赋范线性空间上微分学——一距离与范数 谢锡麟 定理1.1.映照极限的 Cauchy叙述与 Heine叙述是等价的. 证明首先,由 Cauchy叙述得出 Heine叙述 考虑H{xn}cX,mn→xo∈X需证f(xn)→∈Y,则按 Cauchy叙述,有 6>0,成立f(x)∈B2(0),Vx∈Bs(xo)∩D ∈X,即 N∈N,成立n∈Bb(xo)nDx,Vn>N 故有∫(xn)∈B2(o),Vn>Nb2,亦即f(xn)→y∈Y 然后,由 Heine叙述得出 Cauchy叙述.利用反证法,假设 Cauchy叙述不成立,即有 彐e*>0,V6>0.,彐x∈B(xo)nDx满足f(x5)gBe.(0), 取6n=,则彐xn∈B6n(xo)∩D满足f(xn)B2、().由于有D2{xo3xn→x0∈X,且 {f(xn)}neN以v0为极限( Heine叙述),矛盾. 定义1.4(映照的连续性).当∫(x)∈Y在点xo∈X有定义,且有 lim,f(x)=f(xo)∈Y, 则称f(x)∈Y在点x0∈X连续 显然,连续性可作为一种特殊的映照极限,且对应有如下的理解: 连续性的 Cauchy叙述 ve>0,彐6>0,成立f(x)∈B2(f(xo),r∈Bn(xo)∩D; 2.连续性的 Heine叙述 V{xn} neN CD2,xn→x0∈X,有f(xn)→f(xo)∈Y. 定理1.2(复合映照极限定理).如有 ∈ 且满足“非接触性条件0:彐入>0,有 A(B(ro)n De)C De\yol 则有赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 定理 1.1. 映照极限的 Cauchy 叙述与 Heine 叙述是等价的. 证明 首先, 由 Cauchy 叙述得出 Heine 叙述. 考虑 ∀ {xn} ⊂ X, xn → x0 ∈ X 需证 f(xn) → y0 ∈ Y , 则按 Cauchy 叙述, 有 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立f(x) ∈ Bε(y0), ∀ x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx. 由 xn → x0 ∈ X, 即 ∃ Nδε ∈ N, 成立xn ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx, ∀ n > Nδε , 故有 f(xn) ∈ Bε(y0), ∀ n > Nδε , 亦即 f(xn) → y0 ∈ Y . 然后, 由 Heine 叙述得出 Cauchy 叙述. 利用反证法, 假设 Cauchy 叙述不成立, 即有 ∃ ε∗ > 0, ∀ δ > 0, ∃ xδ ∈ ◦ Bδ(x0) ∩ Dx 满足f(xδ) /∈ Bε∗ (y0), 取 δn = 1 n , 则 ∃ xn ∈ ◦ Bδn (x0) ∩ Dx 满足f(xn) /∈ Bε∗ (y0). 由于有 Dx\{x0} ∋ xn → x0 ∈ X, 且 {f(xn)}n∈N 以 y0 为极限 (Heine 叙述), 矛盾. 定义 1.4 (映照的连续性). 当 f(x) ∈ Y 在点 x0 ∈ X 有定义, 且有 ∃ lim x→x0∈X f(x) = f(x0) ∈ Y, 则称 f(x) ∈ Y 在点 x0 ∈ X 连续. 显然, 连续性可作为一种特殊的映照极限, 且对应有如下的理解: 1. 连续性的 Cauchy 叙述: ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立f(x) ∈ Bε(f(x0)), ∀ x ∈ Bδε (x0) ∩ Dx; 2. 连续性的 Heine 叙述: ∀ {xn}n∈N ⊂ Dx, xn → x0 ∈ X, 有f(xn) → f(x0) ∈ Y. 定理 1.2 (复合映照极限定理). 如有    ∃ lim x→x0∈X θ(x) = y0 ∈ Y, ∃ lim y→y0∈Y Θ(y) = z0 ∈ Z, 且满足 “非接触性条件” ➀: ∃ λ > 0, 有 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ\{y0}, 则有 ➀ “非接触性” 指, 当 x ̸= x0 ∈ X, 有 θ(x) ̸= y0 ∈ Y . 2