§2复合函数与隐函数微分法 求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏 导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系,才可能正确使用 链式法则。 例1设v=-g(--)c为常数,函数g二阶可导,r +x2,证明 a2y av a2v 1av 证变量之间的关系为v 注意这里g是某变量l的一元函数,而u=1 因为 av ay ar 2ya2,Or、2ova2r 2va2Or、2,vara2va 由x,y,z的对称性得 ()2 ay Or x a2r /sr Or 而 由x,y,=的对称性得 ar y ar r-y ar z a2v av av a2 于是 ax2 ay2 az ar2 ax ar ax- ay a2, 又因为 =g(-5)-1g(-) a2y 2 8(--)+-28(t--)+-2g"(3 §2 复合函数与隐函数微分法 求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏 导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用 链式法则。 例 1 设 c c r g t r v ( ), 1 = − 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r = x + y + z ，证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t v z c v y v x v   =   +   +   证 变量之间的关系为             t z y x r v 注意这里 g 是某变量 u 的一元函数，而 c r u = t − 。 因为 x r r v x v     =   ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x r r v x r r v x v     +     =   由 x, y,z 的对称性得 2 2 2 2 2 2 2 ( ) y r r v y r r v y v     +     =   ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z r r v z r r v z v     +     =   而 r x x r =   ， 2 2 2 r x r r x x r   − =   3 2 2 2 2 r r x r r x r − = − = ， 由 x, y,z 的对称性得 r y y r =   ， =   2 2 y r 3 2 2 r r − y ， r z z r =   ， =   2 2 z r 3 2 2 r r − z 。 于是 [( ) ( ) ( ) ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z r y r x r r v z r y r x r r v z v y v x v   +   +     +   +   +     =   +   +   3 2 2 2 2 2 2 2 3 [( ) ( ) ( ) ] r r r r v r z r y r x r v −   + + +   = r r v r v 2 2 2   +   = 又因为 ( ) 1 ( ) 1 2 c r g t c cr r g t r r v − −  − − =   ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 3 2 2 2 c r g t c c r r g t c cr r g t r r v = − +  − +  −  