G÷txf(x0,)+y(xm,12)+/(x0,)-n(x,,) 0 故G(t)与1无关,从而G()=G(1)=∫(x,y,=),即 f(x,y,=)=t"f( →”方程∫(x,y,1)=tf(x,y,z)两边分别对x,y,,t求导,得 U1(x,y,1)=t"f2(x,y,), 2(xy,t)=t”f(x,y,2) (1x,y,1=)=t"f:(x,y,z), xf,+y2+3f3 f(x,y,z 将前面三式代入第四式即得 y(x,y,=) 或在上面四式中令t=1,得 f=f, f2=f,,f=f, xf+y2+f3=nf(x,y,=) 可f x atya+a-nf(x, y, 2)o 变换微分方程 例4设 x+ 1 x-y,w=ze”,变换方程 (假设出现的导数都连续)。 xty 解这里既有自变量的变换u2,V=2’也有函数的变换w=ze。自变量由原来的 x,y变换为u,v,函数由原来的z变换为w。为了把原来的函数z(x,y)变换为函数w=w(u,v), 可以把原来的函数x(x,y)视为如下的复合 z=we w=w(u,v),u= xt) x-y6 0 [ ( , , ) ( , , ) ( , , )] ( , , ) ( ) 1 1 2 3 = + + −  = n+ t x f tx ty t z yf tx ty t z zf tx ty t z t nf tx ty t z G t ， 故 G(t) 与 t 无关，从而 G(t) = G(1) = f (x, y,z) ，即 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = "" 方程 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = 两边分别对 x, y,z,t 求导，得 ( , , ) ( , , ) 1 tf tx ty tz t f x y z x n = ， ( , , ) ( , , ) 2 tf tx ty tz t f x y z y n = ， ( , , ) ( , , ) 3 tf tx ty tz t f x y z z n = ， ( , , ) 1 1 2 3 xf yf zf nt f x y z n− + + = ， 将前面三式代入第四式即得 nf (x, y,z) z f z y f y x f x =   +   +   。 或在上面四式中令 t =1 ，得 x f = f 1 ， y f = f 2 ， z f = f 3 ， ( , , ) 1 2 3 xf + yf + zf = nf x y z 即 nf (x, y,z) z f z y f y x f x =   +   +   。 变换微分方程 例 4 设 2 x y u + = ， 2 x y v − = ， y w = ze ，变换方程 z x z x y z x z =   +    +   2 2 2 （假设出现的导数都连续）。 解 这里既有自变量的变换 2 x y u + = ， 2 x y v − = ，也有函数的变换 y w = ze 。自变量由原来的 x, y 变换为 u, v ，函数由原来的 z 变换为 w 。为了把原来的函数 z(x, y) 变换为函数 w = w(u,v) ， 可以把原来的函数 z(x, y) 视为如下的复合 y z we − = ， w = w(u,v) ， 2 x y u + = ， 2 x y v − =