§15.1两端固定弦的自由振动(续 第8页 ★和数 与弦的总能量成正比,所以就决定了声音的强度 ★分离变量法的解和行波解的联系 将初始条件叭(x)和v(x)作奇延拓 (x)=-0(-x) o() 0≤x≤l, <x<0 业(x)= 0<x 然后再延拓为周期为21的周期函数(仍记为更(x)和(x),这样延拓的结果保证了在端点x=1 也是奇延拓.将更(x)和业(x)展开为 Fourier级数 (x)=∑annx,(x)=∑asn了x n=1 其中 ans1「列(x) sin -rdr= o(r)sin -dr 与前面定出的Cn和Dn相比较,就可以看出 所以 u(a, t) at Dnco -(x-at)+ (a-at)-cos(z+ 2>ax(x-a)+sm(+叫+∑ Bn cos -(a-at)-cos -(+at nato (x-at)+中(x+at)+ 和行波解的形式完全一致,只不过这里的(x)和(x)是由初始条件o(x)和(x)按照前面的法则 延拓而得的 这样得到的解式u(x,t),当然只适用于区间0≤x≤1中Wu Chong-shi §15.1 þÿ￾✁✂✄ ☎✆✝✞ (✟) ➅ 8 ➆ F ❄ ✼ X∞ n=1 n 2 |Cn| 2 + |Dn| 2 ➵ ↕ ✾✠✡❙❯☛ ☞✶ è ⑧❋ ❆❇●êë✾ ✌✍ ✯ F ✎✏✑✒ß ➈➇✓✔Þ ➇➈✕✖ ⑩➸➺❭❪ φ(x) ❄ ψ(x) ✗✘✙✚ Φ(x) =    −φ(−x), −l ≤ x ≤ 0, φ(x), 0 ≤ x ≤ l, Ψ(x) =    −ψ(−x), −l ≤ x ≤ 0, ψ(x), 0 ≤ x ≤ l, ✛⑨✜ ✙✚➧➪➶➧ 2l ✾➪➶✢✼ (✣✤➧ Φ(x) ❄ Ψ(x)) ✯✱✥ ✙✚✾✦✧★✩● ❶➩➛ x = l ✪ ❅✘✙✚✯⑩ Φ(x) ❄ Ψ(x) ✫✬➧ Fourier ✻✼ Φ(x) = X∞ n=1 αn sin nπ l x, Ψ(x) = X∞ n=1 βn sin nπ l x, ➐ ➑ αn = 1 l Z l −l Φ(x) sin nπ l xdx = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx, βn = 1 l Z l −l Ψ(x) sin nπ l xdx = 2 l Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ➵✭✮❇✯ ✾ Cn ❄ Dn ➟ ☞✰✶❋ù⑧➎ ✯ αn = Dn, βn = nπa l Cn. è ⑧ u(x, t) = X∞ n=1  Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x = 1 2 X∞ n=1 Dn h sin nπ l (x − at) + sin nπ l (x + at) i + 1 2 X∞ n=1 Cn h cos nπ l (x − at) − cos nπ l (x + at) i = 1 2 X∞ n=1 αn h sin nπ l (x − at) + sin nπ l (x + at) i + 1 2 X∞ n=1 βn nπa h cos nπ l (x − at) − cos nπ l (x + at) i = 1 2 [Φ(x − at) + Φ(x + at)] + 1 2a Z x+at x−at Ψ(x)dx. ❄✱ ➣✽✾✲û✳✴➔✵ ✶✶✷ò✱✸✾ Φ(x) ❄ Ψ(x) ❅ ❂➸➺❭❪ φ(x) ❄ ψ(x) ✹✺✭✮✾❚Ñ ✙✚❉✻✾✯ ✱✥✻✺✾✽û u(x, t) ✶❸✛✶❷✼✰✽✾ 0 ≤ x ≤ l ➑✯