3>4,32例2f(x,y)=√x2+y2,这是上半圆锥,显然在(00点连续, f(x,y)=0=f(00) f(x,0)-f(0,0)√x2|x xx-1-1,x<0 故f2(00)不存在。由x,y的对称性,f,(00)不存在。从而,f(x,y)在(0,0)点不可微(否则, f1(00),f,(00)均存在)。 x2+y2≠0 2→1例3:f(x,y)= x 0.0)=lmn1(x0-0)=mx2=0 由x,y的对称性,f,(00)=0 f(x,y)-f(040)-f2(00)x-f,(0.0)y y sin 0( →0 故∫(x,y)在(00)点可微。且d(00)=f2(0,0)dx+J,(000h=0 2xsin cos ,x+y-≠0 f(x,y) 0 取点列P(xn,yn),xn= 2n’n=0,显然P,(xn,yn)→(0,0n→>∞) f(xn,yn)=-2√2 nZ cOS2n→>-∞(n→>∞) 故mJx(x,y)不存在,从而f(x,y)在(00)点不连续。由x,y的对称性,J(x,y)在(0,0)点 也不连续 对一元函数,可微与可导是等价的,即:可微分可导。但对二元函数,可微与偏导存在 并不等价,即:可徽→偏导存在,反之未必。应特别引起注意2 3  4 ，3  2 例 2： 2 2 f (x, y) = x + y ，这是上半圆锥，显然在 (0,0) 点连续， lim ( , ) 0 (0,0) 0 0 f x y f y x = = → → 但    −   = = = − 1, 0 ( ,0) (0,0) | | 1, 0 2 x x x x x x x f x f 故 (0,0) x f 不存在。由 x, y 的对称性， (0,0) y f 不存在。从而， f (x, y) 在 (0,0) 点不可微（否则， (0,0) x f ， (0,0) y f 均存在）。 2  1 例 3：      + = +  + + = 0, 0 , 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 0 1 sin lim ( ,0) (0,0) (0,0) lim 2 2 0 0 = = − = → → x x x x f x f f x x x ， 由 x, y 的对称性， f y (0,0) = 0 。 2 2 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) x y f x y f f x f y x y + − − − 0 1 sin 1 ( )sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → + = + + + + = x y x y x y x y x y （ 0 0 → → y x ） 故 f (x, y) 在 (0,0) 点可微。且 df (0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0      + = +  + + − = + 0, 0 , 0 1 cos 1 2 2 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x x y x f x y x 取点列 ( , ) n n n P x y ， n xn 2 1 = ， yn = 0 ，显然 P (x , y ) → (0,0)(n → ) n n n f (x , y ) = −2 2n cos2n → −(n → ) x n n   故 lim ( , ) 0 0 f x y x y x → → 不存在，从而 f (x, y) x 在 (0,0) 点不连续。由 x, y 的对称性， f (x, y) y 在 (0,0) 点 也不连续。 对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微  可导。但对二元函数，可微与偏导存在 并不等价，即：可微  偏导存在，反之未必。应特别引起注意