赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 21张量空间的范数 定义2.1(张量空间的范数定义) 11(a):9(R)3更闽m√更西=V四∈R 现在需要验证上面的定义确实确定了张量空间(Rm)的一种范数.首先需要证明此范数 与坐标系的选取无关.即对于基{91}~{9},有 ⊙φ=重4"r 对于另一组基{9a}~{g0},有 更⊙φ=φ 需证明 更⊙更=“西1=中)()pa1)(n) 设有基转换关系 9(=:C( 9 根据对偶关系,可得 (k) 以及/9=C0 由此可得 E( )=的 上面的过程说明更⊙φ的计算不依赖于基的选取,因此取单位正交基,此时协变分量和逆变分量 相同,可有 ⊙西=(1…1)(1…)=囤罗m 显然,如此定义的囤(m)满足非负性、非退化性和正齐次性.对于三角不等式,对v更更∈ (Rm),考虑 (十)⊙匝重+)=m)+1”(m+2重⊙业 }(m)+(m)+25(1…b》(1…分 ≤型3,(m)+1B,(m)+2 (i1……ir)i (19(Rm)+|(gm)赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 2.1 张量空间的范数 定义 2.1 (张量空间的范数定义). | · |T r(Rm) : T r (R m) ∋ Φ 7→ |Φ|T r(Rm) , √ Φ ⊙ Φ = √ Φi1···irΦi1···ir ∈ R. 现在需要验证上面的定义确实确定了张量空间 T r (R m) 的一种范数. 首先需要证明此范数 与坐标系的选取无关. 即对于基 {gi} ∼ {g i}, 有 Φ ⊙ Φ = Φ i1···irΦi1···ir . 对于另一组基 {g(i)} ∼ {g (i)}, 有 Φ ⊙ Φ = Φ (i1)···(ir)Φ(i1)···(ir) . 需证明 Φ ⊙ Φ = Φ i1···irΦi1···ir = Φ (i1)···(ir)Φ(i1)···(ir) . 设有基转换关系    g(i) =: C j (i) gj , g (i) =: C (i) j g j , 根据对偶关系, 可得    C k (i)C (j) k = δ j i , C i (k)C (k) j = δ i j , 以及    gi = C (j) i g(j) , g i = C i (j) g (j) . 由此可得 Φ (i1)···(ir)Φ(i1)···(ir) = [ C (i1) j1 · · · C (ir) jr Φ j1···jr ] [C k1 (i1) · · · C kr (ir) Φk1···kr ] = [ C (i1) j1 · · · C (ir) jr ] [C k1 (i1) · · · C kr (ir) ] Φ j1···jrΦk1···kr = ( δ k1 j1 · · · δ kr jr ) Φ j1···jrΦk1···kr = Φ j1···jrΦj1···jr . 上面的过程说明 Φ ⊙ Φ 的计算不依赖于基的选取, 因此取单位正交基, 此时协变分量和逆变分量 相同, 可有 √ Φ ⊙ Φ = √ Φ⟨i1 · · ·ir⟩Φ⟨i1 · · ·ir⟩ = |Φ|T r(Rm) . 显然, 如此定义的 |Φ|T r(Rm) 满足非负性、非退化性和正齐次性. 对于三角不等式, 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m) , 考虑 (Φ + Ψ) ⊙ (Φ + Ψ) = |Φ| 2 T r(Rm) + |Ψ| 2 T r(Rm) + 2Φ ⊙ Ψ = |Φ| 2 T r(Rm) + |Ψ| 2 T r(Rm) + 2Φ⟨i1 · · ·ir⟩Ψ⟨i1 · · ·ir⟩ 6 |Φ| 2 T r(Rm) + |Ψ| 2 T r(Rm) + 2 vuut ∑m i1,··· ,ir=1 |Φ⟨i1 · · ·ir⟩|2 vuut ∑m i1,··· ,ir=1 |Ψ⟨i1 · · ·ir⟩|2 = ( |Φ|T r(Rm) + |Ψ|T r(Rm) )2 , 6