赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 关于相容性,由于| Aspec=sup 1Ag>2Ag,因此 arm I(AB)aIRr=lA(B c)lR- Specl Bales< lAlspec BlspeclacIRe 故有 Ablspec Alspecl Blspec 命题2.3(线性映照的范数).如果线性映照x(X;Y)的两个底空间X和Y的范数都已经 定义,那么线性映照(X;Y)的范数可以定义如下 ·x(x:):x(x;Y)3a→lax(x:y)sp l&(a)ly x0|2/x∈R 且此范数满足相容性条件: lalx(x;z)≤|-x(y;z)(x:),Va∈x(Y;2),第∈(X:;Y 证明检验成为范数的条件 非负性及非退化性.显然有 alx(x:)≥0,Vx∈(X;Y) 如有|a(|x(x:)=0,则对x∈X,有|a(x)y=0,即a=0∈2(X;Y).反之,如有 =0∈x(X;Y),则显然有 0. 2.正齐次性 JAdls(x: r)=sul (d )(a)lY=(A sup Ix x|x≠0 d(z)=(All de(x Y), AER 3.三角不等式 (x+)(x)l}=|f(x)+()y≤|a(x) <lals(x r)lalx + le(x r)lalx 由此可有|a+x(x:)≤同1lx(x:)+1(x:y 综述所述,有|1(x)为范数 至于相容性条件,考虑到 x)(x)z≤|1(y;z)|6(x)y≤. als(y;z)l(x:)rlx 即有 x团(x:;2)≤|a1x(y;z)|lx(x:Y 矩阵也可以看做是Rη空间到Rn空间的线性映照,因此矩阵A∈Rnxm的范数也可以定 义为 Az 1·1z(m:):Rm3A+4x(m:),8mR 并且有下述定理. 定理2.4.|4|(RmRn)=| Aspec赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 关于相容性, 由于 |A|spec = sup |x|Rm̸=0 |Ax|Rn |x|Rm > |Ax|Rn |x|Rm , 因此 |(AB)x|Rr = |A(Bx)|Rr 6 |A|spec|Bx|Rs 6 |A|spec|B|spec|x|Rt , 故有 |AB|spec 6 |A|spec|B|spec. 命题 2.3 (线性映照的范数). 如果线性映照 L (X; Y ) 的两个底空间 X 和 Y 的范数都已经 定义, 那么线性映照 L (X; Y ) 的范数可以定义如下: | · |L (X;Y ) : L (X; Y ) ∋ A 7→ |A |L (X;Y ) , sup |x|X̸=0 |A (x)|Y |x|X ∈ R, 且此范数满足相容性条件: |A B|L (X;Z) 6 |A |L (Y ;Z) |B|L (X;Y ) , ∀ A ∈ L (Y ;Z), B ∈ L (X; Y ). 证明 检验成为范数的条件. 1. 非负性及非退化性. 显然有 |A |L (X;Y ) > 0, ∀ A ∈ L (X; Y ). 如有 |A |L (X;Y ) = 0, 则对 ∀ x ∈ X, 有 |A (x)|Y = 0, 即 A = 0 ∈ L (X; Y ). 反之, 如有 A = 0 ∈ L (X; Y ), 则显然有 |A |L (X;Y ) = 0. 2. 正齐次性. |λA |L (X;Y ) , sup |x|X̸=0 |(λA )(x)|Y |x|X = |λ| sup |x|X̸=0 |A (x)|Y |x|X = |λ||A |L (X;Y ) , ∀ λ ∈ R. 3. 三角不等式. |(A + B)(x)|Y = |A (x) + B(x)|Y 6 |A (x)|Y + |B(x)|Y 6 |A |L (X;Y ) |x|X + |B|L (X;Y ) |x|X. 由此可有 |A + B|L (X;Y ) 6 |A |L (X;Y ) + |B|L (X;Y ) . 综述所述, 有 |A |L (X;Y ) 为范数. 至于相容性条件, 考虑到 |(A B)(x)|Z 6 |A |L (Y ;Z) |B(x)|Y 6 |A |L (Y ;Z) |B|L (X;Y ) |x|X, 即有 |A B|L (X;Z) 6 |A |L (Y ;Z) |B|L (X;Y ) . 矩阵也可以看做是 R m 空间到 R n 空间的线性映照, 因此矩阵 A ∈ R n×m 的范数也可以定 义为 | · |L (Rm;Rn) : R n×m ∋ A 7→ |A|L (Rm;Rn) , sup |x|Rm̸=0 |Ax|Rn |x|Rm ∈ R, 并且有下述定理. 定理 2.4. |A|L (Rm;Rn) = |A|spec. 5