赋范线性空间上微分学——距离与范数 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 11范数 定义1.1(范数.在向量空间y上,对Ⅴx∈y其范数定义为 |y:y3x→|ly∈R, 满足 1.非负性:|xy≥0,Vx∈y;非退化性:当x≠0∈y时,|xly>0; 2.正齐次性:ary= gallary,x∈y,Va∈R 3.三角不等式:|x+yy≤|ry+lyly,x,y∈y 定义1.2(赋范线性空间)·定义了范数的线性空间,称为赋范线性空间.基于范数可自然定 义赋范线性空间上的距离:d(x,y)会|-yx 1.2映照极限 定义1.3(映照极限).设有映照∫(x)定义为 f(x):XDx3x→f(x)∈Y, 此处X和Y均为赋范线性空间,DCX为f(x)的定义域.当x0为D的聚点,即入>0, 有Bx(x0)∩Dx≠g.设有局部行为,记为 彐Iim,f(x)=y0∈Y x→x0∈X 具体叙述如下 1. cauchy叙述 ve>0,36>0,成立f(x)∈B2(y0),r∈B(xr0)∩D2 2. Heine叙述: V{xn} nEN C D2\{xo},xn→xo∈X,有f(xn)→v∈Y赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——距离与范数 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 范数 定义 1.1 (范数). 在向量空间 V 上, 对 ∀ x ∈ V 其范数定义为 | · |V : V ∋ x 7→ |x|V ∈ R, 满足: 1. 非负性: |x|V > 0, ∀ x ∈ V ; 非退化性: 当 x ̸= 0 ∈ V 时, |x|V > 0; 2. 正齐次性: |αx|V = |α||x|V , ∀ x ∈ V , ∀ α ∈ R; 3. 三角不等式: |x + y|V 6 |x|V + |y|V , ∀ x, y ∈ V . 定义 1.2 (赋范线性空间). 定义了范数的线性空间, 称为赋范线性空间. 基于范数可自然定 义赋范线性空间上的距离: d(x, y) , |x − y|X. 1.2 映照极限 定义 1.3 (映照极限). 设有映照 f(x) 定义为 f(x) : X ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ Y, 此处 X 和 Y 均为赋范线性空间, Dx ⊂ X 为 f(x) 的定义域. 当 x0 为 Dx 的聚点, 即 ∀ λ > 0, 有 ◦ Bλ(x0) ∩ Dx ̸= ∅. 设有局部行为, 记为 ∃ lim x→x0∈X f(x) = y0 ∈ Y. 具体叙述如下. 1. Cauchy 叙述: ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立f(x) ∈ Bε(y0), ∀ x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx; 2. Heine 叙述: ∀ {xn}n∈N ⊂ Dx\{x0}, xn → x0 ∈ X, 有f(xn) → y0 ∈ Y. 1