a8(-5 a-v av2 1 g"(t--) 1 a2y a 注1在求时,要特别注意一的函数关系仍然是 av ry 注2在求一时,注意正确使用导数符号g(t--),不要写成 也不要写成_ a(t °事实上,g_-1 ag (t ar c a2y ay a2v 注3上面的证明简洁清楚,所要求证的微分方程的左边是-+ 函数作为自变量 x,y,z的函数,是由中间变量r=√x2+y2+2复合而成,利用 ()+2)=1 a-r ar ar 2 a2v a2y a2y a2y 0v 2 我们得到了 这样把求v对自变量x,y,z的偏导数转化为对中间变量r的偏导数,从而使计算简单了。试比较 直接求++的情形 c ax cl 8(t-, ar C I s、1 c Cr3 ar8(t 2x ar ar +3xkg(-5)+ 13x2 lg(--)+ cn38(- 由x,yz的对称性得4 ( ) 1 c r g t t r v =  −   ， ( ) 1 2 2 c r g t t r v =  −   故 r r v r v 2 2 2   +   ( ) 1 2 c r g t c r =  − 2 2 2 1 t v c   = 。 注 1 在求 2 2 x v   时，要特别注意 r v   的函数关系仍然是               t z y x r r v 注 2 在求 r v   时，注意正确使用导数符号 ( ) c r g  t − ，不要写成 g v   ( ) c r t g  −  ，也不要写成 ( ) c r t g  −  或 r g   。事实上， =   r g ( ) 1 c r g t c  − − 。 注 3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是 2 2 2 2 2 2 z v y v x v   +   +   ，函数 v 作为自变量 x, y,z 的函数，是由中间变量 2 2 2 r = x + y + z 复合而成，利用 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 =   +   +   z r y r x r ， z r r y r x r 2 2 2 2 2 2 2 =   +   +   我们得到了 2 2 2 2 2 2 z v y v x v   +   +   r r v r v 2 2 2   +   = 这样把求 v 对自变量 x, y,z 的偏导数转化为对中间变量 r 的偏导数，从而使计算简单了。试比较 直接求 2 2 2 2 2 2 z v y v x v   +   +   的情形。 x r c r g t x cr r c r g t x r v   −  −   − − =   ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) 3 2 c r g t cr x c r g t r x − −  − − = ( ) ( ) 3 ( ) 1 2 3 4 3 2 c r g t x r cr x c r g t x r r x c r g t x r v  −   − +   − + − =   ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 3 2 2 c r g t x r c r x c r g t x r cr x c r g t cr  −    − +   −  − + ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r x r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r x c r g t cr x cr + − +  − +  − 由 x, y,z 的对称性得