阵的 阶次 。 ， 。 ， 。 二 ， 可以计算 出预报器模型的 阶次为 ， 二 ， 。 二 ， 。 二 ， 即估计参数 阵的 组成为 〔 。 ， ，， ， 。 ， 〕

参考信号，W:(k)用的是幅值为6，周期为40的方波信号，W2(k)用的是幅值为5， 周期为80的方波信号。 采用平方根滤波最小二乘递推参数估计方法，作了200次递推仿真。遗忘因子α选为 0 0.985,预报器估计参数初值⑧(0)=〔0,0,0,0；0)T输出量初值y(0)= ;输入量初值 0 2 u(0)= 2 仿真结果：图1(a),(b),给出的是系统的输出信号y(k)和参考信号W(k)；图2， (a),(b),(c)则分别给出的是3个控制输入信号u(k)。可见，闭环系统输出很好地跟踪 了参考信号，控制信号也没有出现过大的现象。预报器参数估计收敛，k=200时 直n= 1.0640 0.7078 0.4381 1.0670 1.4690 2.0031 0.1800 0.4145 0.5152 A1= 0.2038 0.4339 0.4622 0.0062 -0.1084 -0.1432 2= -0.0014 -0.0762 -0.0576 ya(k).wa(k) Y(k) 6.0 4.0 .0 () 200 :(k2,k) 6.0 wi(k) 4,0 (b) 2.0 图 84

参考信 一 号 ， 用的是 幅 值为 ， 周期为 的方 波信 号 用的是 幅值为 周 期为 的 方波信 号 。 采 用 平方根滤波最小二 乘递 推参 数估计方法 ， 作 了 次递 推仿真 。 ， 预报器 估计参数初值 〔 ， ， 〕 丁 。 输 出量 初值 ， 、 二 遗忘因子 选 为 「 ，输人量 初 值 又 尸 仿真结果 图 ， ， 给 出的是 系统 的输 出信号 不日参考信号 图 ， ， ， 则分别给 出的是 个控制 输入 信号州 。 可 见 ， 闭环系统 输出很好 地跟 踪 了参考信号 ， 控制信 号也没有 出现过 大的现象 。 预报器 参数 估计 收敛 ， 时 。 。 。 玉 。 。 一 。 一 一 。 一 。 一 。 ’ 丫丫 ’ ’ ” 丫’ ‘以 ” … ’ 沙 … 丫 ” … “ … “ 一

0.7634 -0.7053 M= -0.5763 -0.0063 = 0.0587 0.0561 0.0270 0.0267 这个仿真实例说明了此算法的可行性。 u(k) 2.0 awrth 1.0 ug(k) 8.0 (b) 43(k) 8.0 f 图 2 85

。 一 一 ， 一 。 。 一 。 。 一 。 一 ‘ 这 个仿真实例说 明 了此 算法的可行性 。 。 。 。 日 二已 。 “ 。 丈

注意，在给初始值时，应令u(o)牛0，或Ho(o)+0,否则由(27)式可见，在整个估 计、计算过程中，u(k)将一直保持为零。 对另外一个系统模型所做的仿真研究结果表明：加权多顶式矩阵P(Z),Q(Z1)的 选择对闭环系统的稳定性和动态响应有很大的影响；而R(Z1)则关系到闭环系统输出跟 踪参考信号的精确性。P(Z1),Q(Z1)选择不当，将导致闭环系统振荡，发散，或过渡 过程太慢。 五、结束语 本文所讨论的多变量自校正控制器，把Clarke和Gawthrop(2)(1975)的单变量系统形 式推广到了输入输出维数可以不等的多变量系统，通过预报器和最优控制方程的结合，解决 了因输入输出维数不等所带来的问题。还证明了U.Borisson(3(1979)的多变量最小方差自 校正调节器是本文提出的自校正控制器的一个特例。这种自校正控制器有以下几个优点： 1°，系统的输人输出维数可以不等，只要求输出维数不高于输入维数； 2°，被控系统可以是开环不稳定的影 3°，可以跟踪时变的参考信号， 4°，系统噪声可以是有色的，即可以是C(Z1)+I。 5°，P(Z1),Q'(Z1),R(Z1)的选择有较大的灵活性。 仿真实例说明了这种控制算法的可行性。必须指出，本文所给出的算法对P(Z1), Q'(Z1),R(21)加权多项式矩阵的选择是通过仿真来确定的。如能根据某一谁则来 直接确定其参数，将会使这种控制算法更加完善，应用就更加方便。这是有待进一步研究 解决的。 考文献 〔1〕Astrom,K.J.and Wittenmark,K.B.:“On Self-Tuning regulat ors", Automatica,vol,9,185-199(1973) 〔2〕Clarke,D.W.and Gawtlrop,P,J.:“Self-tuning Contnoller”,Proc, I.E.E.vo1.122.929-934(1975) (3 Borisson,U.:"Self-tuning regulators for a class of multivariable systems",Automatica,vol.15.209-215(1979) 〔4〕Koivo,H.N.:“A multivariable Self-tuning Controller”,Automatica, vol.16,351-366(1980) 〔5〕Keviczky,I.and Hettessy,J.:“Self-tuning minimum variance of MIMO discrete time Systems",Automatica Control Theory and Applicationo, vol,5,No.1,11-17,(1977) 〔6〕陈翰馥：“相关噪声下的自校正控制器及其收敛性”，自动化学会理论委员会 82年年会论文(1982) 86

注意 ， 在给 初始 值时 ， 应 令 拐 。 ， 或八 。 。 钾 。 ， 否则由 式可 见 ， 在整 个 估 计 、 计算过程 中 ， 将一直 保持为零 。 对 另外 一个系统 模 型所做的仿真研究结 果表明 加 权 多项式矩 阵 一 ， 一 ， 的 选 择对 闭环 系统 的稳 定性和动 态响应 有很 大 的影响 而 一 ‘ 则关系到 闭环 系统 输 出 跟 踪 参考信号的精确性 。 一 ‘ ， 一 ‘ 选择不 当 ， 将导致 闭环 系统 振 荡 ， 发散 ， 或过 渡 过程太慢 。 五 、 结 束 语 本文所讨论 的多变量 自校正 控制器 ，把 和 〔 “ 的单 变量 系统 形 式推广到 了输入 输 出维数可 以不等的多变量 系统 ， 通过预报器 和最优控制 方程 的结合 ，解决 了因 输入输 出维数不等所带来的 问题 。 还证 明 了 〔 ” 〕 的 多变量最小方差 自 校正 调节器 是 本文提 出的 自校正控制器 的一个特例 。 这 种 自校 正控制 器 有 以下几个 优 点 “ ， 系统 的 输人 输 出维数 可以不等 ， 只要求 输 出维数不 高于输入维数 “ ， 被 控系统 可 以 是开环 不稳定 的 “ ， 可 以跟踪 时变的参考信号 “ ， 系统 噪声可以 是 有色的 ， 即可 以 是 “ ‘ 牛 。 “ ， 一 ‘ ， ‘ 一 ， 一 ‘ 的选择有较大的 灵活性 。 仿真实例 说 明 了这 种控制算法 的可行性 。 必须 指出 ， 本文所给 出的算法 对 一 ‘ ， ‘ 一 ‘ ， “ ‘ 加 权 多项式矩 阵的选择是 通过仿真来确定的 。 如能 根据某一 准 则 来 直 接确定其参数 ， 将会使这 种控制算法更加完善 ， 应 用就更加 方便 。 这 是有待进一步研究 解决的 。 参 考 文 献 〔 〕 ， ， “ 一 ” ， ， ， 一 〔 〕 ， ， “ 一 ” ， 一 〔 〕 ， “ 一 ” ， ， 一 〔 〕 ， “ 一 ， ， ， ， 一 〔 〕 ， ， “ 一 ” ， ， ， ， ， 一 ， 〔 〕 陈翰馥 “ 相关噪 声下的 自校正控制器及其收敛性 ” ， 自动 化学 会理论委 员会 年年会论文

〔7〕舒迪前、尹怡欣、刘宏才、杨卫东：“具有通用性能指标的多变量自校正控制 器”，中国自动化学会应用委员会84年学术会议论文，北京钢铁学院科技资料室（1984) 8 Wong,K.Y.and Boylumi,M.M,:"Multiveriabte self-tunirg Regula- tors”(1981) [9 Allidina,A,Y,and Hughet,F,M.:"Generalized Self-Tuning Contr oller with pole assignment",Proc,I.E.E.Pt.D,vol.127,No.1.(1980) 〔10〕舒迪前、刘立、轷一顺：“计算机群挖电加热炉多变量自校正调节器”，中国 自动化学会电气自动化专业委员会82年年会论文，“电气传动”，1982年，N0.6 (11 Wolovich,W.A.:"Linear Mnltivariable Systems"Springer-Varlag, New York.p.159 (1974) 〔l2〕Strejc,v.:“Least Squares Parameter Estimation”,Automatica, vo1.16,535-550(1980) 附 录 A.辅助系统： 用P(Z1)左乘系统(1)式两端，并应用变换式(4)： P(Z1)A(Z1)Y(k)=ZP(Z-1)B(Z1)u(k)+P(Z1)C(Z1)(k) 所以有 A(Z1)P(Z1)Y(k)=A(Z-1)(k)=Z-B(Z-1)u(k)+C(Z-1)(k) (A.1) 这就是新得到的辅助系统(6)式。 B,辅助输出的最优d步向前预报器： 引人多项式矩阵恒等式： C(Z1)=A(Z1)F(Z1)+Z4G(Z1) (B.1) 其中，F(Z),G(Z)ER, F(Z1)=F0+F:Z1+…+F。Z G(Z1)=G0+G1Z1+…+G.Zt n:=d-l,ng=max〔n.-1,ne+n,-d〕 因为，A0=I,C0=P0,所有F0=P0。 由多项式矩阵的伪交换定理41可知，存在F(Z1),G(2)∈RX,满足detF(Z) =detF(Z1),Fo=Fo=Po,使得下式成立： F(Z1)G(Z-1)=G(Z1)F(Z1) (B,2) 其中F(Z1)=F0+F1Z1+…+F。Zn G(Z1)=G0+G1Z1+…+G。.Z9 利用(B.2)式，还可以得到C(Z1)的计算式： C(Z1)=F(Z1)A(Z1)+ZG(Z1) (B.3) 87

〔 〕 舒迪前 、 尹 怡欣 、 刘宏 才 、 杨 卫东 “ 具 有 通用 性能指标的 多 变量 自校 正控制 器” ， 中国 自动 化学会应 用 委员会 年学术会议论文 ， 北京钢 铁学院科技资料室 〔 〕 ， ， “ 一 玉 ” 〔 〕 ， ， “ 一 ， ， ， ， ， 〔 。 〕 舒迪 前 、 刘立 、 车乎一 顺 “ 计算机群控电加 热炉 多变量 自校正调 节器 ” ， 中国 自动 化学 会电气 自动 化专业委 员会 年年会论文 ， “ 电气传动” ， 年 ， 〔 〕 ， “ ” 一 ， 〔 〕 ， “ ， ， ， ， 一 附 录 辅助 系统 用 一 ’ 左乘系统 式两 端 ， 并应用 变换式 一 ‘ 一 ‘ 二 一 ‘ 万 一 ‘ 一 ‘ 爪 一 ‘ 一 ‘ 七 所 以有 一 ’ 一 ‘ 一 ‘ 功 一 一 工 一 ‘ 合 这 就 是 新得到的 辅助 系统 式 。 辅助输 出的 最优 步 向前预 报器 引人 多项式矩 阵恒等式 一 一 生 一 一 一 ， 其中 ， 一 工 ， 一 ， 。 岁 〕 一 二 一 … 。 一 “ ‘ 一 一 … ， 一 ” ‘ ， 一 ， ‘ 〔 一 ， 。 ， 一 〕 因 为 ， 。 ， 。 二 ， 所 有 。 二 。 由多项式矩 阵的 伪交换定理 〔 ‘ ，，可知 ， 存在 一 ， ， 己 一 一 ‘ 。 “ 粼 。 ， 满 足“ 亏 一 ，， “ 一 ‘ ， 。 。 。 ， 使 得下 式成立 一 一 二 一 一 。 其中 一 ‘ 二 。 一 ， … 。 一 ‘ 一 ‘ 言 。 百 一 … ， 一 利用 式 ， 还 可 以得至仗 “ ， 的计算式 己 一 ， 了 一 ‘ 人 一 ‘ 一 ‘乙 一 ‘