赋范线性空间上微分学——一距离与范数 谢锡麟 即有 更+业(m)≤l(Rm)+1 综上,囤(m)④④⊙重是(Rm)的范数 性质25(张量范数的性质).对φ∈(Rm),业∈少(m),有 1.l+(R T(Rm)I9s(Rm), 2.④更 ≤更l(m)(Rm),e≤min{r,s}; 3.匝x业+4-1(B)≤9(m)(R) 证明按张量范数的定义以及基本不等式,可获得张量范数的相关估计式. 1.根据定义 匝更⑧业 y 2.不失一般性,考虑以下情形 =(4(ijst)y(stk)(重(ijp)ypqk)=(重(ijst)重(jpq)(业(stk)y(pqk) ≤ ((t)2,∑(p()2 ((stA)2、∑(() ∑(的(31)21∑(tA)2 2( ((i)2>(v()2 i,j=1 k=1 (层w)( ((ijp))2 0(9)=1m p, q=l \ i,j=l Pq=1\k=1 即有 ≤p 3.不失一般性,考虑 更x业=(重(i)e()②e(j))×(业mq)e(p)e(q) (ij)y(pq) e(i)@e(k)oe(g)赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 即有 |Φ + Ψ|T r(Rm) 6 |Φ|T r(Rm) + |Ψ|T r(Rm) . 综上, |Φ|T r(Rm) , √ Φ ⊙ Φ 是 T r (R m) 的范数. 性质 2.5 (张量范数的性质). 对 ∀ Φ ∈ T r (R m), Ψ ∈ T s (R m), 有 1. |Φ ⊗ Ψ|T r+s(Rm) = |Φ|T r(Rm) |Ψ|T s(Rm) ; 2.    Φ (e · ) Ψ    T r+s−2e(Rm) 6 |Φ|T r(Rm) |Ψ|T s(Rm) , e 6 min{r, s}; 3. |Φ × Ψ|T r+s−1(R3) 6 |Φ|T r(Rm) |Φ|T s(R3) . 证明 按张量范数的定义以及基本不等式, 可获得张量范数的相关估计式. 1. 根据定义 |Φ ⊗ Ψ|T r+s(Rm) = (Φ i1···irΨ j1···jrΦi1···irΨj1···jr ) 1 2 = (Φ i1···irΦi1···irΨ j1···jrΨj1···jr ) 1 2 = |Φ|T r(Rm) |Ψ|T s(Rm) . 2. 不失一般性, 考虑以下情形:     Φ ( 2 · ) Ψ     2 T 3(Rm) = (Φ⟨ijst⟩Ψ⟨stk⟩) (Φ⟨ijpq⟩Ψ⟨pqk⟩) = (Φ⟨ijst⟩Φ⟨ijpq⟩) (Ψ⟨stk⟩Ψ⟨pqk⟩) 6   vuut ∑m i,j=1 (Φ⟨ijst⟩) 2 vuut ∑m i,j=1 (Φ⟨ijpq⟩) 2     vuut∑m k=1 (Ψ⟨stk⟩) 2 vuut∑m k=1 (Ψ⟨pqk⟩) 2   =   ∑m s,t=1   vuut ∑m i,j=1 (Φ⟨ijst⟩) 2 vuut∑m k=1 (Ψ⟨stk⟩) 2     ·   ∑m p,q=1   vuut ∑m i,j=1 (Φ⟨ijpq⟩) 2 vuut∑m k=1 (Ψ⟨pqk⟩) 2     6    vuuut ∑m s,t=1   ∑m i,j=1 (Φ⟨ijst⟩) 2   vuut∑m s,t=1 (∑m k=1 (Ψ⟨stk⟩) 2) )    ·    vuuut ∑m p,q=1   ∑m i,j=1 (Φ⟨ijpq⟩) 2   vuut ∑m p,q=1 (∑m k=1 (Ψ⟨pqk⟩) 2) )    = |Φ| 2 T 4(Rm) |Ψ| 2 T 3(Rm) , 即有     Φ ( 2 · ) Ψ     T 3(Rm) 6 |Φ|T 4(Rm) |Ψ|T 3(Rm) . 3. 不失一般性, 考虑 Φ × Ψ = (Φ⟨ij⟩e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩) × (Ψ⟨pq⟩e⟨p⟩ ⊗ e⟨q⟩) = Φ⟨ij⟩Ψ⟨pq⟩e⟨jpk⟩e⟨i⟩ ⊗ e⟨k⟩ ⊗ e⟨q⟩, 7