·358· 北京科技大学学报 第34卷 变为 (16)所示控制律u:及u的最大绝对值.另外，由控 [1=-k1+71-71, 制律u、u定义及假设2可知，闭环系统(31)中刀是 2=-k22+2-72 有界的.在此基础上，给出闭环系统的稳定性分析. (28) 定理1考虑跟踪系统(14)，在控制律(23)和 -1=-k--+n-1-a-1 (27)作用下，其跟踪闭环系统(32)，存在非常小正 i=-knzn+nn-nm 常数81，使得ε<e1时，观测器(22)和(26)在很短 定义观测误差为6=(6,62，…，6n)T,6:=n:- 时间内跟踪上闭环系统(32)不确定性？ 7:(i=1,2,,n),则系统(28)可描述为 证明根据奇异扰动性理论，当￡=0时，方 程A谷=0有唯一根δ=0，则闭环系统(32)的降阶 元=Az+6. (29) 系统（慢速系统）为 同时，由式(21)和(25)可得 元=Az (35) e28,=-a8,+e271, 边界层系统（快速系统）为 e262=-a,62+672 5=AT. (36) (30) 式中，5=d6/dr,r=t/e2. s26n-1=-。-16-1+827-1 针对边界层系统(36)，根据Lyapunov特征值判 e26n=-,0n+827 据a,由矩阵A'定义，可得边界层系统；=A?指 即 数稳定.进一步，由Lyapunov判据a可知，边界层 e26=A分+e27. 系统(36)存在连续正定Lyapunov函数W(6(t)= (31) 66.沿闭环系统(32)对函数W(δ(t))进行求导， 由式(29)和(31)可得，跟踪系统(14)在控制律 可得 (23)和(27)作用下，其闭环系统状态方程为 (37) Z=AZ+6, 7=-(2/e2)·‖δA8‖2+2δ7 (32) e2δ=A6+82 令a=max{a(i=1,2,…,n)},根据)的有界性，定 式中，n×n矩阵A=diag{-k,-k2,…,-kn}、n× 义k=sup(‖)‖}，则式(37)可化为 n矩阵A'=diag{-a1,-a2,,-an})=（71,2, ㎡≤-(2a/e2)·‖66‖2+287≤ nn) -(2a/e2)W+2k。√m. (38) 由闭环系统(32)可以看出，当ε非常小时，闭 令c=4品/a2,则当W(δ(t))≥c1e时，式(38)可 环系统(32)是一个标准的奇异扰动系统，为此采用 变为 奇异扰动性理论分析其稳定性.同时，当ε非常小 W≤-(a/e2)W. (39) 时，观测器(22)和(26)的反馈增益很大.根据文献 选择闭环系统(32)初始时刻为t。,并令c2= 04-15],较大的反馈增益，可能导致闭环系统(32) W(6(t。)),c2为一正常数，则当c2≥ce时，由 出现脉冲峰值现象，破坏闭环系统的稳定性。这一 式(39)可得，闭环系统(32)存在时间常数 脉冲峰值现象是由控制律u及山，(i=1,2,…, T=-(82/a)In(c e'/c2), (40) n-1)瞬间非常大直接产生.于是，采用饱和函数 使得W(δ(t))满足 Sat(~)对控制律u及4；进行处理，使得在脉冲峰 w(6()≤cea,t∈(o,4], (41) 值现象发生时系统(1)状态x仍然处于可稳定范围 W(6(t))≤c1e4. (42) 内，进而消除对闭环系统稳定性的影响.处理后，控 式中，41=。+rc由于W(6(t))=c1e时，式(39) 制律山，及u变为 仍然成立且W<0,则由式(42)可得 |u;|<m:; u;=Sat (u)= W(6(t))<cg4(t>t). (43) m,sgn(u:）,luI≥m 即t>t1时，W(δ(t))是O(e).此时，根据Lyapunov (33) 函数W(δ(t))定义，可得‖δ(t)‖满足 1u1<m(34) ‖8(t)‖≤c3e2(t>t1) (44) u'=Sat(u)= m"sgn(w*),1u1≥m. 是O(e),其中c3=√c·这里，范数I6(t)‖是指向 式中，m:和m分别为系统(1)稳定域内式(15)和 量6(t)的2-范数.同时，根据8=)-7，由式(44)北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 变为 z · 1 = － k1 z1 + η1 － η^ 1， z · 2 = － k2 z2 + η2 － η^ 2，  z · n － 1 = － kn － 1 zn － 1 + ηn － 1 － η^ n － 1， z · n = － kn zn + ηn － η^ n          ． ( 28) 定义 观 测 误 差 为 δ = ( δ1，δ2，…，δn ) T ，δi = ηi － η^ i ( i = 1，2，…，n) ，则系统( 28) 可描述为 z · = Az + δ． ( 29) 同时，由式( 21) 和( 25) 可得 ε2 δ · 1 = － α1 δ1 + ε2 η · 1， ε2 δ · 2 = － α2 δ2 + ε2 η · 2，  ε2 δ · n － 1 = － αn － 1 δn － 1 + ε2 η · n － 1， ε2 δ · n = － αn δn + ε2 η · n          ． ( 30) 即 ε2 δ · = A'δ + ε2 η ·． ( 31) 由式( 29) 和( 31) 可得，跟踪系统( 14) 在控制律 ( 23) 和( 27) 作用下，其闭环系统状态方程为 z · = Az + δ， ε2 δ · = A'δ + ε2 η { ·． ( 32) 式中，n × n 矩阵 A = diag{ － k1，－ k2，…，－ kn } 、n × n 矩阵 A' = diag{ － α1，－ α2，…，－ αn } 、η = ( η1，η2， …，ηn ) T ． 由闭环系统( 32) 可以看出，当 ε 非常小时，闭 环系统( 32) 是一个标准的奇异扰动系统，为此采用 奇异扰动性理论分析其稳定性． 同时，当 ε 非常小 时，观测器( 22) 和( 26) 的反馈增益很大． 根据文献 ［14--15］，较大的反馈增益，可能导致闭环系统( 32) 出现脉冲峰值现象，破坏闭环系统的稳定性． 这一 脉冲峰值现象是由控制律 u* 及 ui ( i = 1，2，…， n － 1) 瞬间非常大直接产生． 于是，采用饱和函数 Sat(·) 对控制律 u* 及 u* i 进行处理，使得在脉冲峰 值现象发生时系统( 1) 状态 x 仍然处于可稳定范围 内，进而消除对闭环系统稳定性的影响． 处理后，控 制律 ui 及 u* 变为 u* i = Sat( u* i ) = u* i ， | u* i | ＜ mi ; mi ·sgn( u* i ) ， | u* i |≥mi { ． ( 33) u* = Sat( u) = u* ， | u* | ＜ m; m·sgn( u* ) ， | u* { |≥m． ( 34) 式中，mi 和 m 分别为系统( 1) 稳定域内式( 15) 和 ( 16) 所示控制律 ui 及 u 的最大绝对值． 另外，由控 制律 ui、u 定义及假设 2 可知，闭环系统( 31) 中 η · 是 有界的． 在此基础上，给出闭环系统的稳定性分析． 定理 1 考虑跟踪系统( 14) ，在控制律( 23) 和 ( 27) 作用下，其跟踪闭环系统( 32) ，存在非常小正 常数 ε1，使得 ε ＜ ε1 时，观测器( 22) 和( 26) 在很短 时间内跟踪上闭环系统( 32) 不确定性 η． 证明 根据奇异扰动性理论［14］，当 ε = 0 时，方 程 A'δ = 0 有唯一根 δ = 0，则闭环系统( 32) 的降阶 系统( 慢速系统) 为 z · = Az． ( 35) 边界层系统( 快速系统) 为 ζ · = A'ζ． ( 36) 式中，ζ = dδ /dτ，τ = t /ε2 ． 针对边界层系统( 36) ，根据 Lyapunov 特征值判 据［16］，由矩阵 A'定义，可得边界层系统 ζ · = A'ζ 指 数稳定． 进一步，由 Lyapunov 判据［16］可知，边界层 系统( 36) 存在连续正定 Lyapunov 函数 W( δ( t) ) = δT δ． 沿闭环系统( 32) 对函数 W( δ( t) ) 进行求导， 可得 W · = － ( 2 /ε2 )·‖δT A'δ‖2 + 2δT η ·． ( 37) 令 α = max{ αi ( i = 1，2，…，n) } ，根据 η · 的有界性，定 义 k0 = sup{ ‖η ·‖} ，则式( 37) 可化为 W · ≤ － ( 2α/ε2 )·‖δT δ‖2 + 2δT η ·≤ － ( 2α/ε2 ) W + 2k0 槡W． ( 38) 令 c1 = 4k 2 0 /α2 ，则当 W( δ( t) ) ≥c1ε4 时，式( 38) 可 变为 W · ≤ － ( α/ε2 ) W． ( 39) 选择 闭 环 系 统 ( 32 ) 初 始 时 刻 为 t0，并 令 c2 = W( δ( t0 ) ) ，c2 为 一 正 常 数，则 当 c2 ≥ c1ε4 时，由 式( 39) 可得，闭环系统( 32) 存在时间常数 τε = － ( ε2 /α) ln( c1ε4 /c2 ) ， ( 40) 使得 W( δ( t) ) 满足 W( δ( t) ) ≤c1 e － ( α/ε2) t ，t∈( t0，t1］， ( 41) W( δ( t1 ) ) ≤c1ε4 ． ( 42) 式中，t1 = t0 + τε ． 由于 W( δ( t) ) = c1ε4 时，式( 39) 仍然成立且 W · ＜ 0，则由式( 42) 可得 W( δ( t) ) ＜ c1ε4 ( t ＞ t1 ) ． ( 43) 即 t ＞ t1 时，W( δ( t) ) 是 O( ε) ． 此时，根据 Lyapunov 函数 W( δ( t) ) 定义，可得‖δ( t) ‖满足 ‖δ( t) ‖≤c3ε2 ( t ＞ t1 ) ( 44) 是 O( ε) ，其中 c3 = 槡c1 ． 这里，范数‖δ( t) ‖是指向 量 δ( t) 的 2-范数． 同时，根据 δ = η － η^，由式( 44) ·358·