赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 即有|A+ bRan≤| ARmon+| BeRmAn 就相容性条件,可有 kx:=∑∑(AB)=∑ i=1a=1 i=1a=1 (a) i=1 k=1 命题22(矩阵的谱范数).一般矩阵范数可定义如下: 1.Ispec:RmXm e A+Alspec max vAil det(ATA-A;Im)=OER 且此矩阵函数范数满足“相容性条件 Aspec≤| spec VA∈Rs,B∈R 证明对A∈Rxm,则AA必然为对称阵(如果A非零),故其特征值均为非负的实数 有估计式 1An=x(A1A)x≤max{ldet(A1A-MD)=0}x最m,x∈Rm 以下验证作为范数的条件: 非负性及非退化性.由上式,显然|A|spe≥0,VA∈Rn×m 当| As=0,亦即A=0(=1,…,m),按线性代数中对称矩阵的正交相似对角化 有彐Q∈Orth,满足 Q(AA)Q 0∈R 则有AA=0∈Rmxm.故 i(A1A)i1=|Ail最n=0 亦即A∈Rnxm的第i列为零向量,也就是A=0∈Rn×m 反之,如果A=0∈Rn×m,显然有| Als=0. 2.正齐次性.这是显然的 3.三角不等式.由上述估计式,可见有 Aspec= sup AlRn m≠0mlgm 因为|(A+B)xlgn≤|Acln+| BaIRn,所以 /(A+ B)aans, sup*o laRm l-Igmt0 lazlrm' Va E R 故有|A+ bspec≤|Alsp+| Aspec.综述所述,|Alpe为范数赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 即有 |A + B|Rm×n 6 |A|Rm×n + |B|Rm×n . 就相容性条件, 可有 |AB| 2 Rr×t = ∑r i=1 ∑ t α=1 (AB) 2 iα = ∑r i=1 ∑ t α=1 (∑s k=1 AikBkα)2 6 ∑r i=1 ∑ t α=1 (∑s k=1 A 2 ik) (∑s k=1 B 2 kα) = |A| 2 Rr×s |B| 2 Rs×t . 命题 2.2 (矩阵的谱范数). 一般矩阵范数可定义如下: | · |spec : R n×m ∋ A 7→ |A|spec , max 16i6m { √ λi | det(ATA − λiIm) = 0} ∈ R, 且此矩阵函数范数满足 “相容性条件”: |AB|spec 6 |A|spec|B|spec, ∀ A ∈ R r×s , B ∈ R s×t . 证明 对 ∀ A ∈ R n×m, 则 ATA 必然为对称阵 (如果 A 非零), 故其特征值均为非负的实数, 有估计式 |Ax| 2 Rn = x T(ATA)x 6 max 16i6m {λi | det(ATA − λI) = 0}|x| 2 Rm, ∀ x ∈ R m. 以下验证作为范数的条件: 1. 非负性及非退化性. 由上式, 显然 |A|spec > 0, ∀ A ∈ R n×m. 当 |A|spec = 0, 亦即 λi = 0 (i = 1, · · · , m), 按线性代数中对称矩阵的正交相似对角化, 可 有 ∃ Q ∈ Orth, 满足 QT(ATA)Q =   λ1 . . . λm   = 0 ∈ R m×m, 则有 ATA = 0 ∈ R m×m. 故 i T i (ATA)ii = |Aii | 2 Rn = 0, i = 1, · · · , m, 亦即 A ∈ R n×m 的第 i 列为零向量, 也就是 A = 0 ∈ R n×m. 反之, 如果 A = 0 ∈ R n×m, 显然有 |A|spec = 0. 2. 正齐次性. 这是显然的. 3. 三角不等式. 由上述估计式, 可见有 |A|spec = sup |x|Rm̸=0 |Ax|Rn |x|Rm . 因为 |(A + B)x|Rn 6 |Ax|Rn + |Bx|Rn , 所以 |(A + B)x|Rn |x|Rm 6 sup |x|Rm̸=0 |Ax|Rn |x|Rm + sup |x|Rm̸=0 |Bx|Rn |x|Rm , ∀ x ∈ R m, 故有 |A + B|spec 6 |A|spec + |B|spec. 综述所述, |A|spec 为范数. 4