第十五讲分离变量法 第9页 §15.2矩形区域内的稳定问题 分离变量法也适用于热传导方程和稳定问题(例如, Laplace方程)的定解问题 设有定解问题 B2+a2=0 < 0. 0≤y≤b, f(a) <r 仍用分离变量法求解.令 (a,y)=x(rr(y) ★代入方程,分离变量,即得 X"(x)Y(y)=-X(x)Y"(y) 于是就得到 X"(x) X(a) Y(y) 在这个等式中, 左端只是x的函数(与y无关)右端只是y的函数(与x无关 因此 Y"(y) X(a) =-A=X"(x)+AX(x) 和Y"(y)-MY(y)=0 代入关于x的一对齐次边界条件 X(0)Y(y)=0,、X(a)Y(y)=0 也可以分离变量得 X(0)=0,X(a)=0 这样,又得到了一个本征值问题 X"(a )+AX(r)=0, x(0)=0,X(a)=0. ★求解本征值问题 若A=0,常微分方程的通解是 代入(齐次)边界条件,得A0=0,B0=0.因此微分方程只有零解.→A=0不是本征值Wu Chong-shi ❻❼❽❾ ❿➀➁➂➃ (➄) ➅ 9 ➆ §15.2 ✿❀❁❂ ❃❄❅❆❇❈ ❉ ❊❋●❍Û■❏❑ ▲▼◆❖P◗❘❣ ❜❝ (❙❚✶ Laplace ❖P) ❤❣❡ ❜❝✯ ❯➭ ❇ ✽✴✵ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, u   x=0 = 0, ∂u ∂x    x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, u   y=0 = f(x), ∂u ∂y    y=b = 0, 0 ≤ x ≤ a. ✣ ✼P◗❘❙❚❱✽✯❲ u(x, y) = X(x)Y (y), F ➒❳❨ö✶P◗❘❙✶➹✻ X00(x)Y (y) = −X(x)Y 00(y). ✰ ❅ ❋✻✺ X00(x) X(x) = − Y 00(y) Y (y) . ❶✱✳❩û ➑✶ ❬❭ ❪① x ❤♥♦ (❫ y ❴ ❵) ❛ ❭ ❪① y ❤♥♦ (❫ x ❴ ❵) ❈❜✶ X00(x) X(x) = − Y 00(y) Y (y) = −λ =⇒ X00(x) + λX(x) = 0 ❄ Y 00(y) − λY (y) = 0. F ➒❳ ➼❝ x ✾ ➔❍❞❡❢❣❭❪ X(0)Y (y) = 0, X0 (a)Y (y) = 0, ✪ù⑧P◗❘❙✻ X(0) = 0, X0 (a) = 0. ✱✥✶❤✻✺ ●➔✳➲➳❒ ✴✵ X00(x) + λX(x) = 0, X(0) = 0, X0 (a) = 0. F ✐ ➇❥❦❧♠♥ ♦ λ = 0 ✶♣qP ❨ ö✾ñ✽❅ X(x) = A0x + B0. ➒❳ (❞❡) ❢❣❭❪✶✻ A0 = 0, B0 = 0 r ❈❜qP ❨ ö✶➭s✽ r =⇒ λ = 0 ✷ ❅ ➲➳❒r