dg(t --2+-41g(t--)+-28"(t--) g(t--)+[ 418(t-=)+ a2v ava 8(t 例2设u(x,y)的所有二阶偏导数都连续, 0,(x,2x)=x,a2(x,2x) 试求x(x,2x),l2(x,2x),l(x,2x)。 证注意1(x2a=4(x2x),是a(xy)对x求偏导数之后,令y=2x所得的函数, 而不是u(x,2x)作为x的一元函数对x的导函数。 在(x,2x)=x两边对x求导,得 a1(x,2x)+2u2(x,2x)=1 将u1(x,2x)=x2代入,得 l2(x,2x)=1-x 上式两边对x求导,得 l2(x,2x)+22(x,2x)=-x 在u1(x,2x)=x2两边对x求导,得 l1(x,2x)+2u12(x,2x)=2x 因为(x,y)有连续的二阶偏导数,则a2(x,2x)=l21(x2x),又已知1(x,2x)-l2(x,2x)=0 将上两式联立解得 l12(x,2x)=l21(x,2x)==x,l1(x,2x)=l2(x,2x)=-x lx2(x,2x)=a1x(x,2x)=x,ux(x,2x)=l1(x,2x)=-x。 例3若函数f(x,y,)对任意正实数t满足关系∫(x,y,1)=t"f(x,y,z),则称∫(x,y,)为n 次奇次函数。设∫(x,y,z)可微,试证明∫(x,y,z)为n次齐次函数的充要条件是 af af y(x,y,=) 证 f(tx, ty, t=)5 2 2 y v   ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r y r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r y c r g t cr y cr + − +  − +  − 2 2 z v   ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r z r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r z c r g t cr z cr + − +  − +  − 则 2 2 2 2 2 2 z v y v x v   +   +   ( ) 1 2 c r g t c r =  − 2 2 2 1 t v c   = 。 例 2 设 u(x, y) 的所有二阶偏导数都连续， 0 2 2 2 2 =   −   y u x u ， u(x,2x) = x ， 2 u (x,2x) x x = 试求 u (x,2x) xx ，u (x,2x) xy ，u (x,2x) yy 。 证 注意 | 2 ( ,2 ) y x x x u u x x =   = ( ,2 ) 1 = u x x ，是 u(x, y) 对 x 求偏导数之后，令 y = 2x 所得的函数， 而不是 u(x,2x) 作为 x 的一元函数对 x 的导函数。 在 u(x,2x) = x 两边对 x 求导，得 u1 (x,2x) + 2u2 (x,2x) =1 将 2 1 u (x,2x) = x 代入，得 2 2u2 (x,2x) =1− x 上式两边对 x 求导，得 u (x,2x) + 2u (x,2x) = −x 21 22 在 2 1 u (x,2x) = x 两边对 x 求导，得 u (x,2x) 2u (x,2x) 2x 11 + 12 = 因为 u(x, y) 有连续的二阶偏导数，则 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 21 u x x = u x x ，又已知 u11(x,2x) −u22 (x,2x) = 0， 将上两式联立解得 u x x u x x x 3 5 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 = 21 = ， u x x u x x x 3 4 ( ,2 ) ( ,2 ) 11 = 22 = − 。 即 u x x u x x x xy yx 3 5 ( ,2 ) = ( ,2 ) = ， u x x u x x x xx yy 3 4 ( ,2 ) = ( ,2 ) = − 。 例 3 若函数 f (x, y,z) 对任意正实数 t 满足关系 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = ，则称 f (x, y,z) 为 n 次奇次函数。设 f (x, y,z) 可微，试证明 f (x, y,z) 为 n 次齐次函数的充要条件是 nf (x, y,z) z f z y f y x f x =   +   +   证 "" 令 n t f tx ty tz G t ( , , ) ( ) = ，则