152矩形区域内的稳定问题 第10页 若λ≠0,常微分方程的通解就是 X(r)=Asin VAz+B cos vAr 代入(齐次)边界条件,得B=0,A≠0,cosa=0.于是,就求出了 本征值 0,1,2,3, 本征函数Xn(x)=sin 2n+1 相应地 于是,就得到了既满足 Laplace方程、又满足齐次边界条件的特解 2n+1 2n+1 2n+1 un(a, y)=(Cn sinh -y D, 将这无穷多个特解叠加起来,就得到一般解 C sinh 2a/y+D, costner)a 代入关于y的一对(非齐次)边界条件, D 2n+1 =f(x) 2n+1 2n+1 Cn cosh 2a 7b+ Dn sinh 0, 再次根据本征函数的正交归一性, 2n+1 2m+1 ordo n73 就可以求得 f(r) 和 C. cosh 2n+1 b=0 由此得 D tanb 2n+1 这样,就最后求出了矩形区域内 Laplace方程边值问题的级数解.如果知道了f(x)的具体形式, 就可以进一步求出叠加系数Cn和Dn的具体形式 这个问题是稳定问题,与时间t无关,因此不出现初始条件. 用分离变量法求解时,采用齐次边界条件构成本征值问题,而用非齐次边界条件定叠加系数Wu Chong-shi §15.2 t✉✈✇ ①✄②✁③④ ➅ 10 ➆ ♦ λ 6= 0 ✶♣qP ❨ ö✾ñ✽❋❅ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx. ➒❳ (❞❡) ❢❣❭❪✶✻ B = 0, A 6= 0, cos √ λa = 0 r ❝ ❅ ✶❋❱ ✯● ➲➳❒ λn =  2n + 1 2a π 2 , n = 0, 1, 2, 3, · · · ➲➳✢✼ Xn(x) = sin 2n + 1 2a πx. ➟⑤⑥✶ Yn(y) = Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy. ❝ ❅ ✶❋✻✺ ●⑦⑧⑨ Laplace ❨ ö⑩❤⑧⑨❞❡❢❣❭❪✾➏✽ un(x, y) =  Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy  sin 2n + 1 2a πx. ⑩✱➻❶❷✳➏✽ÓÔ❸ à ✶❋✻✺ ➔❹ ✽ u(x, y) = X∞ n=0  Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy  sin 2n + 1 2a πx. ➒❳ ➼❝ y ✾ ➔❍ (❺❞❡) ❢❣❭❪✶ u   y=0 = X∞ n=0 Dn sin 2n + 1 2a πx = f(x), ∂u ∂y     y=b = X∞ n=0 2n + 1 2a π  Cn cosh 2n + 1 2a πb + Dn sinh 2n + 1 2a πb  sin 2n + 1 2a πx = 0, ✜ ❡❻❼➲➳✢✼✾☛❽❾➔ ❁✶ Z a 0 sin 2n + 1 2a πx sin 2m + 1 2a πxdx = a 2 δnm, ❋ù⑧❱✻ Dn = 2 a Z a 0 f(x) sin 2n + 1 2a πxdx ❄ Cn cosh 2n + 1 2a πb + Dn sinh 2n + 1 2a πb = 0, ❂❜✻ Cn = −Dn tanh 2n + 1 2a πb. ✱✥✶❋❮⑨❱ ✯●❿ ✲✽➀ ➱ Laplace ❨ ö ❢❒ ✴✵✾✻✼✽r➁✧➂➃● f(x) ✾➄➅✲û✶ ❋ù⑧➆ ➔➇ ❱ ✯ ÓÔ❃✼ Cn ❄ Dn ✾➄➅✲û r F ✱✳✴✵❅➈❇ ✴✵✶➵❹✾ t ➻➼✶❈❜✷ ✯➉➸➺❭❪r F ✼P◗❘❙❚❱✽❹✶➊✼ ❞❡❢❣❭❪➋❯➲➳❒ ✴✵✶❉✼ ❺❞❡❢❣❭❪❇ ÓÔ❃✼r