赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 1.存在局部复合,即有 o(x)≡O((x); (x) lim,6(y)∈Z. 证明(1)按非接触性条件θ(Bx(xo)∩De)cDe\{},显然成立 (2)利用 Heine叙述,考虑Ⅴ{xn}cBx(xo)∩D,rn→xo∈X 由彐lim,O(x)=∈Y的 Heine叙述,以及非接触性条件,有 D 又由彐 6(y)=30∈Z的 Heine叙述,有 y→y0∈Y 6((xn))=6(x 综上,有彐lim,Oo6(x)=x0∈Z 需指出,按连续性的 Heine叙述,如有 彐lim,6(y)=(y0)∈Z, 则上述定理中“非接触性条件”可改为“可接触性条件 >0,有(Bx(x0)∩De) 2应用事例 命题2.1(矩阵的平方和范数).一般矩阵范数可定义如下 mxn3A→|4|gmxn√AaAa∈ 且此矩阵函数范数满足矩阵范数额外要求的“相容性条件 ABErE≤| ARrxsBrs 证明由定义 △ 易见其满足非负性、非退化性、正齐次性.对于三角不等式,考虑 A+BRmxn =(Aia+ Bia)(Aio+ Bia)=Akmxn +Bi ≤41m+1B1m+2∑∑、∑∑B 1 mxn+ B12mxn +2 Alrmxn Blgmxn=(lAlgmxm +IBlgmxn赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 1. 存在局部复合, 即有 Θ ◦ θ(x) : ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ ∋ x 7→ Θ ◦ θ(x) ≡ Θ(θ(x)); 2. ∃ lim x→x0∈X Θ ◦ θ(x) = z0 = lim y→y0∈Y Θ(y) ∈ Z. 证明 (1) 按非接触性条件 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ\{y0}, 显然成立. (2) 利用 Heine 叙述, 考虑 ∀ {xn} ⊂ ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ, xn → x0 ∈ X. 由 ∃ lim x→x0∈X θ(x) = y0 ∈ Y 的 Heine 叙述, 以及非接触性条件, 有 DΘ\{y0} ∋ θ(xn) → y0 ∈ Y. 又由 ∃ lim y→y0∈Y Θ(y) = z0 ∈ Z 的 Heine 叙述, 有 Θ(θ(xn)) = Θ ◦ θ(xn) → z0 ∈ Z. 综上, 有 ∃ lim x→x0∈X Θ ◦ θ(x) = z0 ∈ Z. 需指出, 按连续性的 Heine 叙述, 如有 ∃ lim y→y0∈Y Θ(y) = Θ(y0) ∈ Z, 则上述定理中 “非接触性条件” 可改为 “可接触性条件” ∃ λ > 0, 有 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ. 2 应用事例 命题 2.1 (矩阵的平方和范数). 一般矩阵范数可定义如下: | · |Rm×n : R m×n ∋ A 7→ |A|Rm×n , √ AiαAiα ∈ R, 且此矩阵函数范数满足矩阵范数额外要求的 “相容性条件”: |AB|Rr×t 6 |A|Rr×s |B|Rs×t , ∀ A ∈ R r×s , B ∈ R s×t . 证明 由定义 |A|Rm×n , √ AiαAiα, 易见其满足非负性、非退化性、正齐次性. 对于三角不等式, 考虑 |A + B| 2 Rm×n = (Aiα + Biα) (Aiα + Biα) = |A| 2 Rm×n + |B| 2 Rm×n + 2AiαBiα 6 |A| 2 Rm×n + |B| 2 Rm×n + 2 vuut∑m i=1 ∑n α=1 A2 iα vuut∑m i=1 ∑n α=1 B2 iα = |A| 2 Rm×n + |B| 2 Rm×n + 2|A|Rm×n |B|Rm×n = (|A|Rm×n + |B|Rm×n ) 2 , 3