·1314· 工程科学学报，第37卷，第10期 近展开方法研究过冷熔体中各向异性表面张力对球晶 界面演化的影响时，发现在各向异性表面张力作用下， 球晶生长初始阶段部分界面首先向内移动，达到一定 的熔化深度后向外移动，这一结论揭示了纳米颗粒的 形成机制网.本文利用渐近分析方法研究各向异性 卡R,© 表面张力对柱晶形态演化的影响，揭示在各向异性表 面张力影响下柱晶界面形态演化的物理机制. 1数学模型 在枝晶和晶须形态的研究中用柱晶的界面形态作 为一种近似.考虑在过冷熔体中柱晶界面的生长形态 变化.与Coriell和Parker以及Debroy和Sekerka国 的处理方法类似，将柱晶的几何形状视为无限液相中 直圆柱体，考虑初始半径为。的二维柱晶径向截面圆 的界面生长（如图1）.假设在过冷熔体中，远离柱晶 的远场温度为T.(T.<T,T为纯物质的熔化温 图1半径为。的柱晶截面圆界面 度)，界面的各向异性表面张力采用四重对称函数Y= Fig.I Interface circle of a column crystal whose radius is ro yo(1+a4cos4),其中y。为各向同性表面张力参数，0 固相的密度相等(p=P1=ps）,并且忽略浮力的影响. 为方向角，4为各向异性表面张力参数.为了便于作 渐近分析，我们选取。为长度尺度，△T=TM-T.为温 2渐近解和界面形貌 度尺度，'。=k△T/(r△H)为速度尺度，r。/W。为时间 对于典型的金属熔体，当过冷度△T=T-T.很 尺度对温度场和界面作量纲为一处理，其中k为液相 小时，e=△T/(△H/e,P)是一个小量，本文选取e为小 的热传导系数，△H为结晶潜热.在以原点为中心的极 参数(egI),寻求温度场和柱晶界面W={T,Ts,R} 坐标系下，设柱晶的界面为R=R(8,),柱晶的界面将 满足下面形式的渐近展开解： 液相(r>R(0,))和固相(r<R(0,t))分开，液相温度 W=W。+eW,+o(e) (7) T和固相温度T满足如下的温度控制方程和边界 利用界面展开式，对界面曲率作关于￡的渐近展开： 条件： T=0(r>R(0,), (1) 2=+ aR +o(e). (8) TTs=0(r<R(0,)). 将各向异性表面张力参数和小参数视为同阶量，记作 在界面R=R(0,t)上满足温度连续条件和Gibbs- a4=Pe其中P=0(1). Thomson条件： 将展开式代入式(1)~式(6)得到各阶近似下模 Ts=Tu, (2) 型满足的方程和边界条件 T1=2KT(1-15a4cos40)-C-MV. (3) 首阶近似下液相温度T。和固相温度T。的控制方程： 在界面R=R(8,)上能量守恒条件成立： V=(kV T-VT).n. (4) ,-e+1e+1=0, VTLo= (9) r ar r2 a0 在远离柱晶的液相温度分布远场条件和固相中心 'Ts 1aTso 18Ts 处温度分布正则条件分别为： VTa= r2+ =0 (10) rT→-1(r→)： (5) 在界面上，当r=R。(0,)时， lTs=0(1)(r+0) Tuo =Tso, (11) 界面的初始条件为： 当t=0时，R(0,0)=1. (6) C山a逃 Tm=R。 (12) at 式中：T,为界面温度：V为界面局部速度：K为界面平 ako=kr ar ar aT's aTio 均曲率；T为表面张力参数，厂=y,T/(r△H△T);C= (13) △T/Tu:M=k△T/(r。△HTu):μ为界面动力学系数； 液相的远场条件和固相中心处正则条件： k,=/压，k。为固相的热传导系数，k为液相的热传 rTo→-1 (r→∞）： 导系数；为界面的单位外法向量.本文假设液相和 (14) 1T0=0(1)(r0).工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 近展开方法研究过冷熔体中各向异性表面张力对球晶 界面演化的影响时，发现在各向异性表面张力作用下， 球晶生长初始阶段部分界面首先向内移动，达到一定 的熔化深度后向外移动，这一结论揭示了纳米颗粒的 形成机制［12］． 本文利用渐近分析方法研究各向异性 表面张力对柱晶形态演化的影响，揭示在各向异性表 面张力影响下柱晶界面形态演化的物理机制． 1 数学模型 在枝晶和晶须形态的研究中用柱晶的界面形态作 为一种近似． 考虑在过冷熔体中柱晶界面的生长形态 变化． 与 Coriell 和 Parker ［9］以及 Debroy 和 Sekerka ［13］ 的处理方法类似，将柱晶的几何形状视为无限液相中 直圆柱体，考虑初始半径为 r0 的二维柱晶径向截面圆 的界面生长( 如图 1) ． 假设在过冷熔体中，远离柱晶 的远场温 度 为 T∞ ( T∞ ＜ TM，TM 为 纯 物 质 的 熔 化 温 度) ，界面的各向异性表面张力采用四重对称函数 γ = γ0 ( 1 + α4 cos4θ) ，其中 γ0 为各向同性表面张力参数，θ 为方向角，α4 为各向异性表面张力参数． 为了便于作 渐近分析，我们选取 r0 为长度尺度，ΔT = TM － T∞ 为温 度尺度，Vp = kLΔT /( r0ΔH) 为速度尺度，r0 /Vp 为时间 尺度对温度场和界面作量纲为一处理，其中 kL 为液相 的热传导系数，ΔH 为结晶潜热． 在以原点为中心的极 坐标系下，设柱晶的界面为 Ｒ = Ｒ( θ，t) ，柱晶的界面将 液相( r ＞ Ｒ( θ，t) ) 和固相( r ＜ Ｒ( θ，t) ) 分开，液相温度 TL 和固相温度 TS 满足如下的温度控制方程和边界 条件: 2 Δ TL = 0( r ＞ Ｒ( θ，t) ) ， 2 Δ { TS = 0( r ＜ Ｒ( θ，t) ) ． ( 1) 在界面 Ｒ = Ｒ ( θ，t) 上 满 足 温 度 连 续 条 件 和 Gibbs￾Thomson 条件: TS = TL， ( 2) TI = 2KΓ( 1 － 15α4 cos4θ) － C － 1 MV． ( 3) 在界面 Ｒ = Ｒ( θ，t) 上能量守恒条件成立: V = ( kT Δ TS － Δ TL )·n． ( 4) 在远离柱晶的液相温度分布远场条件和固相中心 处温度分布正则条件分别为: TL→ － 1( r→∞ ) ; {TS = O( 1) ( r→0) ． ( 5) 界面的初始条件为: 当 t = 0 时，Ｒ( θ，0) = 1． ( 6) 式中: TI 为界面温度; V 为界面局部速度; K 为界面平 均曲率; Γ 为表面张力参数，Γ = γ0TM /( r0ΔHΔT) ; C = ΔT /TM ; M = kLΔT /( μr0ΔHTM ) ; μ 为界面动力学系数; kT = kS / kL，kS 为固相的热传导系数，kL 为液相的热传 导系数; n 为界面的单位外法向量． 本文假设液相和 图 1 半径为 r0 的柱晶截面圆界面 Fig． 1 Interface circle of a column crystal whose radius is r0 固相的密度相等( ρ = ρL = ρS ) ，并且忽略浮力的影响． 2 渐近解和界面形貌 对于典型的金属熔体，当过冷度 ΔT = TM － T∞ 很 小时，ε = ΔT /( ΔH/cp ρ) 是一个小量，本文选取 ε 为小 参数( ε1) ，寻求温度场和柱晶界面 W = { TL，TS，Ｒ} 满足下面形式的渐近展开解: W = W0 + εW1 + o( ε) ． ( 7) 利用界面展开式，对界面曲率作关于 ε 的渐近展开: 2K = － 1 Ｒ0 + ε Ｒ2 ( 0 Ｒ1 +  2 Ｒ1 θ 2 ) + o( ε) ． ( 8) 将各向异性表面张力参数和小参数视为同阶量，记作 α4 = Pε，其中 P = O( 1) ． 将展开式代入式( 1) ～ 式( 6) 得到各阶近似下模 型满足的方程和边界条件． 首阶近似下液相温度TL0和固相温度TS0的控制方程: 2 Δ TL0 =  2 TL0 r 2 + 1 r TL0 r + 1 r 2  2 TL0 θ 2 = 0， ( 9) 2 Δ TS0 =  2 TS0 r 2 + 1 r TS0 r + 1 r 2  2 TS0 θ 2 = 0． ( 10) 在界面上，当 r = Ｒ0 ( θ，t) 时， TL0 = TS0， ( 11) TS0 = － Γ Ｒ0 － C － 1 M Ｒ0 t ， ( 12) Ｒ0 t = kT TS0 r － TL0 r ． ( 13) 液相的远场条件和固相中心处正则条件: TL0→ － 1 ( r→∞ ) ; {TS0 = O( 1) ( r→0) ． ( 14) ·1314·