赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 即有 更×业)(ikq)=重(j)y(q)e(pk) 计算 1y()=(④x业)(雪×) =(重(ij)ymg)e(ipk)(Φ(is)y(tq)e(stk) =重()(is)重(pq)tq)(e(pk)e(stk) =(ij)(is)v(pq)v(tq)(6(js)6{1)-6(ps)6jt)) =B2B3)1B=()-((t)y(q)(更(s)y(o?) 13=()1y2)-∑((t)y()2 再考虑 ∑(t)()2≤ 0()(∑()2)=1份份=y 所以,可有 重x业3(3)≤囤(业92(R3) 定理2.6.((Rm),|·-(m)为完备的赋范线性空间 证明对Ⅴ更∈(Rm),在单位正交基{e()}m1下,有 更 2r)业(21 考虑{重}peN,对e>0.,Ne∈N,满足 更p-更q|(Rm)<E,Vp,q 由基本关系式,得 面n一到(m)=V(一到)(1…1)(一到)…) 匝p(i1……ir)-重q(i1…t ≥囤p(1…i)一西q(1…i),i1,……,=1,……,m 可见{p(1…i)}eNR,i1,…,ir=1,……,m为基本点列,故有 imp(i1…1r)=西o(1…),Vi,…,ir=1,…,m 故可定义φ=重o(i1…i)e(in)…e(r),按前述基本关系式,可有 3建立路径赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 即有 (Φ × Ψ)⟨ikq⟩ = Φ⟨ij⟩Ψ⟨pq⟩e⟨jpk⟩. 计算 |Φ × Ψ| 2 T 3(R3) = (Φ × Ψ)⟨ikq⟩(Φ × Ψ)⟨ikq⟩ = (Φ⟨ij⟩Ψ⟨pq⟩e⟨jpk⟩) (Φ⟨is⟩Ψ⟨tq⟩e⟨stk⟩) = Φ⟨ij⟩Φ⟨is⟩Ψ⟨pq⟩Ψ⟨tq⟩(e⟨jpk⟩e⟨stk⟩) = Φ⟨ij⟩Φ⟨is⟩Ψ⟨pq⟩Ψ⟨tq⟩(δ⟨js⟩δ⟨pt⟩ − δ⟨ps⟩δ⟨jt⟩) = Φ⟨ij⟩Φ⟨ij⟩Ψ⟨pq⟩Ψ⟨pq⟩ − Φ⟨it⟩Φ⟨is⟩Ψ⟨sq⟩Ψ⟨tq⟩ = |Φ| 2 T 2(R3) |Ψ| 2 T 2(R3) − (Φ⟨it⟩Ψ⟨tq⟩) (Φ⟨is⟩Ψ⟨sq⟩) = |Φ| 2 T 2(R3) |Ψ| 2 T 2(R3) − ∑ 3 i,q=1 (Φ⟨it⟩Ψ⟨tq⟩) 2 , 再考虑 ∑ 3 i,q=1 (Φ⟨it⟩Ψ⟨tq⟩) 2 6 ∑ 3 i,q=1 (∑ 3 s=1 (Φ⟨is⟩) 2 ) (∑ 3 s=1 (Ψ⟨sq⟩) 2 ) = |Φ| 2 T 2(R3) |Ψ| 2 T 2(R3) , 所以, 可有 |Φ × Ψ|T 3(R3) 6 |Φ|T 2(R3) |Ψ|T 2(R3) . 定理 2.6. (T r (R m), | · |T r(Rm) ) 为完备的赋范线性空间. 证明 对 ∀ Φ ∈ T r (R m), 在单位正交基 {e⟨i⟩}m i=1 下, 有 |Φ|T r(Rm) = √ Φ⟨i1 · · ·ir⟩Φ⟨i1 · · ·ir⟩. 考虑 ∀ {Φp}p∈N, 对 ∀ ε > 0, ∃ Nε ∈ N, 满足 |Φp − Φq|T r(Rm) < ε, ∀ p, q > Nε. 由基本关系式, 得 |Φp − Φq|T r(Rm) = √ (Φp − Φq)⟨i1 · · ·ir⟩(Φp − Φq)⟨i1 · · ·ir⟩ ∼    6 ∑m i1,··· ,ir=1 |Φp⟨i1 · · ·ir⟩ − Φq⟨i1 · · ·ir⟩| , > |Φp⟨i1 · · ·ir⟩ − Φq⟨i1 · · ·ir⟩| , i1, · · · , ir = 1, · · · , m. 可见 {Φp⟨i1 · · ·ir⟩}p∈N ⊂ R, i1, · · · , ir = 1, · · · , m 为基本点列, 故有 lim p→∞ Φp⟨i1 · · ·ir⟩ = Φ0⟨i1 · · ·ir⟩, ∀ i1, · · · , ir = 1, · · · , m. 故可定义 Φ0 = Φ0⟨i1 · · ·ir⟩e⟨i1⟩ · · · e⟨ir⟩, 按前述基本关系式, 可有 lim p→∞ Φp = Φ0 ∈ T r (R m). 3 建立路径 8