定理85实二次型f(x,x2,…,xn)=xAx为正定的充分 必要条件是它的标准型中n个系数全为正 证设满秩线性变换x=Cy使 f(x,x2…xn)=∑y2 先证明充分性设k>00=12,…m),任给x≠0,那么 y=Cx≠0 故 f(x,x2…xn)=∑ky2>0 再证明必要性.用反证法.设C=().假设有 那么当y=e,=(0…010…0)(单位坐标向量),定理8.5 实二次型 f x x xn x Ax  ( 1 , 2 ,  , ) = 必要条件是它的标准型中 为正定的充分 n 个系数全为正． 证 设满秩线性变换 x = Cy 使 = = n i n i i f x x x k y 1 2 1 2 ( , ,, ) 先证明充分性.设 ki  0(i =1,2,  ,n) .任给 x  0 ,那么 y = Cx  0 ,故 = =  n i n i i f x x x k y 1 2 ( 1 , 2 ,, ) 0 再证明必要性．用反证法．设 ( ) ij C = c ．假设有  0 l k ，那么当 ( )  y = el = 0,  ,0,1,0,  ,0 （单位坐标向量）