杨振超等：各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响 ·1315· 界面的初始条件为： r3R(R。-T)-60r(k,+1)(A,R,+C-M0） 当1=0时，R。(0,0)=1. (15) (AR+C R+4C-M+D)]4()+ 满足边界条件的温度场分布渐近解首阶项为： 60PT(k+1)1 aRo (16) R,R。+4C-M(G,+D了}o4. (29) 其中， -1+--c-w竖)-克n(发)门 15TPR 业(R)= R+4C-M(k+1)' (17) 15Pr 其中，界面生长速度的首阶项为 业(R）=ER+4CMh,+丁' a迟=R,-T -3(5rA,+CM)R。-12rC-M (18) tR[A,R。+C-'M0 (R)=R(AR+G-R+4C-M(k+1)] 这里采用了Coriell-Parker回的方法，取某个特殊的无 2(R)= 穷远半径R.使得To(r=R)=-1(*),A=ln(R./ 4C-M(k+1)-15TA-R-4TC-M(k+4)R R). 4,R+C-0R。+4C-M(k+)] 对于一阶近似，液相温度T和固相温度Ts满足 的控制方程如下： A,(R,)=ep(广a()d小B +10+1=0, VTu= (19) ep(-a()d）d, VTs = 141s+1=0. 3R,(R。-T)-60r(k+1)(AR+C-M0 (20) a(R)= R(A,R。+CM[R+4CM(k+1）] 在界面上温度连续条件、Gibbs-Thomson条件和热 A,R。+C-M 量守恒条件成立： R。-下， 60rP(k,+1)A,R。+C-M (21) ar B(R）=R,+4GM(k,+1)R,-T 图2为沿0=0，π2，T,3π/2方向柱晶生长速度 图.沿0=0，π/2，T,3π2生长方向各向异性表面张 r[伦+（是）+59]-cw 力促进柱晶生长，柱晶生长速度始终为正值并且随各 向异性参数的增大而增大.图3为沿0=π/4,3π/4， (22) 5π/4,7π/4方向柱晶生长速度图.沿0=π/4,3π/4， 5π/4,7π/4生长方向各向异性表面张力抑制柱晶生 长，柱晶生长速度随各向异性参数的增大而减小.图4 为柱晶生长的初始阶段沿0=π/4,3π/4,5π/4,7π/4 (23) 方向柱晶生长速度图.受各向异性表面张力影响沿 界面的初始条件为： 12 当1=0时，R1(0,0)=0. (24) 一g=0 11 --g=0.02 满足边界条件的温度分布函数一阶项和界面形态函数 10 --…g-0.04 …a,=0.06 一阶项可通过分离变量法求得： 兰9 T(r,0,)=(2(R)AR()+Ψ(R)）rcos40, (25) 8 Tu(r,0,t)=(2(R)Ag(t）+Ψ(R))·rcos40, 7 (26) R,(L,6)=Ag(R）cos40. (27) 5 从而得到界面形态表达式的一阶渐近解： R=Ro+Ag (Ro)Cos40+0(e2). (28) 0 20 30 40 50 生长时间 由界面热平衡条件容易得到界面生长速度的控制方程 图2沿8=0，π2，T,3π2方向生长速度与生长时间的关系 V=迟 R。-T Fig.2 Relationship of velocity and time in the direction of 6=0, aR(AR。+C-M0+ m/2,r,3m/2杨振超等: 各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响 界面的初始条件为: 当 t = 0 时，Ｒ0 ( θ，0) = 1． ( 15) 满足边界条件的温度场分布渐近解首阶项为: TS0 = － Γ Ｒ0 － C － 1 M Ｒ0 t ， ( 16) TL0 ( = － 1 + 1 － Γ Ｒ0 － C － 1 M Ｒ0  ) [ t 1 － 1 Aλ ( ln r Ｒ ) ] 0 ． ( 17) 其中，界面生长速度的首阶项为 Ｒ0 t = Ｒ0 － Γ Ｒ0［AλＲ0 + C － 1 M］． ( 18) 这里采用了 Coriell-Parker ［9］的方法，取某个特殊的无 穷远半径 Ｒ∞ 使得 TL0 ( r = Ｒ∞ ) = － 1( * ) ，Aλ = ln( Ｒ∞ / Ｒ0 ) ． 对于一阶近似，液相温度 TL1和固相温度 TS1满足 的控制方程如下: 2 Δ TL1 =  2 TL1 r 2 + 1 r TL1 r + 1 r 2  2 TL1 θ 2 = 0， ( 19) 2 Δ TS1 =  2 TS1 r 2 + 1 r TS1 r + 1 r 2  2 TS1 θ 2 = 0． ( 20) 在界面上温度连续条件、Gibbs-Thomson 条件和热 量守恒条件成立: TL1 = TS1 ( － TL0 r － TS0  ) r r = Ｒ0 ·Ｒ1， ( 21) TS1 ( + TS0  ) r r = Ｒ0 ·Ｒ1 = Γ [ Ｒ1 Ｒ2 0 +  2 θ 2 ( Ｒ1 Ｒ2 ) 0 + 15Pcos4θ Ｒ ] 0 － C － 1 M Ｒ1 t ， ( 22) Ｒ1 t ( = kT TS1 r － TL1  ) r r = Ｒ0 ( + kT  2 TS0 r 2 －  2 TL0 r 2 ) r = Ｒ0 ·Ｒ1 ． ( 23) 界面的初始条件为: 当 t = 0 时，Ｒ1 ( θ，0) = 0． ( 24) 满足边界条件的温度分布函数一阶项和界面形态函数 一阶项可通过分离变量法求得: TS1 ( r，θ，t) = ( ΩS ( Ｒ0 ) AＲ ( t) + ΨS ( Ｒ0 ) )·r 4 cos4θ， ( 25) TL1 ( r，θ，t) = ( ΩL ( Ｒ0 ) AＲ ( t) + ΨL ( Ｒ0 ) )·r － 4 cos4θ， ( 26) Ｒ1 ( t，θ) = AＲ ( Ｒ0 ) cos4θ． ( 27) 从而得到界面形态表达式的一阶渐近解: Ｒ = Ｒ0 + εAＲ ( Ｒ0 ) cos4θ + O( ε2 ) ． ( 28) 由界面热平衡条件容易得到界面生长速度的控制方程 V = Ｒ t ≈ Ｒ0 － Γ Ｒ0 ( AλＲ0 + C － 1 M) + ε { 3Ｒ0 ( Ｒ0 － Γ) － 60Γ( kT + 1) ( AλＲ0 + C － 1 M) Ｒ2 0 ( AλＲ0 + C － 1 M) ［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］ AＲ ( t) + 60PΓ( kT + 1) Ｒ0［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1 } ) ］ cos4θ． ( 29) 其中， ΨL ( Ｒ0 ) = 15ΓPＲ4 0 Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ， ΨS ( Ｒ0 ) = 15PΓ Ｒ4 0［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］， ΩS ( Ｒ0 ) = － 3( 5ΓAλ + C － 1 M) Ｒ0 － 12ΓC － 1 M Ｒ5 0 ( AλＲ0 + C － 1 M) ［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］， ΩL ( Ｒ0 ) = Ｒ5 0 +［4C － 1 M( kT + 1) － 15ΓAλ － Γ］Ｒ4 0 － 4ΓC － 1 M( kT + 4) Ｒ3 0 ( AλＲ0 + C － 1 M) ［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］ ， AＲ ( Ｒ0 ) ( = exp ∫ Ｒ0 1 α( x) d ) x ·∫ Ｒ0 1 β( x)· ( exp － ∫ Ｒ0 1 α( x) d ) x dx， α( Ｒ0 ) = 3Ｒ0 ( Ｒ0 － Γ) － 60Γ( kT + 1) ( AλＲ0 + C － 1 M) Ｒ0 ( AλＲ0 + C － 1 M) ［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］· AλＲ0 + C － 1 M Ｒ0 － Γ ， β( Ｒ0 ) = 60ΓP( kT + 1) Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ·AλＲ0 + C － 1 M Ｒ0 － Γ ． 图 2 沿 θ = 0，π/2，π，3π/2 方向生长速度与生长时间的关系 Fig． 2 Ｒelationship of velocity and time in the direction of θ = 0， π/2，π，3π/2 图 2 为沿 θ = 0，π/2，π，3π/2 方向柱晶生长速度 图． 沿 θ = 0，π/2，π，3π/2 生长方向各向异性表面张 力促进柱晶生长，柱晶生长速度始终为正值并且随各 向异性参数的增大而增大． 图 3 为沿 θ = π/4，3π/4， 5π/4，7π/4 方向柱晶生长速度图． 沿 θ = π/4，3π/4， 5π/4，7π/4 生长方向各向异性表面张力抑制柱晶生 长，柱晶生长速度随各向异性参数的增大而减小． 图 4 为柱晶生长的初始阶段沿 θ = π/4，3π/4，5π/4，7π/4 方向柱晶生长速度图． 受各向异性表面张力影响沿 ·1315·